【開(kāi)學(xué)摸底考】2024-2025學(xué)年春季期高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷（北京專(zhuān)用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)學(xué)
（考試時(shí)間：120 分鐘試卷滿(mǎn)分：150 分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用
橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共 40 分）
一、選擇題：本題共 10 小題，每小題 4 分，共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目
要求的。
1．已知集合
A．
，
，則
（
）
B．
的模為（
B．
C．
D．
D．
2．復(fù)數(shù)
A．
）
C．1
3．已知向量
A．
，
，
，且
，則
D．
（
）
B．
C．
C．
4．已知函數(shù)
A．
是
上的奇函數(shù)，則函數(shù)
的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（
）
B．
D．
5．若
A．2
的展開(kāi)式中含的系數(shù)為 15，則實(shí)數(shù)
（
）
B．1
C．
D．
.則
D．4
，則
D．
6．已知是拋物線
A．
上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，
（
）
B．
B．
C．3
7．在
A．
中內(nèi)角
所對(duì)邊分別為
，若
（
）
C．
1 / 4

8．設(shè)
，則“直線
與直線
平行”是“
”的（
）
A．充分不必要條件
C．充要條件
B．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
9．“蝠”與“?！卑l(fā)音相同，在中國(guó)文化中，蝙蝠圖案經(jīng)常寓意福氣臨門(mén)．某商家設(shè)計(jì)的折疊儲(chǔ)物凳是正三棱臺(tái)
形狀，如圖，其側(cè)面展開(kāi)圖形似蝙蝠．每個(gè)側(cè)面梯形的上底長(zhǎng)為分米，下底長(zhǎng)為分米，梯形的腰長(zhǎng)
分米，忽略?xún)?chǔ)物凳的表面厚度，則該正三棱臺(tái)儲(chǔ)物凳的儲(chǔ)物容積為（
為
）
A．
10．設(shè)
立方分米 B．
立方分米
C．7 立方分米
，面積為為正整數(shù)）．若
，則（
D．立方分米
的三邊長(zhǎng)分別為
、
、
（
，其中
，
，
，
）
A．
為嚴(yán)格減數(shù)列
為嚴(yán)格增數(shù)列
為嚴(yán)格增數(shù)列，
為嚴(yán)格減數(shù)列，
B．
C．
D．
為嚴(yán)格減數(shù)列
為嚴(yán)格增數(shù)列
第二部分（非選擇題共 110 分）
二、填空題：本題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。
11．已知函數(shù)
，則
．
12．已知雙曲線
的漸近線方程為
，則雙曲線的離心率 e=
.
13．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)
，
恒成立，則滿(mǎn)足條件的一組
，
的值為
，
.
14．在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，已知各除數(shù)及其對(duì)應(yīng)的余數(shù)，求適合條件的被除數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為剩余問(wèn)題.1852
年《孫子算經(jīng)》中“物不知其數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲，在西方的數(shù)學(xué)史上將“物不知其數(shù)”問(wèn)題的解法稱(chēng)之為
“中國(guó)剩余定理”，“物不知其數(shù)”問(wèn)題后經(jīng)秦九韶推廣，得到了一個(gè)普遍的解法，提升了“中國(guó)剩余定理”的高
2 / 4

度.現(xiàn)有一個(gè)剩余問(wèn)題：在
的整數(shù)中，把被除余數(shù)為，被除余數(shù)為，被除余數(shù)也為的數(shù)，
按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列
，則數(shù)列
的項(xiàng)數(shù)為
.
15．幾位同學(xué)在研究函數(shù)
（）時(shí)給出了下面幾個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)
②若
③
的值域?yàn)?br>；
，則一定有
；
在
是減函數(shù)；
，且對(duì)任意正整數(shù) n 都有：
④若規(guī)定
，則
對(duì)任意
恒成
立.
上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為
.
三、解答題：本題共 6 小題，共 85 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
16．（13 分）如圖，
平面
，
，
，
為
的中點(diǎn)．
(1)求證：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
17．（14 分）已知函數(shù)
①最大值為 2； ②最小正周期為
，由下列四個(gè)條件中選出三個(gè)：
；
③
；
④
．
(1)求函數(shù)
(2)設(shè)
的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
．當(dāng) 時(shí)，
的值域?yàn)?br>，求的取值范圍．
18．（13 分）為了解某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的 1 班~8 班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方
式抽樣：每班隨機(jī)各抽 10 名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班 10 名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀
的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（x 軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，y 軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：
3 / 4

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè) 1 人，試估計(jì)該生身體素質(zhì)監(jiān)
測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)若從高一 2 班抽測(cè)的 10 人中隨機(jī)抽取 1 人，從高一 5 班抽測(cè)的 10 人中隨機(jī)抽取 1 人，設(shè) X 表示這 2 人
中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的 10 名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中
分別隨機(jī)抽取 1 名同學(xué)，用“
”表示第 k 班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“
”表示第 k 班抽到的這
名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀
程）.
.直接寫(xiě)出方差
，
，
，
的大小關(guān)系（無(wú)需過(guò)
19．（15 分）已知橢圓
(1)求的方程；
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
，離心率為
.
(2)若
，
為
上的兩點(diǎn)，且直線
與直線
的斜率之積為，求證：直線
過(guò)定點(diǎn).
20．（15 分）已知函數(shù)
，其中
在點(diǎn)
.
(1)當(dāng)
(2)求
時(shí)，求曲線
的單調(diào)區(qū)間；
處的切線方程；
(3)當(dāng)
且
時(shí)，判斷
是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮遞增數(shù)列，對(duì)于
為集合中的元素個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定
的值；
是等差數(shù)列，求數(shù)列
與
的大小，并說(shuō)明理由.
21．（15 分）已知
，定義集合
，設(shè)
．
(1)若
，寫(xiě)出
及
(2)若數(shù)列
(3)設(shè)集合
的通項(xiàng)公式；
，求證：
且
．
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