一、單選題（本大題共8小題）
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2． （ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知直線與.若，則（ ）
A．B．1C．D．2
5．已知向量，，.若，，共面，則（ ）
A．11B．C．9D．3
6．直線截圓所得的弦長為（ ）
A．B．1C．4D．2
7．芻甍是中國古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w.現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，底面 BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線過定點則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．P的坐標(biāo)為
B．當(dāng)時，l在y軸上的截距為
C．若l與直線垂直，則
D．點P在圓的外部
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（ ）
A．B．
C．在上單調(diào)遞增D．在上恰有10個零點
11．若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，， 分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（ ）

A．若，則
B．存在點H，使得平面
C．線段長度的最小值是
D．存在點H，使得
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知圓，則圓的半徑為 .
13．某校高三年級男生共600人，女生共400人，現(xiàn)按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從高三年級所有學(xué)生中抽取5人組成某活動志愿者小隊，則被抽取的女生人數(shù)為 .若從被抽取的這5人中抽取2人作為志愿者小隊隊長，則恰有1個男隊長的概率為 .
14．已知球是棱長為的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體表面上的動點，則的最大值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的內(nèi)角的對邊分別為且.
(1)求的大小;
(2)求的面積.
16．已知在中，.
(1)求直線AB的方程;
(2)求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(3)過點B作的外接圓的切線，求該切線方程.
17．如圖，四邊形ABCD是正方形，AE，DF，BG都垂直于平面ABCD，且，，，M，N分別是EG，BC的中點.

(1)證明：平面ABCD.
(2)若，求點N到平面AMF的距離.
18．如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面
(1)證明：平面
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
(3)棱BC上是否存在一點P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.
19．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動點到兩個定點，的距離之比為定值2，則點的軌跡就是阿氏圓，記為.
(1)求的方程；
(2)若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點，不在軸上的點是直線上的動點，直線HE，HF與的另一個交點分別為，，證明直線MN經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標(biāo).
答案
1．【正確答案】C
【詳解】直線的斜率為，傾斜角為.
故選：C
2．【正確答案】D
【詳解】.
故選：D.
3．【正確答案】C
【詳解】因為，所以
故選：C.
4．【正確答案】B
【詳解】由于，所以，
此時兩直線方程分別為，
不重合，符合題意，所以.
故選：B
5．【正確答案】A
【詳解】依題意，，，共面，
所以存在，使得，
即，
所以，解得.
故選：A
6．【正確答案】D
【詳解】根據(jù)題意可得圓心，圓的半徑為3，點到直線的距離，故所求弦長為.
故選：D.
7．【正確答案】A
【詳解】依題意得，，
所以
，
又，，
所以設(shè)異面直線AE與BD所成的角為，
則
故選：A.
8．【正確答案】B
【詳解】設(shè)，則，，
因為，所以，
即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.
點在直線上，
所以直線與圓有公共點，
則，解得
故選:B.
9．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，由題意得直線，即，
由，解得，故A正確；
對于B，當(dāng)時，直線l為，令x=0，，
所以在y軸上的截距為，故B正確；
對于C，由，解得，故C錯誤；
對于D，因為，所以點P在圓的外部，故D正確.
故選：ABD
10．【正確答案】ABD
【詳解】由圖可知，，，即，
又，則，故A正確；
此時，
又，且，則，故B正確；
此時，
當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上不單調(diào)，
所以在上不單調(diào)，故C錯誤；
當(dāng)時，，
因為函數(shù)在上有10個零點，
所以在上恰有10個零點，故D正確.
故選：ABD.
11．【正確答案】ABC
【詳解】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標(biāo)原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四點共面，
若，則，解得，A正確；
對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，
過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，
則，，，，
故，，，，
易得是平面的一個法向量，若平面，
則，即，解得，符合題意，
所以存在點H，使得平面，B正確，
對于C：，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為，C正確.
對于D：若，則，
得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.
故選：ABC
12．【正確答案】4
【詳解】根據(jù)題意圓，可得圓的半徑為.
故4
13．【正確答案】 2 /0.6
【詳解】根據(jù)題意易得被抽取的這5人中女生的人數(shù)為，則男生的人數(shù)為3，女生人數(shù)為2，
設(shè)被抽取的這5人中男生分別為A，B，C，女生分別為a，b，
則從被抽取的這5人中抽取2人的所有情況有
，，共10種情況，
其中恰有1個男隊長的情況有6種，故所求概率為.
故2；.
14．【正確答案】
【詳解】如下圖所示：
正四面體的棱長為，設(shè)其內(nèi)切球球心為點，
連接并延長交底面于點，
則為正的中心，且平面，
連接并延長交于點，則為的中點，且，
，，
因為平面，平面，則，
可得，
的面積為，
正四面體的體積為，
設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，
則，
即，解得，
可得，
因為，，
可得，
當(dāng)點位于正四面體的頂點時，取最大值，
所以.
故
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由及正弦定理可得，因為，所以，
所以，
因為，所以.
（2）由題意可得的面積為.
16．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由已知可得，
所以直線AB的方程為，即.
（2）設(shè)的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則
解得
故的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（3）由（2）得外接圓的圓心為.
因為，所以切線的斜率為，
故所求切線方程為，即.
17．【正確答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）因為，，都垂直于平面，則.
取的中點，連接，，
則，且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
可得，
且平面，平面，所以平面.
（2）連接.
以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A2,0,0，，，，
可得，，.
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，
取，得，，可得.
故點到平面的距離.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【詳解】（1）因為底面ABCD是正方形，所以
又因為平面ABCD，平面ABCD，所以
因為，且，平面，
所以平面
（2）因為平面，平面，
所以，，
又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，兩兩垂直，
以AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，解得，令，則，
故
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為
（3）若存在點P滿足題意，則可設(shè)點，其中，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，故
易得平面的一個法向量為，
所以，解得或舍去)，
故棱BC上存在一點P，當(dāng)時，二面角的余弦值為
19．【正確答案】(1).
(2)證明見解析，定點坐標(biāo)為.
【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)，得，
即，所以的方程為.
（2）根據(jù)圓的對稱性，不妨設(shè).
設(shè)，則，
所以直線HE的方程為，直線HF的方程為.
設(shè).
聯(lián)立方程得，
所以，即，則，所以.
聯(lián)立方程得，
所以，即，則，所以.
當(dāng)時，，
所以直線MN的方程為，化簡得，
所以直線MN過定點;
當(dāng)時，，此時直線MN過定點.
綜上，直線MN過定點.

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