1．若直線過兩點(diǎn)和，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足，則下列條件中能確定點(diǎn)，，，共面的是（ ）
A．B．C．D．
3．平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．若圓被直線平分，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知點(diǎn)，直線過原點(diǎn)且平行于，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A．B．1C．D．
7．已知曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．在棱長為的正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，過作平面，使得，則點(diǎn)到平面的距離是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．以下說法正確的是（ ）
A．過點(diǎn)且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為
B．直線與直線之間的距離是
C．直線恒過定點(diǎn)
D．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，，，則時(shí)的最大值是
10．已知點(diǎn)在上，點(diǎn)，，則（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離最大值是
B．滿足的點(diǎn)有2個(gè)
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．過直線上任意一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線過定點(diǎn)
11．在棱長為2的正方體中，已知，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，四棱錐外接球半徑為
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為
C．周長的最小值為
D．若，則點(diǎn)的軌跡長為
三、填空題（本大題共3小題）
12．直線與直線平行，則 ．
13．若圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為 ．
14．某校的幾個(gè)高二年同學(xué)在深入研究選擇性必修第一冊(cè)教材第一章中的習(xí)題時(shí)發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．教材中闡述并要求證明下面的兩個(gè)結(jié)論：
請(qǐng)利用這兩個(gè)結(jié)論求解下列問題：
已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，，，且邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上．
(1)求邊上的高所在直線方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線為，且點(diǎn)與點(diǎn)到直線距離相等，求直線的方程．
16．如圖，在棱長為2的正四面體中，是線段的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，在線段上，且

(1)求線段的長；
(2)直線與直線所成角的余弦值；
(3)證明：平面；
17．已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上．
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線過點(diǎn)且直線被圓所截得的弦長為6，求直線的方程；
(3)已知點(diǎn)，，且為圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，且，平面，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)設(shè)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面所成角的最大值為，試求平面與平面的夾角的余弦值．
19．已知圓和圓．
(1)若圓與圓相交，求的取值范圍；
(2)若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；
(3)若，設(shè)為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
答案
1．【正確答案】C
【詳解】由題意，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，
故，由于，故.
故選：C.
2．【正確答案】C
【詳解】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知，，解得.
故選：C.
3．【正確答案】D
【詳解】由圓心到直線的距離，
即所求圓的半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
4．【正確答案】B
【詳解】由圓，可得，
圓心，
因?yàn)橹本€平分圓，所以，解得.
故選：B.
5．【正確答案】A
【詳解】由題意可知：，∴，
又∵時(shí)，即時(shí)，共線，∴，
∴.
故選：A
6．【正確答案】A
【詳解】取,又，所以，則點(diǎn)到的距離為
.
故選：A
7．【正確答案】B
【詳解】由，可得，
故曲線軌跡為以為圓心，1為半徑的上半圓，
恒過定點(diǎn)，把半圓和直線畫出，如下：

當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，滿足兩個(gè)相異的交點(diǎn)，且此時(shí)取得最大值，最大值為，
當(dāng)直線與相切時(shí)，
由到直線距離等于半徑可得，，解得，
結(jié)合圖形可知要想曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
8．【正確答案】D
【詳解】如圖，以原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∴，，，，
∴，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=a,b,c，
∵，，∴，，
即，
令則，
即為平面的一個(gè)法向量，
∴點(diǎn)到平面的距離.
故選：D
9．【正確答案】CD
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)在軸上的截距和軸上截距截距均為0時(shí)，易得直線方程為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，直線，即為，
故直線與直線之間的距離為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：由．
由，所以直線恒過定點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得：，即，
如圖，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為，故D正確.

故選：CD.
10．【正確答案】BCD
【詳解】A選項(xiàng)：直線，即，
圓心到直線的距離，
∴點(diǎn)到直線的距離最大值是，A選錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，得，化簡得，
則直線與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，
圓心到直線的距離，故有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴滿足的點(diǎn)有2個(gè)，故B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)：由觀察可知，
當(dāng)與圓相切時(shí)，最大或最小，
顯然不存在時(shí)，與圓不相切，
∴設(shè)，圓心到直線的距離，解得.
顯然當(dāng)時(shí)最小，聯(lián)立方程組，解得，即，
此時(shí)，故C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：設(shè)是直線上一點(diǎn)，過作兩條直線分別于圓相切與點(diǎn)，即，
∴四點(diǎn)共圓，∴中點(diǎn)為圓心，
∴圓，
∵是圓和圓的公共弦，∴兩個(gè)圓方程作差得，
∵，∴，
∴，整理得，
故直線過定點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
11．【正確答案】ABC
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由題，
所以此時(shí)點(diǎn)P為的中點(diǎn)，故點(diǎn)P到底面的距離為1，且四棱錐為正四棱錐，
設(shè)底面中心為Q，則且該四棱錐外接球球心O在直線上，

設(shè)四棱錐外接球半徑為R，則有即，
所以，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，?br>所以三點(diǎn)共線，即在線段上，連接，
則由題意可知為的中位線，，
所以，
連接交于點(diǎn)G，則，又由正方體性質(zhì)可得，平面即平面，
因?yàn)椋移矫妫?br>所以平面，所以點(diǎn)D到平面的距離為，

所以此時(shí)，故B正確；
對(duì)于C，由題可得，
所以周長為，所以該周長最小時(shí)取得最小值，
因?yàn)辄c(diǎn)滿足，，，
所以四點(diǎn)共面，即P在平面內(nèi)，

如圖，取中點(diǎn)I，則由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，所以，
所以取得最小值時(shí)即為取得最小值時(shí)，
所以由三角形兩邊之和大于第三邊可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值為，
所以周長最小值為，故C正確；
對(duì)于D，由A知底面中心為Q，且，又由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知平面，平面，
所以，所以若，則，

如圖，所以點(diǎn)P的軌跡是平面內(nèi)以Q為圓心半徑為2的圓與四邊形相交的交線，該交線為圓弧，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
所以點(diǎn)P的軌跡長為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．【正確答案】-3
【詳解】依題意，可得且，
解得或，因，故.
故-3.
13．【正確答案】
【詳解】由題意可知，圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，
則使得圓心到直線的距離2，即，如圖所示：
解得.
故
14．【正確答案】
【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋瑒t平面的法向量為，
平面與的法向量分別為，，
直線是兩個(gè)平面與的交線，
設(shè)直線的方向向量為，則，令，則，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
則直線與平面所成角的正弦值是.
故
15．【正確答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設(shè)，，，
∵邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上，
∴，∴，
∵，∴，
∴所在直線方程為，即.
（2）方法一：當(dāng)斜率不存在時(shí)，，不滿足題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)即，
依題意得：，
解得或，
綜上所述，直線的方程為：或，
即：或.
方法二：依題意，所求直線與直線平行或過線段的中點(diǎn)，
綜上所述，直線的方程為：或，
即：或.
16．【正確答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）設(shè)，，．則其模長均為2，且兩兩夾角均是，
從而，，
由在線段上，且，可得，
則
，
；
（2）由是中點(diǎn)可得，
∴
，
所以，
所以直線與直線所成角的余弦值為．
（3），
；
，
，
又，平面，且，
平面．
17．【正確答案】(1)
(2)或
(3)
【詳解】（1）法一：，的中點(diǎn)為，
的垂直平分線方程為，即，
將聯(lián)立可得，即圓的圓心坐標(biāo)為．
圓的半徑為，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
法二：設(shè)圓的方程為．
由題可得，解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
法三：設(shè)圓的方程為
由題可得，解得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程即．
（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，
故．
①若直線的斜率不存在，
則，此時(shí)圓心到直線的距離為1，符合題意．
②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
則有，解得，
則直線的方程為．
故直線的方程為或．
（3）因點(diǎn)在圓上，可設(shè)，（為參數(shù)）
又點(diǎn)，，故
，其中，
則當(dāng)時(shí)，取最小值為．
18．【正確答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形.
為的中點(diǎn),，
又，，
平面，平面，，
而平面，平面，且，平面，
又平面，.
（2）法一：由平面，平面可得，
又由（1）可得，，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
所以，，設(shè)，
則，由，，三點(diǎn)共線可設(shè)，
設(shè)，則，則，
故，從而，
又平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，
則．
令，
故當(dāng)時(shí)，，
故，即，，
則，，因?yàn)椋剩?br>所以點(diǎn)坐標(biāo)為，則，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則有
取，可得；
同理可得平面的一個(gè)法向量，
，
故平面與平面的夾角余弦值為.
法二：為上任意一點(diǎn)，連接，，
由（1）知平面，所以為與平面所成的角，
在中，，且，
所以當(dāng)最短時(shí)，最大，
即當(dāng)時(shí)，最大.
因?yàn)?，所以?br>又，所以，所以，
由（1）知，，兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又，分別為，的中點(diǎn)，
所以，，，，
，，，
所以，，，
設(shè)平面的一法向量為，
則，故，
取，則，
又由平面可得，
因?yàn)?，平面，平面，，所以平面?br>故為平面的一法向量，
所以.
故平面與平面的夾角的余弦值為.
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)或
【詳解】（1）由配方得，則其圓心，半徑，
由，則其圓心，半徑
圓與圓相交，
，
即，解得，
的取值范圍是.
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，消去得
由，可得，
則有，
，
解得，
因?yàn)?，所以?br>（3）如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，則直線的斜率為，

則直線、的方程分別為：，，
即：，
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等且兩圓半徑相等，
由垂徑定理得，圓心到直線的距離與圓心到直線的距離相等．
故有：，
化簡得：，
即或，
整理得：，或，
依題存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，所以關(guān)于的方程有無窮多解，
從而有或，
解得或，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為或．
在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，．
（1）過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為；
（2）過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為．

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