考試時間：2024年11月13日 完卷時間：120分鐘 滿 分：150分
第I卷（選擇題）
選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的。
1．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A(2,5,7)關(guān)于xOy平面的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為
A．(2,5,?7)B．(2,?5,7)C．(?2,5,7)D．(?2,?5,7)
2．已知x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,?2,2，且a⊥c，b→// c，則x+y的值為
A．?1B．1C．2D．3
3．已知向量a,b,c是空間的一個基底，向量a?b,a+b,c是空間的另一個基底，向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為(4,2,?1)，則向量p在基底a?b,a+b,c下的坐標(biāo)為
A．(1,3,?1)B．(3,1,?1)C．(1,3,1)D．(?1,?3,?1)
4．“a=2”是“直線l1:2ax+4y+3=0與直線l2:(a?1)2x+y?5=0平行”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知點(diǎn)M(3，0)關(guān)于直線x?y?1=0的對稱點(diǎn)為P，經(jīng)過點(diǎn)P作直線l，若直線l與連接A(9，1)，B(5，8)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為
A．[18，32] B．(?∞，?18) C．[?18，32] D．(?∞，?18]∪[32，+∞)
6．已知圓C1：(x?1)2+y2=1，圓C2：(x?a)2+(y?b)2=4，其中a,b∈R，若兩圓外切，則b?3a?5的取值范圍為
A．?247,0 B．?125,0 C．0,247 D．0,125
7．將邊長為22的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A?BD?C，則下列結(jié)論不正確的是
A．AC⊥BDB．△ACD是等邊三角形
C．點(diǎn)B與平面ACD的距離為23D．AB與CD所成的角為60°
8．已知點(diǎn)A?2,0，B2,0，點(diǎn)P為直線l:2x+y?6=0上動點(diǎn)，當(dāng)∠APB最大值，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
A．5B．4C．3D．2
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分。
9．已知圓M：x2+y+12=4和圓N：x2+y2?4x+3=0相交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是
A．直線AB的方程為y=?2x+2
B．若點(diǎn)P為圓N上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為55+1
C．線段AB的長為455
D．直線4x?3y?13=0是圓M與圓N的一條公切線
10．已知橢圓C:x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，則
A．△F1PF2的周長為4+22
B．存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2=90°
C．若∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為23
D．使得△F1PF2為等腰三角形的點(diǎn)P共有4個
11．如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G、M、N均為所在棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動，則下列結(jié)論中正確的為
A．P在BC中點(diǎn)時，平面PEF⊥平面GMN
B．異面直線EF、GN所成角的余弦值為14
C．E、F、G、M、N在同一個球面上
D．A1P=tA1A+A1M?2tA1B1，則P點(diǎn)軌跡長度為52
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知△ABC的三個頂點(diǎn)A0,0，B0,5，C2,0那么三角形外接圓的方程是 .
13．橢圓C:x22+y2b2=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1?F2，點(diǎn)P1,22在C上，直線l過左焦點(diǎn)F1，且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為60°，則△ABF2的面積等于 .
14．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2=1a>1，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，設(shè)點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，△PAB的面積的最大值為2+1，若已知點(diǎn)M、N為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q為橢圓上任意一點(diǎn)，則1QN+4QM的最小值為 .（答案用分?jǐn)?shù)形式表示）
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）
已知△ABC的頂點(diǎn)A(1,1)，邊AC上的高BH所在直線的方程為x?y+8=0，邊AB上的中線CM所在直線的方程為5x?3y?10=0.
(1)求直線AC的方程及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)求△ABC的面積.
16．（15分）
如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1=2，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c
(1)試用a，b，c表示向量AC、BD1；
(2)若∠A1AD=∠A1AB=120°，求向量AC與BD1所成的角的余弦值.
17．（15分）
如圖，已知某市穿城公路MON自西向東到達(dá)市中心O后轉(zhuǎn)向正北方向，∠MON=π2，在公路MO段上距離市中心O點(diǎn)53km處有一古建筑C（視為點(diǎn)），現(xiàn)設(shè)立一個以C為圓心，Rkm為半徑的圓形保護(hù)區(qū)E，并準(zhǔn)備修建一條直線型高架公路L，在MO上設(shè)出入口A，在ON上設(shè)出入口B，滿足∠BAO=π3且直線AB與圓E相切.
(1)若將出入口A設(shè)計在距離中心O點(diǎn)103處，求R；
(2)若點(diǎn)B到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于20km，
則如何設(shè)置出入口B，才能使該圓形保護(hù)區(qū)的半徑R最小.
18．（17分）
如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC，AB=12CD=AD=1,M為棱PC的中點(diǎn)．
(1)證明：BM//平面PAD；
(2)若PC=5,PD=1，
（i）求平面PDM與平面BDM的余弦值；
（ii）在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是269？若存在，求出PQ的值；若不存在，說明理由．
19．（17分）
已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為B，左右頂點(diǎn)分別為A1、A2，左焦點(diǎn)為F1，離心率為12．過F1作垂直于x軸的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，且DE=3．
(1)求C的方程；
(2)若M，N是C上任意兩點(diǎn)
①若點(diǎn)M1,32，點(diǎn)N位于x軸下方，直線MN交x軸于點(diǎn)G，設(shè)△MA1G和△NA2G的面積分別為S1，S2，若2S1?2S2=3，求線段MN的長度；
②若直線MN與坐標(biāo)軸不垂直，H為線段MN的中點(diǎn)，直線OH與C交于P，Q兩點(diǎn)，已知P，Q，M，N四點(diǎn)共圓， 求證：線段MN的長度不大于14．

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