1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若直線與直線垂直，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．8D．9
3．橢圓的焦距是2，則m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．不存在
4．已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在y軸上，則圓C的方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．已知點是曲線上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知直線與橢圓相交于A、B，且AB的中點為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知雙曲線的左焦點為，漸近線方程為，焦距為8，點的坐標為，點為的右支上的一點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，已知拋物線，圓，過C點的直線l與拋物線和圓依次交于P，M，N，Q，則等于（ ）
A．1B．2C．4D．8
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．直線l必過點
B．直線l與圓E必相交
C．圓與圓E有3條公切線
D．當時，直線l被圓E截得的弦長為
10．已知拋物線過點，則（ ）
A．拋物線的標準方程可能為
B．拋物線的標準方程可能為
C．過點A與拋物線只有一個公共點的直線有一條
D．過點A與拋物線只有一個公共點的直線有兩條
11．“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器，是中國探月工程的收官之戰(zhàn)，實現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測器飛到月球附近時，首先在以月球球心為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在點處變軌進入以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在點處變軌進入以為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行，設圓形軌道Ⅰ的半徑為，圓形軌道Ⅲ的半徑為，則以下說法正確的是（ ）

A．橢圓軌道Ⅱ的焦距為
B．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為
C．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大
D．若不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨的增大而增大
三、填空題（本大題共3小題）
12．過點作圓的切線，則切線方程為 .
13．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上任意一點，若點，則的最小值為 ；
14．若雙曲線與直線沒有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知直線．
(1)經(jīng)過點且與直線平行的直線；
(2)經(jīng)過點且與直線垂直的直線；
(3)經(jīng)過直線與的交點，且在兩坐標上的截距相等的直線．
16．已知圓C過三點．
(1)求圓C的方程；
(2)斜率為1的直線l與圓C交于M，N兩點，若為等腰直角三角形，求直線l的方程．
17．已知雙曲線C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝2x，雙曲線C的一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)經(jīng)過點M(1,4)的直線l交雙曲線C于A，B兩點，且M為線段AB的中點，求直線l的方程．
18．已知拋物線，其焦點為，點在拋物線C上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)為坐標原點，為拋物線上不同的兩點，且，
（i）求證直線過定點；
（ii）求與面積之和的最小值．
19．若一個橢圓的焦距為質數(shù)，且離心率的倒數(shù)也為質數(shù)，則稱這樣的橢圓為“質樸橢圓”.
(1)證明：橢圓為“質樸橢圓”.
(2)是否存在實數(shù)，使得橢圓為“質樸橢圓”？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
(3)設斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與交于，兩點，，試問是否為“質樸橢圓”，說明你的理由.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】將直線變形為，即斜率為，
設直線的傾斜角為，則，
因為，
所以.
故選：A.
2．【正確答案】D
【詳解】由題可知，兩條直線斜率一定存在，
又因為兩直線垂直，所以斜率乘積為，即，即，
整理可得，
所以，當且僅當時，等號成立；
因此的最小值為.
故選：D
3．【正確答案】C
【詳解】∵，∴．
當橢圓的焦點在x軸上時，，，．
∴，．
當圓的焦點在y軸上時，，，
∴，∴．
綜上，m的值是3或5．
故選：C
4．【正確答案】C
【分析】先利用待定系數(shù)法求得圓C的一般方程，進而得到圓C的標準方程.
【詳解】設圓C的方程為，則圓心，
則有，解之得,
則有圓C的方程為，即
故選：C
5．【正確答案】B
在平面直角坐標系中作出曲線，這是一個半圓，的幾何意義是半圓上的點與定點連線的斜率，由幾何意義易得結論．
【詳解】曲線是以原點為圓心，2為半徑的上半圓，如圖，表示半圓上的點與定點連線的斜率，
由圖，，當時，直線與半圓相切，
∴，即的取值范圍是．
故選：B．
6．【正確答案】B
【詳解】設兩點坐標分別為，因為且AB的中點為，
所以，因為在橢圓上，
所以①，
兩式相減，得，
根據(jù)，上式可化簡為，
整理得，又，所以，即，
所以.
故選：B.
7．【正確答案】C
【分析】
利用雙曲線的定義及漸近線方程，將轉化為的形式，通過點共線判斷并計算的最小值即可.
【詳解】
如圖所示
由題意知，解得
記的右焦點為，即，
由雙曲線的定義，得，即
所以，
當且僅當點在線段上時等號成立,
所以的最小值為.
故選：C.
8．【正確答案】A
【詳解】圓，點C與拋物線的焦點重合，設，，所以，，
∴．
①當直線l的斜率不存在時，，∴；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為(),
與拋物線方程聯(lián)立消y，得，
∴．
綜上，.
故選：A．
9．【正確答案】BC
【分析】由直線方程確定過定點，判斷定點與圓位置關系判斷A、B；根據(jù)兩圓圓心距離與半徑間的關系判斷C；應用點線距離及弦長的幾何求法求弦長.
【詳解】A：由，則必過定點，錯；
B：將定點代入圓，有，
故點在圓內，即直線l與圓E必相交，對；
C：由題設且半徑為，而且半徑為，
所以，即兩圓外切，故兩圓有3條公切線，對；
D：由題設，則到直線的距離，
故直線l被圓E截得的弦長為，錯.
故選：BC
10．【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)題意設出拋物線的方程，利用點在拋物線上及直線與拋物線的位置關系即可求解.
【詳解】對于選項A，當拋物線開口向右時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線的方程為，故A正確；
對于選項B，當拋物線開口向下時，設拋物線的方程為，將代入拋物線中得，則拋物線為，故B正確；
對于C、D選項，過點A與對稱軸平行的直線，以及拋物線在點A處的切線都與拋物線只有一個公共點，故C錯誤，D正確.
故選ABD.
【規(guī)律方法】拋物線的標準方程：
①y2=2px，當p>0時，為開口向右的拋物線；當p0時，為開口向上的拋物線；當p0，b>0)的漸近線為y＝±eq \f(a,b)x，所以eq \f(a,b)＝2，又焦點(0，c)到直線y＝2x的距離d＝eq \f(|－c|,\r(22＋(－1)2）＝1，所以c＝eq \r(5)，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1，所以雙曲線C的方程為eq \f(y2,4)－x2＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的斜率為k，由題知x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)－x\\al(2,1)＝1，,\f(y\\al(2,2),4)－x\\al(2,2)＝1，）
兩式相減得eq \f(y\\al(2,1),4)－eq \f(y\\al(2,2),4)－xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝0，
即eq \f((y1＋y2)(y1－y2),4)＝(x1＋x2)(x1－x2)，
即eq \f((y1＋y2)(y1－y2),(x1＋x2)(x1－x2）＝4，所以4k＝4，解得k＝1，
所以直線l的方程為y－4＝x－1，即x－y＋3＝0，
經(jīng)檢驗直線l：x－y＋3＝0與雙曲線C有兩個交點，滿足條件，
所以直線l的方程為x－y＋3＝0.
18．【正確答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【詳解】（1）拋物線，
其焦點為，準線方程為，
可得，且，
解得（另一個根舍去），，
則拋物線的方程為；
（2）
（i）
如圖，設的方程為，，
聯(lián)立，可得，
則，又，，
由，可得，解得（另一個根舍去），
所以直線恒過定點；
（ii）由上小問可得，不妨設，
則與面積之和為，
，
當且僅當，時，上式取得等號，
則與面積之和的最小值為．
19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)不存在實數(shù)，理由見解析
(3)為“質樸橢圓”，理由見解析
【詳解】（1）由已知橢圓，
即，，
則，
所以焦距，離心率，即，
所以該橢圓的焦距為質數(shù)，離心率的倒數(shù)也為質數(shù)，
即橢圓為“質樸橢圓”；
（2）橢圓的焦距為，離心率，
若存在實數(shù)，使得橢圓為“質樸橢圓”，
則，均為質數(shù)，
又，所以，，，，，
即，，，，，
則，，，，，這些數(shù)都不是質數(shù)，
所以不存在實數(shù)，使得橢圓為“質樸橢圓”；
（3）設的右焦點為，
則直線方程為，
設直線與橢圓的交點為Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，
得，，
則，，
，
解得，
則的焦距為為質數(shù)，
離心率，其倒數(shù)為質數(shù)，
所以為“質樸橢圓”.

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