北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期階段練習(xí)二（12月）數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

班級______姓名______學(xué)號______
一、選擇題（每小題4分，共32分）
1 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先解指數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.
詳解】由，即，解得，
所以，又，
所以.
故選：A
2. 某校高一、高二、高三人數(shù)分別為450，500，550，若用分層抽樣的方式從該校學(xué)生中抽取一個容量為30的樣本，則樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為（）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣計算規(guī)則計算可得.
【詳解】依題意可得樣本中高二學(xué)生的人數(shù)為（人）.
故選：B
3. 若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，則（）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)可解.
【詳解】因為函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，
所以，所以.
故選：B.
4. 已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定存在零點的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理判斷即可.
【詳解】因為與均在定義域上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，，
所以，所以在區(qū)間上存在唯一零點.
故選：C
5. 記，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得，，，可得結(jié)論.
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，又，所以，
因為在上單調(diào)遞增，又，所以，
因為在上單調(diào)遞增，，所以
所以.
故選：D.
6. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得結(jié)論.
【詳解】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
由，結(jié)合為增函數(shù)，可得，
由，結(jié)合為增函數(shù)，可得，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
7. 有一種質(zhì)地均勻的“新型”骰子，其六面中有三面點數(shù)為1，兩面點數(shù)為2，一面點數(shù)為3，現(xiàn)連續(xù)擲兩次該骰子，則這兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】記第一次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件，擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件，記第二次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件，擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件，可得兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)為事件，利用并事件與互斥事件的概率公式可求概率.
【詳解】記第一次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件，擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件，則，
記第二次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件，擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件，則，
則兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)為事件，
所以
.
故選：A.
8. 已知函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，求出相應(yīng)的的值，即可畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合求出的最值，即可得解.
【詳解】由，即，解得或，
所以，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，令，即，解得，，
則的圖象如下所示：
因為函數(shù)在上的值域為，
當(dāng)，（或，）時取得最小值，
即；
當(dāng)，時取得最大值，
即；
所以的取值范圍是.
故選：D
二、填空題（每小題4分，共24分）
9. 函數(shù)的定義域為______.
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得，解得即可.
【詳解】對于函數(shù)，令，解得且，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
10. 若，，…，的平均數(shù)為5，方差為4，則，，…，的平均數(shù)為______；方差為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為，，…，平均數(shù)為5，方差為4，
所以數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為：，
方差為.
故答案為：；.
11. 已知函數(shù)，若，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】由題意可得，進而可得，可求的值.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
所以.
故答案為：.
12. 已知定義在上的偶函數(shù)滿足：在上為單調(diào)函數(shù)，，，若，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到，即可得到的單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性得到，解得即可.
【詳解】因為為定義在上的偶函數(shù)，且在上為單調(diào)函數(shù)，，，
則，
所以上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，
不等式，即，所以，
即或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：
13. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.
①的值為______；
②記，，若，則的取值范圍是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性得到，求出，即可得到函數(shù)解析式，由函數(shù)的單調(diào)性求出集合，再根據(jù)，得到或，即可得解.
【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，解得；
因為在上單調(diào)遞減，又，，
則，
因為，所以或，解得或，
即的取值范圍是.
故答案為：；
14. 函數(shù)（且）.給出下列四個結(jié)論：
①當(dāng)時，的值域為；
②當(dāng)時，恰有兩個零點；
③若存在最大值，則的取值范圍是；
④若存在三個互不相等實數(shù)，使得，且，則的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的序號是______.
【答案】②③④
【解析】
【分析】對于①，直接說明即可；對于②，對分段函數(shù)的兩段分別研究零點即可；對于③和④，對分類討論結(jié)合圖象變化即可得到取值范圍.
【詳解】設(shè)，則；
設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增；且.
令，解得或.
結(jié)論①，當(dāng)時，.
此時，故①錯誤；
結(jié)論②，當(dāng)時，由于在上單調(diào)遞增，且，
故在上恰有一個零點.
而在上有，
由在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
且，
令，可得，可知在上有且僅有一個零點.
綜上可知，當(dāng)時，恰有兩個零點，故②正確；
結(jié)論③，當(dāng)時，
由于在上單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時，
故當(dāng)時，無最大值（如圖1），不滿足題意；
當(dāng)時，
當(dāng)時，由于在上單調(diào)遞增，且，；
當(dāng)時，由在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故；
由，故當(dāng)時，
故當(dāng)時，存在最大值（如圖2），滿足題意；
當(dāng)時，
當(dāng)時，由于在上單調(diào)遞增，且，；
當(dāng)時，由在單調(diào)遞減，
，且當(dāng)時，故在不存在最大值；
可知當(dāng)時，無最大值（如圖3），不滿足題意；
同理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與圖象可知，
當(dāng)時，無最大值（如圖4），不滿足題意；
當(dāng)時，，存在最大值1（如圖5），滿足題意；
當(dāng)時，存在最大值1（如圖6），滿足題意；
綜上所述，若存在最大值，則的取值范圍是即③正確；
結(jié)論④，存在三個互不相等實數(shù)，使得，
可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
不妨設(shè)，.
當(dāng)時，結(jié)合圖象（如圖）可知，
當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
且，，則，故滿足題意，
故當(dāng)時，滿足題意；
當(dāng)時，，且，
結(jié)合圖象（如圖）可知，
當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
但，，則，故不滿足題意；
當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
且，，則，
故當(dāng)時，滿足題意；
當(dāng)時，，且，
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與圖象（如圖）可知，
當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，
但，，則，故不滿足題意；
同理結(jié)合圖象（如圖，③中圖，圖，圖，圖）可知，
當(dāng)時，函數(shù)圖象與直線至多兩個交點，故不滿足題意.
綜上所述，的取值范圍是，故④正確.
故答案為：②③④
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.根據(jù)分段函數(shù)的兩段圖象變化進行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，如③通過函數(shù)圖象兩段最值的變化探究函數(shù)的最大值；如④則轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)研究.
三、解答題（共44分）
15. 現(xiàn)有大小相同的紅球和白球各兩個，若在其中隨機抽?。ú环呕兀﹥蓚€球.
（1）求所抽的兩個球中，恰有一個為紅球的概率；
（2）求所抽的兩個球中，至少有一個為紅球的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）記兩個紅球為，，兩個白球為，，利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計算可得；
（2）找出符合題意的基本事件，再由古典概型的概率公式計算可得.
【小問1詳解】
記兩個紅球為，，兩個白球為，，
從中隨機抽取（不放回）兩個球，則可能結(jié)果有，，，，，共個，
恰有一個為紅球的有，，，共種情況，
所以所抽的兩個球中，恰有一個為紅球的概率.
【小問2詳解】
所抽的兩個球中，至少有一個為紅球有，，，，共種情況，
所以所抽的兩個球中，至少有一個為紅球的概率.
16. 為調(diào)查某校學(xué)生的校志愿者活動情況，現(xiàn)抽取一個容量為100的樣本，統(tǒng)計了這些學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動時長，并繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖，記數(shù)據(jù)分布在，，，，，，的頻率分別為，，…，.已知，.
（1）求，的值；
（2）求樣本中在內(nèi)的頻數(shù)；
（3）若全校共名學(xué)生，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計：全校學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動時長不少于分鐘的人數(shù).
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖及直方圖的性質(zhì)得到方程組，解得即可；
（2）首先求出，即可求出頻數(shù)；
（3）求出，從而估計人數(shù).
【小問1詳解】
依題意，，
又，且，，
解得，，；
【小問2詳解】
因為，
所以樣本中在內(nèi)的頻數(shù)為；
【小問3詳解】
因為，
所以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計全校學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動時長不少于分鐘的人數(shù)約為（人）.
17. 已知函數(shù).
（1）判斷的奇偶性，并證明；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）為奇函數(shù)，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域，再計算，即可證明；
（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性與奇偶性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.
【小問1詳解】
為奇函數(shù)，證明如下：
由題意可得，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
又，
所以函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
【小問2詳解】
因為，
又上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，
不等式，即，即，即，
解得，
所以的取值范圍為.
18. 已知函數(shù)（且）.
（1）當(dāng)時，求的最大值；
（2）若對任意，均有，求的最大值；
（3）若對任意，均有，求的取值范圍.
【答案】（1）1 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）利用配方法可求的最大值；
（2）參變分離可得，均有，變形利用基本不等式可求得的最小值，從而可得的最大值；
（3）令，令，對分類討論求得值域，可得所滿足的條件，進而可求得的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立
所以的最大值為1
【小問2詳解】
因為，所以，
由題“”即：“，均有”
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，即的最大值為4
【小問3詳解】
令，則，令，
①當(dāng)時，由，則，則在上單調(diào)遞減，
又，
所以，依題意，故；
②當(dāng)時，由，則，
1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以恒成立，符合題意；
2）當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，
所以，故，
綜上可得，的取值范圍是.
【附加題】
19. 若函數(shù)的定義域為，且滿足，則稱為“函數(shù)”.
（1）分別判斷下列函數(shù)是否為“函數(shù)”；（直接給出結(jié)論）
①；②
（2）若“函數(shù)”在上單調(diào)遞增，且，求的取值范圍；
（3）若“函數(shù)”滿足：當(dāng)時，，且在上的值域為，求的取值范圍.
【答案】（1）①是“函數(shù)”，②不是“函數(shù)”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）①是“函數(shù)”；②不是“函數(shù)”，利用“函數(shù)”的定義判斷即可.
（2）利用已知可證在上單調(diào)遞增，進而由單調(diào)性可得，求解即可；
（3）①當(dāng)時，利用，②當(dāng)時，利用“函數(shù)”，可求值域，③當(dāng)時，，根據(jù)值域為，只需，求解即可.
【小問1詳解】
①是“函數(shù)”；②不是“函數(shù)”.
理由如下：①，又函數(shù)的定義域為，所以為“函數(shù)”.
②，故不是“函數(shù)”.
【小問2詳解】
先證：在上單調(diào)遞增.
任取，且
①若，由于在上單調(diào)遞增，則
②若，則，由于在上單調(diào)遞增，則，結(jié)合“函數(shù)”定義，有即在上單調(diào)遞增
③若，由①②，則有，
故在上單調(diào)遞增
，
由于在上單調(diào)遞增，因此，
即，解得，
綜上，的取值范圍是；
【小問3詳解】
①當(dāng)時：，
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，在上的最大值為
進而，在上的值域為；
②當(dāng)時，的取值范圍是，
由“函數(shù)”的定義，的取值范圍是，
即在上的值域為；
③當(dāng)時，，即
因此，在上的值域為
若使其為，只需，而，解得，
綜上，的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：3小問，當(dāng)，關(guān)鍵在于利用，利用二次函數(shù)與基本不等式求得最大值，從而求得值域，利用新定義求得的值域，進而解決問題.

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