一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，，
所以.
故選：A.
2. 給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則下面結(jié)論正確的還是（ ）
A. 平均數(shù)為4B. 方差為
C. 眾數(shù)為5D. 分位數(shù)為2
【答案】B
【解析】平均數(shù)為，A錯(cuò)；
方差為，B正確；
眾數(shù)有兩個(gè)：2和3，C錯(cuò)誤；
將數(shù)據(jù)從小到大排列為，由知第8百分位為為，D錯(cuò)，
故選：B.
3. 已知向量，，，，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得，解得，即；
所以;
因此在方向上的投影向量為.
故選：A.
4. 過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
設(shè)雙曲線的方程為，故，解得，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選:A.
5. 函數(shù)在上的圖象不可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】觀察選項(xiàng)B、D，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)是偶函數(shù)，根據(jù)的解析式，此時(shí)，故，又 ，所以.
故選：D.
6. “”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】由題意，若，
則，
由，得，
此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以充分性成立；
若函數(shù)在上單調(diào)遞減，
由，得，
則，
所以，，
解得，即，所以必要性成立；
因此，“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分必要條件.
故選：C.
7. 在打結(jié)計(jì)時(shí)賽中，現(xiàn)有5根繩子，共有10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．則這5根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】10個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有的打結(jié)方式有：種.其中恰好能圍成一個(gè)圈的打結(jié)方式有：種.
所以5根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的概率為：.
故選：D.
8. 已知函數(shù)，若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解之積等于（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】畫出的圖象，如下：
令，則，
根據(jù)的圖象可知，要滿足題意必須有兩個(gè)不等實(shí)根，
且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，
結(jié)合圖象，當(dāng)與相切時(shí)滿足要求，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故，
又，其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
令，解得，
故時(shí)，有兩個(gè)整數(shù)根，分別為2和-16，
由圖象可知，三個(gè)整數(shù)根中，必有一個(gè)小于2，
顯然只有滿足要求，此時(shí)，故，
令，解得另一個(gè)根為4，又，解得，
故五個(gè)整數(shù)根分別為，
所以最大整數(shù)解和最小整數(shù)解之積為.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A.
B.
C.
D. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
【答案】BD
【解析】虛數(shù)不能比較大小，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
復(fù)數(shù)，則，則，B選項(xiàng)正確；
，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
10. 已知圓：，是直線：上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，分別與相切于點(diǎn)，，則（ ）
A. 存在圓心在上的圓與相內(nèi)切
B. 四邊形面積的最小值為
C. 的最小值是
D. 點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在內(nèi)
【答案】ABD
【解析】圓：的圓心，半徑
對(duì)于A，在直線上取點(diǎn)，，點(diǎn)在圓外，
以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓相內(nèi)切，A正確；
對(duì)于B，四邊形面積，
點(diǎn)到直線的距離，則，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，由，得，
解得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為5，
點(diǎn)與圓心確定的直線斜率為，而直線的斜率為，
即點(diǎn)與確定的直線垂直于，因此點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，
則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在內(nèi)，D正確.
故選：ABD.
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、、分別是、、的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（ ）
A. 四面體的外接球的表面積為
B. 存在點(diǎn)，使、、、四點(diǎn)共面
C. 過且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為
D. 點(diǎn)是四邊形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線夾角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為s
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，
所以，四面體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，
即四面體的外接球的直徑為，
所以，四面體的外接球的表面積為，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，連接、、，
因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形?所以，，
因?yàn)?、分別是、中點(diǎn)，則，所以，
即、、、四點(diǎn)共面，
當(dāng)與重合時(shí)滿足、、、四點(diǎn)共面，
但是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，如圖，在平面上作⊥，垂足為點(diǎn)，
過點(diǎn)作在平面內(nèi)⊥交或者于，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>且平面，所以平面，
又平面，所以⊥，
因?yàn)?，、平面，所以平面?br>平面截正方體截面為平行四邊形，
當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，面積最大，此時(shí)，，面積為，
當(dāng)與點(diǎn)無限接近時(shí)，面積接近于，
過且與垂直的平面截正方體所得截面面積取值范圍為，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，則，
則平面，取的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，
交、于、，
則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的部分圓弧，
此時(shí)滿足直線與直線夾角為，
如圖，，故，
所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，D對(duì).
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 直線與函數(shù)和的圖象都相切，則________
【答案】
【解析】，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，
又，所以，
設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，又，所以，
由可得，
由，可得，
又，所以，
由，得，
所以.
故答案為：.
13. 已知中，
①__________；
②為邊的中點(diǎn)，若，則__________.
【答案】或0.25
【解析】，
即
由正弦定理角化邊可得
由余弦定理可得；
設(shè)
由余弦定理結(jié)合①得
在中，在中，
所以，即，
，
等式兩邊同時(shí)除以可得，
解得或（舍去），
所以.
故答案為：；.
14. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契年~年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：，該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為．設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為__________．
【答案】8
【解析】由，得，
得，得，
得，，
所以，
令，則數(shù)列即為斐波那契數(shù)列，
，則，顯然數(shù)列為遞增數(shù)列且，所以數(shù)列亦為遞增數(shù)列，
由，得，，，，
，，
因?yàn)椋?br>所以
使得成立的的最小值為8．
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由可得，解得，
故，
（2），
故，
由于，
，
其中分別為前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和以及偶數(shù)項(xiàng)的和，
故
16. 如圖，三棱錐的棱上存在一點(diǎn)，使得平面底面，點(diǎn)在棱上，且平面.
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
（1）證明：因?yàn)槠矫娴酌妫矫嫫矫?，，平面?br>所以平面 ，又平面，所以.
又因?yàn)槠矫?，平面，所?
又，平面，所以平面.
（2）解：由（1）知平面，平面，所以，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)A垂直底面的直線為軸，建立如圖所示的空直角坐標(biāo)系.
因?yàn)槠矫?，平面，所?
又，所以，得
則，
故，
依題意，平面 的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，取，則
設(shè)平面與平面的夾角為，
所以 ，
因此平面與平面夾角的余弦值為
17. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（2）證明：在上恒成立；
（3）討論方程在上的根的個(gè)數(shù).
（1）解：由題意當(dāng)時(shí)，則，
令解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
（2）證明：先證明對(duì)任意，，
令，，
令解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以，即，
故對(duì)任意成立，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以在上恒成立．
（3）解：由（2），在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
也即的根為的根，下討論方程的根的個(gè)數(shù)，
化簡(jiǎn)得，令，則，
令解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
又，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根，
綜上所述當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根．
18. 已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知橢圓上點(diǎn)處的切線方程是.在直線上任取一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是、.
①求證：直線恒過定點(diǎn)；
②是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
（1）解：由題意可知，所以，
所以，
所以橢圓的方程為.
（2）①證明：設(shè)，，，
由題設(shè)可知：，，
又因?yàn)?，?jīng)過點(diǎn)，所以，
所以，均在直線上，即，
由，解得，所以直線過定點(diǎn).
②解：設(shè)實(shí)數(shù)存在，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為，
由解得，
所以，故.
當(dāng)直線斜率時(shí)，不滿足題意；
當(dāng)直線斜率時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，
故，
所以，
聯(lián)立可得，顯然，
所以，，
所以.
綜上可知，存滿足條件.
19. 阿爾法狗是谷歌公司開發(fā)的人工智能程序，它第一個(gè)戰(zhàn)勝了圍棋世界冠軍.它可以借助計(jì)算機(jī)，通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬人腦的機(jī)制來學(xué)習(xí)、判斷、決策.工程師分別用人類圍棋對(duì)弈的近100萬、500萬、1000萬種不同走法三個(gè)階段來訓(xùn)練阿爾法狗，三個(gè)階段的阿爾法狗依次簡(jiǎn)記為甲、乙、丙.
（1）測(cè)試階段，讓某圍棋手與甲、乙、丙三個(gè)阿爾法狗各比賽一局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，記該棋手連勝兩局的概率為p，試判斷該棋手在第二局與誰比賽p最大，并寫出判斷過程.
（2）工程師讓甲和乙進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，沒有平局，比賽進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
（?。┤舯荣愖疃噙M(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望的最大值;
（ⅱ）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，記“甲贏得比賽”為事M，證明：
（1）解：該棋手在第二局與甲比賽p最大，
該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，記，，，
該棋手連勝兩盤，則第二盤必勝盤，
記該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩局的概率為，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋?br>則，
同理，該棋手在第二盤與乙比賽連勝兩局的概率，
該棋手在第二盤與丙比賽連勝兩局的概率，
因?yàn)?，所以該棋手在第二局與甲比賽 p最大.
（2）（?。┙猓阂?yàn)闆]有平局，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”或者“乙獲勝”，則，
由題意得X的所有可能取值為：2，4，5，
，
，
，
所以X的分布列為：
所以X的期望為：
，
由，得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，則，
因此，
所以的最大值為
（ⅱ）證明：設(shè)事件A，B分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”.
由題知甲最后贏得比賽局?jǐn)?shù)是偶數(shù)，
由題設(shè)可知前兩局比賽結(jié)果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲贏得比賽”，事件BB表示“乙贏得比賽”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，當(dāng)甲、乙得分總數(shù)相同時(shí)，甲最后贏得比賽的概率與比賽一開始甲贏得比賽的概率相同，
所以
，
因此，得，而，
所以2
4
5

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