一、單選題（本大題共8小題）
1．已知，，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則
B．若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則
C．若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則
D．若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則
2．已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 倍，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）
A．B．或C．D．或
3．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M、 N分別在線(xiàn)段、上，且，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知直線(xiàn)：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線(xiàn)的傾斜角是
B．若直線(xiàn)，則
C．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是1
D．過(guò)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是
6．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.且，，則（ ）
A．16B．19
C．28D．36
7．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，…；該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前鄰兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，若記此數(shù)列為，則以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線(xiàn)的距離為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．若方程所表示的曲線(xiàn)為C，則（ ）
A．曲線(xiàn)C可能是圓
B．若，則C不一定是橢圓
C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則
D．若C為雙曲線(xiàn)，且焦點(diǎn)在y軸上，則
10．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．設(shè)拋物線(xiàn)，為其焦點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則的坐標(biāo)為.
C．若，則的最小值為.
D．過(guò)焦點(diǎn)作斜率為2的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，則
12．如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線(xiàn)平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是
D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為
三、填空題（本大題共4小題）
13．焦點(diǎn)在軸上，，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
14．等比數(shù)列中，，，則 .
15．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為 .
16．已知雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)相交于M、N兩點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知等差數(shù)列的前3項(xiàng)和是24，前5項(xiàng)和是30.
(1)求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若是的前n項(xiàng)和，則是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：和圓．
(1)若圓O與圓C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的方程；
(2)若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于1，求b的值.
19．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
20．如圖，已知點(diǎn)A(6,4)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，E點(diǎn)是線(xiàn)段OA上任意一點(diǎn)，EC⊥AB于點(diǎn)C，ED⊥x軸于點(diǎn)D，OC與ED相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的軌跡方程.
21．已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，實(shí)軸長(zhǎng)為2.
(1)求雙曲線(xiàn)的方程;
(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求直線(xiàn)的斜率.
22．在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.
（1）證明：AB⊥PD．
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
答案
1．【正確答案】C
【分析】由等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義逐一驗(yàn)證每一選項(xiàng)即可求解.
【詳解】對(duì)于A，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，故A不符合題意；
對(duì)于B，若五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則，
且當(dāng)時(shí)，即成等差數(shù)列，故B不符合題意；
對(duì)于CD，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則，即，故C符合題意，D不符合題意.
故選：C.
2．【正確答案】B
【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，然后代值計(jì)算即可.
【詳解】由橢圓，即，
所以或，所以或，
解得或．
選：B．
3．【正確答案】A
【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)得出準(zhǔn)線(xiàn)方程.
【詳解】拋物線(xiàn)方程可化為，則，故拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.
故選：A
4．【正確答案】A
【分析】由空間向量基本定理結(jié)合線(xiàn)段比例關(guān)系分解向量即可.
【詳解】由題意
.
故選：A.
5．【正確答案】D
【分析】求解直線(xiàn)的傾斜角判斷A；利用直線(xiàn)的斜率乘積判斷B；點(diǎn)到直線(xiàn)的距離判斷C；求解直線(xiàn)方程判斷D．
【詳解】直線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率為：，所以直線(xiàn)的傾斜角為：，所以A不正確；
直線(xiàn)的斜率為：，兩條直線(xiàn)不垂直，所以B不正確；
點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是：，所以C不正確；
過(guò)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程是，正確，所以D正確；
故選：D．
6．【正確答案】C
【分析】利用，，成等比數(shù)列求解.
【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，，?
故選：C.
本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)性質(zhì)，熟記性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.
7．【正確答案】D
【分析】列舉法判斷AB,根據(jù)數(shù)列裂項(xiàng)消項(xiàng)求和判斷CD選項(xiàng)．
【詳解】由題意數(shù)列前六項(xiàng)為：1,1,2,3,5,8,故AB正確；
由題意
則可得：
，所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤；
故選：D
8．【正確答案】B
【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求出圓心到直線(xiàn)的距離.
【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，
則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，
設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
由題意可得，
可得，解得或，
所以圓心的坐標(biāo)為或，
圓心到直線(xiàn)的距離均為；
圓心到直線(xiàn)的距離均為
圓心到直線(xiàn)的距離均為；
所以，圓心到直線(xiàn)的距離為.
故選：B.
本題考查圓心到直線(xiàn)距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
9．【正確答案】ABC
【分析】令即可判斷AB；由方程表示橢圓、雙曲線(xiàn)的條件即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為，所以曲線(xiàn)C可能是圓，不一定是橢圓故AB正確；
對(duì)于C，若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故C正確；
對(duì)于D，若C為雙曲線(xiàn)，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．【正確答案】AD
【分析】由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算以及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)逐一驗(yàn)算即可求解.
【詳解】由題意，，
，.
故選：AD.
11．【正確答案】AC
【分析】由拋物線(xiàn)的性質(zhì)依次計(jì)算各選項(xiàng)所求，即可得出結(jié)果.
【詳解】拋物線(xiàn)，.
對(duì)于A，，，A正確；
對(duì)于B，設(shè)，，，的坐標(biāo)為.B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,,C正確；
對(duì)于D，直線(xiàn)，聯(lián)立，得：，,,D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12．【正確答案】ABD
【分析】在選項(xiàng)A中，利用線(xiàn)面垂直的判定定理，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
在選項(xiàng)B中，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解判斷即可；
在選項(xiàng)C中，根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義進(jìn)行求解判斷即可；
在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可.
【詳解】在選項(xiàng)A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直線(xiàn)平面，故A正確；
在選項(xiàng)B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，
∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，
∴三棱錐的體積為定值，故B正確；
在選項(xiàng)C中，
∵，
∴異面直線(xiàn)與所成角為直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角.
易知為等邊三角形，
當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；
當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為.
故異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；
在選項(xiàng)D中，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則，，，，
所以，.
由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，
∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為：，
∴當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.
故選：ABD
13．【正確答案】
【分析】結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】焦點(diǎn)在x軸上，，，
則，解得，
故
故所求橢圓的方程為：．
故．
14．【正確答案】
【分析】由基本量法列方程求出即可求解.
【詳解】設(shè)的公比為，因?yàn)椋?br>所以,解得,故.
故答案為.
15．【正確答案】
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，可得所求切線(xiàn)方程．
【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，
可得曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，
則切線(xiàn)的方程為，即.
故．
16．【正確答案】/
【分析】聯(lián)立方程組，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出，即可得到雙曲線(xiàn)C的離心率．
【詳解】聯(lián)立方程組，消去，得，
由題意， ,得，
即雙曲線(xiàn)，
故雙曲線(xiàn)C的離心率.
故．
17．【正確答案】(1)
(2)當(dāng)或時(shí)，的最大值為.
【分析】（1）由等差數(shù)列求和公式基本量的計(jì)算即可求解.
（2）由等差數(shù)列求和公式結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差分別為，
則由題意，解得，
所以這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1），所以，
而二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向下，
所以當(dāng)或時(shí)，的最大值為.
18．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意所求直線(xiàn)方程即公共弦方程，兩個(gè)圓方程相減即可求解.
（2）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圓心到直線(xiàn)的距離等于1，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得解.
【詳解】（1）由題意圓O：和圓即關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)．
兩式相減得，公共弦方程即直線(xiàn)l的方程為.
（2）圓O：的圓心為，半徑為，
若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于1，
則圓心到直線(xiàn)的距離等于1，
所以，解得.
19．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可得解.
（2）由錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得解.
【詳解】（1）由題意設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，且
所以，
又，所以解得，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）若，則，
數(shù)列的前n項(xiàng)和，
，
兩式相減得
，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.
20．【正確答案】
【分析】求解直線(xiàn)OA的方程，設(shè)出F的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化求解C的坐標(biāo)，由向量共線(xiàn)，求解即可．
【詳解】OA的方程為：，
設(shè)，所以，
可得，F(xiàn)在線(xiàn)段OC上，
所以，,得，整理得
F的軌跡方程為.
21．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用漸近線(xiàn)方程、實(shí)軸長(zhǎng)求出可得答案；
（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，實(shí)軸長(zhǎng)為2，
所以，，
所以雙曲線(xiàn)的方程為；
（2）雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，由雙曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)性可知，
若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則直線(xiàn)的斜率存在，
設(shè)為，且，，
可得直線(xiàn)的方程為，
與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，
可得，
設(shè)，
則，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
22．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）
（1）根據(jù)勾股定理的逆定理、線(xiàn)面垂直的判定定理、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）證明：連結(jié)BD，
∵在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.
∴BD＝AD，
∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，
∴AD⊥PD，BD⊥PD，
∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，
∵AB?平面ABCD，∴AB⊥PD.
（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（，0，0），B（0，，0），C（，0），P（0，0，），
（），（0，，），（，，），
設(shè)平面ABP的法向量（x，y，z），
則，取x＝1，得（1，1，1），
設(shè)平面PBC的法向量，
則，取，得（﹣1，1，1），
設(shè)二面角A﹣PB﹣C的平面角為θ，
則二面角A﹣PB﹣C的余弦值為：csθ.
本題考查了線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了利用空間向量求二面角問(wèn)題，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

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