四川省瀘縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項:
1.答卷前，考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2.考生作答時，選擇題用2B鉛筆將答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，其余各題用0.5毫米黑色墨跡簽字筆將答案寫在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.
3.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，若，則取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)值域化簡集合A，再利用給定的運算結(jié)果，借助包含關(guān)系求解即得.
【詳解】集合，而，
由，得，則，
所以的取值范圍為.
故選：B
2. 下列結(jié)論正確的有（）
A. 函數(shù)的定義域為
B. 函數(shù)，的圖象與軸有且只有一個交點
C. 函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點
D. 與是相同函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】求出函數(shù)的定義域，判斷A的真假；根據(jù)函數(shù)的概念判斷BC的真假；化簡函數(shù)解析式，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系判斷是否為同一個函數(shù)，判斷D的真假.
【詳解】對A：由且，所以函數(shù)的定義域為，故A錯誤；
對B：根據(jù)函數(shù)的概念，可判斷B正確；
對C：由函數(shù)的概念，可得函數(shù)的圖象與直線至多有一個交點，故C錯誤；
對D：因為的定義域為，所以，與對應(yīng)關(guān)系不同，所以與不是同一個函數(shù)，所以D錯誤.
故選：B
3. 函數(shù)是（）
A. 周期為的奇函數(shù)B. 周期為的偶函數(shù)
C. 周期為的奇函數(shù)D. 周期為的偶函數(shù)
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)判斷.
【詳解】因為函數(shù)，
所以，
所以函數(shù)是周期為的偶函數(shù)，
故選：B
4. “函數(shù)的定義域為R”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的定義域為R，即對任意x∈R恒成立，可得a的范圍，則可得 “函數(shù)的定義域為R” 是“”的必要不充分條件.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為R，
所以對任意x∈R恒成立，
①當(dāng)時，對任意x∈R恒成立；
②當(dāng)時，只需，解得：；
所以.
記集合，.
因為A?B，所以 “函數(shù)的定義域為R” 是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5. 若，則的大小關(guān)系為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.
【詳解】，且，
，
，
故，
故選：A.
6. 下列命題的否定是真命題的是（）
A. 每個正方形都是平行四邊形
B. 是無理數(shù)，是無理數(shù)
C. ，
D. ，關(guān)于x的方程有實數(shù)根
【答案】B
【解析】
【分析】利用相關(guān)知識，逐一分析各命題的真假性，從而得到其否定的真假性，由此得解.
【詳解】對于A，顯然每個正方形都是平行四邊形，故該命題是真命題，
所以該命題的否定是假命題，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，滿足是無理數(shù)，但是有理數(shù)，故該命題是假命題，
所以該命題的否定是真命題，故B正確；
對于C，當(dāng)時，滿足，此時，故該命題是真命題，
所以該命題的否定是假命題，故C錯誤；
對于D，對于方程，有恒成立，故該命題是真命題，
所以該命題的否定是假命題，故D錯誤；
故選：B.
7. 放射性核素鍶89會按某個衰減率衰減，設(shè)初始質(zhì)量為，質(zhì)量與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），若鍶89的半衰期（質(zhì)量衰減一半所用時間）約為50天，那么質(zhì)量為的鍶89經(jīng)過30天衰減后質(zhì)量約變?yōu)椋? ）（參考數(shù)據(jù)：）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)時，代入函數(shù)關(guān)系式中，可得的值，進而代入求解即可.
【詳解】由題意，鍶89半衰期（質(zhì)量衰減一半所用的時間）所用時間為50天，
即，則，
所以質(zhì)量為鍶89經(jīng)過30天衰減后，
質(zhì)量大約為．
故選：D．
8. 已知，則的零點個數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令，可得出，則函數(shù)的零點個數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想可得解.
【詳解】令，可得出，則函數(shù)的零點個數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，且當(dāng)時，.
在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：
由圖象可知，兩個函數(shù)共有個公共點，
因此，函數(shù)的零點個數(shù)為.
故選：C.
【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)的求解，一般轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)，下面有關(guān)結(jié)論正確的有（）
A. 定義域為B. 函數(shù)在上的值域為
C. 在上單調(diào)遞增D. 函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)反例可判斷BC的正誤，求出函數(shù)的定義域后可判斷A的正誤，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域后可判斷D的正誤.
【詳解】因為，故其定義域為，故A正確；
而，，故在上不是單調(diào)遞增，
故C錯誤，
而，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故D錯誤；
又當(dāng)時，因均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，
故其值域為，故B正確.
故選：AB.
10. 下列說法正確的是（）
A. 至少有一個實數(shù)，使
B. “”是“”的充分不必要條件
C. 命題“，”的否定是真命題
D. “在上單調(diào)遞增”是“”的必要不充分條件
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，由實數(shù)的平方的非負(fù)性可判斷；對于B，利用不等式的性質(zhì)判斷即可；對于C，先表示出原命題的否定，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；對于D，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系判斷即可.
【詳解】對于A，由，得，則不存在實數(shù)使得方程成立，故A錯誤；
對于B，若，則，充分性成立；
假設(shè)，，滿足，此時不成立，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；
對于C，命題“，”的否定是“，”，
因為恒成立，所以“，”是真命題，
即命題“，”的否定是真命題，故C正確；
對于D，由，
得二次函數(shù)的開口向下，對稱軸方程為，則單調(diào)遞增區(qū)間為，
若在上單調(diào)遞增，則，
所以，解得，故充分性不成立；
若，則，此時，所以在上單調(diào)遞增，故必要性成立；
所以“在上單調(diào)遞增”是“”的必要不充分條件，故D正確；
故選：BCD
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 為奇函數(shù)
B. 上單調(diào)遞增
C. 關(guān)于的方程有2個解
D. 若關(guān)于的不等式恰有1個整數(shù)解，則正實數(shù)的范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可直接得出為奇函數(shù)，即A正確，畫出函數(shù)圖象可知B錯誤，結(jié)合圖象可得方程有2個解，即C正確，根據(jù)不等式中整數(shù)解的個數(shù)可得，即可得正實數(shù)的范圍是，即D正確.
【詳解】易知函數(shù)定義域為，即定義域為關(guān)于原點對稱；
且滿足，即可得為奇函數(shù)，即A正確；
當(dāng)時，可得，
可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即B錯誤；
畫出函數(shù)圖象如下圖所示：
易知代表函數(shù)圖象與和交點個數(shù)，由圖可知方程有2個解，即C正確；
關(guān)于的不等式可得，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，可知不等式有無數(shù)個整數(shù)解；
當(dāng)時，區(qū)間上無整數(shù)解，
因此只需在上包含一個即可，當(dāng)時，,
當(dāng)時，，
因此若不等式恰有1個整數(shù)解，只需，解得；
又為正實數(shù)，所以正實數(shù)的范圍是，可得D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)解析式判斷得出其奇偶性并利用對稱性畫出函數(shù)圖象，再由函數(shù)與方程的思想即可得出方程根與不等式的解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 冪函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，則______．
【答案】4
【解析】
【分析】
首先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，再驗證是否滿足條件，最后求值.
【詳解】在區(qū)間0,+∞單調(diào)遞減，
，解得：，且，
或，
當(dāng)時，，函數(shù)是偶函數(shù)，滿足條件，此時，
當(dāng)時，，同樣滿足條件，
所以.
故答案為：4
13. 已知的圓心角所對的弧長為，則這個扇形的面積為_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)弧度值的定義，結(jié)合扇形面積公式求解即可.
【詳解】由題意，，故這個扇形的半徑，面積為.
故答案為：
14. 設(shè)，記，則函數(shù)的最小值為_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由所給的定義化簡函數(shù)，再結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，代入計算，即可求解.
【詳解】當(dāng)時，解得，
當(dāng)時，解得，
則，
因為在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
所以時，有最小值，且.
故答案為：0
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知：關(guān)于的不等式的解集為，：不等式的解集為.
（1）若，求；
（2）若是的必要不充分條件，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出當(dāng)時集合A，解分式不等式求出集合，然后利用交集運算求解即可；
（2）根據(jù)是的必要不充分條件求出集合和集合的關(guān)系，根據(jù)集合關(guān)系列不等式組求解即可.
【小問1詳解】
由題知：當(dāng)時，，解得，所以，
又，所以，解得，所以，
所以；
【小問2詳解】
若是的必要不充分條件，則是的真子集，
由（1）知，
時，集合，
所以，則，又時，，符合是的真子集，
時，，符合是的真子集，所以，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
16. 已知函數(shù)
（1）用定義法證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)的定義域為，且，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)果；
（2）根據(jù)條件和（1）結(jié)果，得到不等式組，即可求解.
【小問1詳解】
任取，且，，
則
，
又，，，則，，
所以，，
得到，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
【小問2詳解】
因為函數(shù)的定義域為，
且在區(qū)間上是增函數(shù)，由，
得到，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為或.
17. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，該圖象與軸交于點，與軸交于點為最高點，的面積為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的面積求得，進而求得，利用點求得，從而求得的解析式.
（2）先求得在區(qū)間的取值范圍，根據(jù)絕對值不等式的解法化簡不等式，根據(jù)恒成立問題以及對數(shù)不等式等知識求得正確答案.
【小問1詳解】
由題意可知：的面積，可得，
所以周期，則，
由，得，又，于是，
所以；
【小問2詳解】
由，則，得，
即．由，得，
即在上恒成立，
亦即，
因為，
所以，解得，
即實數(shù)的取值范圍是．
【點睛】方法點睛：利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求得三角函數(shù)的解析式，其中往往是通過周期，用來進行求解，往往通過函數(shù)圖象上一個點的坐標(biāo)來進行求解.求解不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來進行求解.
18. 近幾年以華為為代表的中國高科技企業(yè)正在不斷突破科技封鎖．多項技術(shù)已經(jīng)“遙遙領(lǐng)先”．國產(chǎn)光刻機作為芯片制造的核心設(shè)備，也已經(jīng)取得了突飛猛進的發(fā)展．已知一芯片生產(chǎn)商用某國產(chǎn)光刻機生產(chǎn)的型芯片經(jīng)過十項指標(biāo)全面檢測后，分為Ⅰ級和Ⅱ級，兩種芯片的某項指標(biāo)的頻率分布如圖所示：

若只利用該指標(biāo)制定一個標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機，小于或等于的產(chǎn)品應(yīng)用于型手機．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）求型芯片Ⅰ級品該項指標(biāo)的第70百分位數(shù)；
（2）當(dāng)臨界值時，求型芯片Ⅱ級品應(yīng)用于A型手機概率；
（3）已知，現(xiàn)有足夠多的型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品，分別應(yīng)用于A型于機、型手機各1萬部的生產(chǎn)：
方案一：直接將型芯片Ⅰ級品應(yīng)用于A型手機，其中該指標(biāo)小于等于臨界值的芯片會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失700元；直接將型芯片Ⅱ級品應(yīng)用于型手機，其中該指標(biāo)大于臨界值的芯片，會導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機損失300元；
方案二：重新檢測型芯片Ⅰ級品，Ⅱ級品，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要101萬元；
請從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．
【答案】（1）第70百分位數(shù)為86；
（2）；
（3）答案見解析．
【解析】
【分析】（1）在Ⅰ級品頻率分布直方圖中求出頻率對應(yīng)的值即得；
（2）在Ⅰ級品頻率分布直方圖中求出的頻率即得；
（3）用表示出方案一的損失值與方案二的缺失值101萬元比較可得．
【小問1詳解】
設(shè)型芯片Ⅰ級品該項指標(biāo)的第70百分位數(shù)為，
則該指標(biāo)在80以下的榞率為0.55，該指標(biāo)在90以下的概率為0.8，因此該項指標(biāo)的第70百分位數(shù)為一定在內(nèi)，
，
（也可以用），
得，
所以型芯片Ⅰ級品該項指標(biāo)的第70百分位數(shù)為86；
【小問2詳解】
當(dāng)臨界值時，
型芯片Ⅱ級品應(yīng)用于A型手機的概率為；
【小問3詳解】
設(shè)直接將型芯片Ⅰ級品、Ⅱ級品應(yīng)用于A型、型手機時，該芯片生產(chǎn)商支出為（萬元），
，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
綜上：為降低芯片生產(chǎn)商的成本，當(dāng)臨界值時，選擇方案二；
當(dāng)臨界值時，選擇方案一和方案二均可；
當(dāng)臨界值時，選擇方案一．
19. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意的且時，有成立.
（1）證明：在上單調(diào)遞增；
（2）解不等式：；
（3）若對所有的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)定義法即可證明函數(shù)單調(diào)性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可得，解不等式可得結(jié)果；
（3）不等式先對所有的得到，再由對所有的恒成立，可求得實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
取任意，且；
由是定義在上的奇函數(shù)，可得，
又因為對任意的且時，有成立，
所以，且；
因此可得，即.
所以在上單調(diào)遞增；
【小問2詳解】
由于是定義在上的奇函數(shù)，將不等式變形
可得；
由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以不等式需滿足，
解不等式可得；
解不等式可得或；
解不等式可得或；
綜合可得；
即不等式的解集為
【小問3詳解】
由（1）可知，在上的最大值為，
因為對所有的恒成立，
所以對所有的恒成立，
即對所有的恒成立，
令，即對所有的恒成立，
所以，即，
解得或或.
所以實數(shù)的取值范圍為或或
【點睛】方法點睛：函數(shù)不等式恒成立問題經(jīng)常借助函數(shù)單調(diào)性求得其最值，轉(zhuǎn)化成不等式恒成立即可.

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