（選擇性必修第一冊第一章、第二章、第三章第一節(jié)）
注意事項(xiàng)：
1.考試時間120分鐘，滿分150分.
2.答卷前，考生將答題卡有關(guān)項(xiàng)目填寫清楚.
3.全部答案在答題卡上作答，答在本試題上無效.
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直線方程計(jì)算直線斜率，即可得到直線的傾斜角.
【詳解】由題意得，直線的斜率，故直線的傾斜角為.
故選：D.
2. 橢圓與橢圓的（ ）
A. 長軸長相等B. 短軸長相等
C. 離心率相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),分別求解長軸，短軸，焦距，離心率即可求解.
【詳解】由于的長軸長為，短軸長為，
焦距為，離心率為，
而橢圓的長軸長為10，短軸長為8，短軸長為6，離心率為，
故兩個橢圓的焦距相等，
故選：D
3. 經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為（ ）
A B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂直求出斜率，點(diǎn)斜式寫方程即可.
【詳解】由題知：，解得：，交點(diǎn).
直線的斜率為，所求直線斜率為.
所求直線為：，即.
故選：B.
4. 設(shè)橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)為，.若點(diǎn)在上，則的周長為（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)點(diǎn)在上求得橢圓方程；再根據(jù)橢圓的定義求解即可.
【詳解】由于點(diǎn)在上，所以，得，，
所以橢圓：，則，.
由橢圓的定義，，而，
所以的周長為.
故選：B.
5. 已知向量，，以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（ ）
A. B. C. 2D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量夾角及模的坐標(biāo)表示，再結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即得.
【詳解】向量，，則，，
，，
所以以，為鄰邊的平行四邊形的面積為.
故選：A
6. 已知三條直線，，不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率及直線交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率相等及3條直線共點(diǎn)求出值.
【詳解】直線的斜率分別為，縱截距分別為
由，解得，即直線的交點(diǎn)為，
由直線不能圍成三角形，得直線或或點(diǎn)在直線上，
則或或，解得或或，
所以實(shí)數(shù)的取值集合為.
故選：C
7. 二面角的棱上有、兩點(diǎn)，直線、分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于，已知，，，，則該二面角的大小為（ ）

A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合模長公式可得，即可向量根據(jù)夾角公式求解.
【詳解】由可得,
故，
進(jìn)而可得,
由于，
由于，故，
由于夾角的大小即為二面角的大小，故二面角大小為120°，
故選：C
8. 我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的一個法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)點(diǎn)法式方程的定義即可求解.
【詳解】根據(jù)題意可得，
化簡得，
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法中，正確的有（ ）
A. 直線在y軸上的截距是2
B. 直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為1
C. 若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則m＋n＝3
D. 過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為
【答案】BC
【解析】
【分析】通過計(jì)算可以判定選項(xiàng)BC正確；直線在y軸上的截距是 所以選項(xiàng)A錯誤；過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，所以選項(xiàng)D錯誤.
【詳解】A. 直線在y軸上的截距是 所以該選項(xiàng)錯誤；
B. 直線與平行，則 所以或 當(dāng) 時，兩直線重合，所以舍去.所以實(shí)數(shù)的值為1.所以該選項(xiàng)正確；
C. 若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，所以，則m＋n＝3，所以該選項(xiàng)正確；
D. 過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，所以該選項(xiàng)錯誤.
故選：BC
10. 直線，圓，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線恒過定點(diǎn)
B. 直線與圓必有兩個交點(diǎn)
C. 直線與圓的相交弦長的最大值為
D. 當(dāng)時，圓上存在3個點(diǎn)到直線距離等于1
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用直線過定點(diǎn)的求解方法求出定點(diǎn)即可判斷A；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系；利用相交弦最長的是直徑即可判斷C；利用圓心2,0到直線的距離為1，再結(jié)合圖形即可判斷D.
【詳解】將直線的方程化為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確；
圓的方程化為，圓心2,0，半徑2，
直線恒過定點(diǎn)到圓心的距離為，
所以定點(diǎn)在圓C內(nèi)，故而直線與圓必有兩個交點(diǎn)，所以選項(xiàng)B正確；
直線與圓的相交，相交弦最長的是直徑，故而相交弦長的最大值為4，所以選項(xiàng)C錯誤；
當(dāng)時，直線，圓心2,0到直線的距離為1，如圖所示，
x軸與圓的兩個交點(diǎn)O、B到直線的距離為1；又因?yàn)閳A半徑為2，
所以直線與圓的交點(diǎn)A到直線的距離為1，故而圓上存在3個點(diǎn)到直線距離等于1，選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
11. 以下命題正確的是（ ）
A. 若是平面的一個法向量，直線上有不同的兩點(diǎn)A，，則的充要條件是
B. 已知A，，三點(diǎn)不共線，對于空間任意一點(diǎn)，若，則，A，，四點(diǎn)共面
C. 已知，，若與垂直，則
D. 已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則邊上的高的長為
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的向量求法，可判斷A的正誤；根據(jù)四點(diǎn)共面的原則，可判斷B的正誤；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，可判斷C的正誤；根據(jù)向量數(shù)量積公式，計(jì)算求值，可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】對于A：若，則，可得直線或，故A錯誤；
對于B：因?yàn)锳，，三點(diǎn)不共線，，且，
所以，A，，四點(diǎn)共面，故B正確；
對于C：由題意，，
因與垂直，
所以，解得，故C錯誤；
對于D：由題意，過B作，
所以，即，
所以，
所以，即邊上的高的長為，故D正確.
故選：BD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分；共15分.
12. 經(jīng)過點(diǎn)，且以為一個方向向量的直線的斜截式方程為________；
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再由直線的斜截式求出方程.
【詳解】依題意，直線的斜率，
所以直線的斜截式方程為.
故答案為：
13. 焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則值為________；
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根據(jù)離心率公式即可求解.
【詳解】由可得，故離心率，解得，
故答案為：
14. 已知直線l過，且與以為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)斜率公式求出，再結(jié)合圖形求出直線l的斜率的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題中條件畫出圖形，如圖所示，

因?yàn)椋?，設(shè)直線l的斜率為，
則，
直線l與以為端點(diǎn)的線段相交，結(jié)合圖形，
則直線l的斜率的取值范圍為.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，．
(1)求線段的長；
(2)求異面直線與所成角的余弦值；
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】(1) 設(shè)，得到展開得到答案.
(2)計(jì)算，，利用夾角公式得到答案.
【詳解】（1）設(shè)，則，，，
，
,
線段的長為.
（2）設(shè)異面直線與所成的角為，則
,
.
.
故異面直線與所成角的余弦值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了線段長度，異面直線夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.
16. 已知關(guān)于的方程.
（1）若方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若圓與圓外切，求的值；
（3）若圓與直線相交于兩點(diǎn)，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得圓與圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓與圓相外切，列出方程，即求解；
（3）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心到直線的距離為，結(jié)合圓的弦長公式，列出方程，即可求解.
【小問1詳解】
由方程，整理得，
因?yàn)榉匠瘫硎緢A，可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
由圓，可得，
可得圓心為，半徑為，
又由圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A與圓相外切，可得，即，
解得.
【小問3詳解】
由（2）知，圓圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
因圓C與直線相交于兩點(diǎn)，且，
根據(jù)圓的弦長公式，可得，
可得，即，解得.
17. 如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）證明見詳解；（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；
（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，兩向量的夾角即可求出平面與平面夾角的余弦值.
【詳解】（Ⅰ）如下圖所示：
在正方體中，
且，且，
且，所以四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面；
（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為，
則、、、，
，，
設(shè)平面的法向量為，
由，得，
令，則，，則.
平面，所以是平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，
.
因此，平面與平面夾角的余弦值.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：
解決二面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為：
（1）建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；
（2）根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯.
（3）利用數(shù)量積驗(yàn)證垂直或求平面的法向量.
（4）利用法向量求距離、線面角或二面角.
18. 已知橢圓的離心率為，且焦距為8．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由橢圓的離心率，焦距，再結(jié)合，即可求出C的方程；
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求出，再利用點(diǎn)到直線的距離求出，即可求出面積的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式即可求出的面積有最大值.
【詳解】解：（1）依題意可知：，
解得：，
故C的方程為：；
（2）依題意可設(shè)直線l的方程為：，
聯(lián)立：，
整理得：，
則，
解得：，
設(shè)，，
則，，
原點(diǎn)到直線l的距離，
則的面積
，
當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時，的面積有最大值，且最大值為．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解橢圓中的面積問題時，一般需要聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長公式，求出弦長，再利用點(diǎn)到直線的距離求出高，即可求出結(jié)果.
19. 如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABC；
（2）在棱CA上是否存在一點(diǎn)M，使得EM與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理解得，結(jié)合勾股定理得到，證得側(cè)面，
，繼而可證平面ABC；
（2）以B為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)閤，y和z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)，由EM與平面所成角的正弦值為，可求解.
【詳解】（1）由題意，因?yàn)?，，，利用余弦定理?br>解得，又，，側(cè)面，．
又，AB，平面ABC，∴直線平面ABC．
（2）以B為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)閤，y和z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，，，
，，令，則，，
假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)，，，
，，
利用平面的一個法向量為，，得．
即，或，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合問題，考查了學(xué)生邏輯推理，空間向量和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

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