一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.）
1. 已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故.
故選：C.
2. 已知集合，若，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由題意可得，解得．
故選：B.
3. 已知向量，若，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，解得?br>故選：A
4. “”是“直線與直線平行”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若，則，解得或，
所以由可以得到，反之則不然，
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知圓臺(tái)的母線長為，高為，體積為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【解析】如下圖所示，

設(shè)圓臺(tái)上底面半徑為，下底面半徑為，則，
設(shè)為圓臺(tái)的一條母線，連接、，則四邊形為直角梯形，
過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，
根據(jù)題意，，，，，
因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，
所以，，，則，
由勾股定理可得，即，可得，①
又因?yàn)閳A臺(tái)的體積為，可得，②
所以，，解得，
所以，圓臺(tái)的側(cè)面積為.
故選：C.
6. 已知函數(shù)的圖像向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，
所以，又，所以，解得，
因?yàn)?，所以時(shí)，取得最小值，最小值為8.
故選：D
7. 為豐富學(xué)生的校園文化生活，哈爾濱市第九中學(xué)每年冬天都會(huì)在操場(chǎng)上澆筑滑冰場(chǎng)，現(xiàn)欲測(cè)量操場(chǎng)兩側(cè)C，D兩點(diǎn)之間的距離，甲同學(xué)選定了與C，D不共線的兩處觀測(cè)點(diǎn)，如圖所示，并知，設(shè)，以下是測(cè)量數(shù)據(jù)的不同方案：①測(cè)量；②測(cè)量；③測(cè)量；④測(cè)量．若甲同學(xué)選擇的方案能唯一確定C，D兩點(diǎn)之間的距離，則這樣方案的個(gè)數(shù)有（ ）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】因?yàn)?，即唯一確定
對(duì)于①：已知，由三角形全等可知是唯一確定的，
則唯一確定，
若已知，則唯一確定，且已知，
由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；
對(duì)于②：由①可知：唯一確定，
若已知，由三角形全等可知是唯一確定的，則唯一確定，
由三角形全等可知是唯一確定的，即唯一確定，符合題意；
對(duì)于③：由①可知：是唯一確定的，則唯一確定，
因?yàn)楹臀ㄒ淮_定，可知點(diǎn)在以線段為弦的圓上，
又因?yàn)楹臀ㄒ淮_定，可知點(diǎn)在以線段為弦的圓上，
若圓與圓可能重合，此時(shí)不唯一確定，不合題意；
對(duì)于④：由①③可知：是唯一確定的，點(diǎn)在以線段為弦的圓上，
如圖所示：

雖然確定，但直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，所以不唯一確定，不合題意；
綜上所述：符合題意的方案的有2個(gè).
故選：B.
8. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?
因?yàn)椋?br>所以，即，
又，
所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
即.
故選:A.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的不得分.）
9. 在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A.
B. 的面積為
C. 的周長為
D. 外接圓半徑為
【答案】BC
【解析】，，可得，可得外接圓半徑，故D錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，即，所以，，可得；
當(dāng)時(shí)，即，由正弦定理得；故A不一定成立；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，所以，，
所以的周長為：，的面積為：；
當(dāng)時(shí)，，，，解得，，
所以的周長為：，的面積為：；
故BC一定成立.
故選：BC.
10. 已知角滿足，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因?yàn)椋?，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以，故B正確；
由，，兩式相除可得，故C錯(cuò)誤；
，
故D正確.
故選：ABD
11. 法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過圓上的動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，交圓于兩點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓的離心率為
B. 若點(diǎn)在橢圓上，將直線斜率分別記為，則
C. 點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)的距離的最小值為
D. 面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，依題意，過橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，
過橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓上，

所以，得，
所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，
所以為圓的直徑，則，
所以面積的最大值為，故D正確；
對(duì)于C，設(shè)，橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，即?br>所以
，
又，所以，
所以則到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C正確；
對(duì)于B，由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)，則，
又，所以，
所以，所以，故B正確；
故選：BCD.
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為______．
【答案】240或3840
【解析】由于的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，
即，
解得n＝6．
又由于展開式系數(shù)和為729，
令得，即，
解得或-4，
的展開式的通項(xiàng)為，
令，
解得，
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
故答案為：240或3840
13. 若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長為__________．
【答案】
【解析】直線，則，
令，解得，
所以動(dòng)直線恒過點(diǎn)，
又圓的圓心為，半徑，
所以，
所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長最短，
最短弦長為.
故答案為：
14. 已知在斜二測(cè)畫法下的直觀圖(其中A與對(duì)應(yīng)，B與對(duì)應(yīng))為下圖所示的，其中，，則的面積為______；以該為底面的三棱錐中，，，則三棱錐的外接球半徑為______.
【答案】 ①. ②.
【解析】由斜二測(cè)畫法原理可知中，，邊上的高，
所以；
由勾股定理得，故為等邊三角形，
由得是邊長為2的等邊三角形.
設(shè)D，E分別為，的外心，的中點(diǎn)為F，
連接，，過點(diǎn)D，E分別作平面、平面的垂線，
設(shè)兩垂線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為該三棱錐外接球的球心，
連接，，則 為外接球的半徑，
依題意，且，，
由余弦定理得，
所以，由E為的外心，
所以，，
因?yàn)?，，?br>所以，
所以，所以，
所以，
即外接球的半徑.
故答案為：，
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.）
15. 良好的用眼習(xí)慣能夠從多方面保護(hù)眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對(duì)于保護(hù)青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學(xué)生能夠掌握良好的用眼習(xí)慣，開展了“愛眼護(hù)眼”有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，班主任將競(jìng)賽題目分為兩組，規(guī)定每名學(xué)生從兩組題目中各隨機(jī)抽取2道題作答．已知該班學(xué)生甲答對(duì)組題的概率均為，答對(duì)組題的概率均為．假設(shè)學(xué)生甲每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．
（1）求學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題的概率；
（2）設(shè)學(xué)生甲共答對(duì)了道題，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
解：（1）學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題有以下兩種情況：
第一種情況是學(xué)生甲答對(duì)組的2道題和組的1道題，
其概率；
第二種情況是學(xué)生甲答對(duì)組的l道題和組的2道題，
其概率．
故學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題的概率．
（2）由題意可知的所有可能取值為．
，
，
，
，
由（1）可知，
則的分布列為
故．
16. 已知是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在上.
（1）求的方程；
（2）已知直線的斜率存在且不經(jīng)過原點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)在直線上.若，的面積為，求的方程.
解：（1）由題可得，
所以的方程為.
（2）設(shè)，
由得，
由題意得，
設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
所以.
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，所以，即，
因?yàn)?，所?
故的方程為，
且，
又點(diǎn)到的距離，
所以，
解得，所以的方程為.
17. 三棱臺(tái)中，，平面平面ABC，，與交于D．

（1）證明：平面；
（2）求異面直線與DE的距離．
（1）證明：三棱臺(tái)中，，則，
有，得，所以，
又，所以在平面內(nèi)，，有，
平面平面，所以平面．
（2）解：已知平面平面ABC，平面平面，，
平面，
所以平面，
由平面，
得，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，
由平面ABC，
得.
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．
則有，
，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)向量，且滿足：，
則有，
令，
在的投影數(shù)量為，
異面直線與DE的距離.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）.
（i）當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（ii）若在上恒成立，求的取值范圍.
解：（1），
若，則，
故當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
若，則，而，
若在上恒成立，
故同理可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）（i）,
當(dāng)時(shí)，，
則，其中，
因在0,+∞上增函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
故.
（ii），
設(shè)，
則，
設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，
故在為增函數(shù)，故，
若，則即在上恒成立，
故即在上為增函數(shù)，故，
故在上為增函數(shù)，故恒成立.
若，，
而，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
且當(dāng)時(shí)，，
故在為減函數(shù)，故時(shí)，，
故在為減函數(shù)，故時(shí)，，
這與題設(shè)矛盾，
綜上，.
19. 已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對(duì)任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．
（1）若，且為“2數(shù)列”，求．
（2）若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．
（3）若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證明：．
（1）解：由，且為“2數(shù)列”，
得，即，
則，
，
，
．
（2）解：設(shè)數(shù)列的公比為，
由，
得，
即，
則．
兩式相減得，
即．
因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為2的“數(shù)列”，
所以，
即，
所以，
即對(duì)任意的恒成立．
因?yàn)?，?br>則，
即，
解得，．
又由，即，
得，所以．
檢驗(yàn)可知符合要求，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（3）證明：因?yàn)闉椤皵?shù)列”，所以，
即對(duì)任意的恒成立，
因?yàn)?，?br>所以．
再結(jié)合，，，反復(fù)利用，
可得對(duì)任意的，．
設(shè)函數(shù)，
則．
由，得．
當(dāng)時(shí)，f'x

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