一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．將5名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)村官.每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同分配方案有（ ）
A．240種B．150種C．60種D．180種
6．已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，若是的平分線，則的面積為( ).
A．B．C．D．
7．已知，為單位向量，且，向量滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．“長(zhǎng)太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽(yáng)初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個(gè)具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個(gè)三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個(gè)面均相切的球，圖中作為球）.如圖：已知粽子三棱錐中，，，，分別為所在棱中點(diǎn)，，分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開(kāi)后發(fā)現(xiàn)，沿平面或平面切開(kāi)后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡.則肉餡與整個(gè)粽子體積的比為（ ）.

A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．一個(gè)樣本的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于60
B．若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為16
C．?dāng)?shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23
D．若一個(gè)樣本容量為8的樣本的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)樣本容量為9，平均數(shù)不變，方差變小
10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．B．直線QB與也相切
C．D．若，則
11．已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是周期函數(shù)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)
C．D．是偶函數(shù)
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知一組數(shù)據(jù)（）大致呈線性分布，其回歸直線方程為，則的最小值為＝ .
13．已知函數(shù)的最大值是3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為2，則
14．?dāng)?shù)學(xué)家斐波那契有段時(shí)間癡迷于研究有趣的數(shù)列問(wèn)題，意外發(fā)現(xiàn)了一個(gè)特殊的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，，后人把這樣的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”．若，則 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若，如圖，是上的動(dòng)點(diǎn)，且始終等于，記.當(dāng)為何值時(shí)，的面積取到最小值，并求出最小值.
16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，，，其中為常數(shù)且.
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，求；
(2)若，求數(shù)列通項(xiàng)公式及.
17．如圖，在直角梯形中，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿對(duì)折至，使得，點(diǎn)F是的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求二面角的正弦值.
18．著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式（a，b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)），為后續(xù)微積分的開(kāi)拓奠定了基礎(chǔ)．已知橢圓（）的離心率為，且右頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離．
(1)求橢圓C的面積；
(2)若直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，
（?。┣蟮拿娣e的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（ⅱ）若以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，，D為垂足．是否存在定點(diǎn)T，使得為定值？若存在，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
19．定義在上的函數(shù)y=fx，若對(duì)任意不同的兩點(diǎn)，，都存在，使得函數(shù)y=fx在處的切線與直線平行，則稱(chēng)函數(shù)y=fx在上處處相依，其中稱(chēng)為直線的相依切線，為函數(shù)y=fx在的相依區(qū)間．已知．
(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上處處相依，證明：導(dǎo)函數(shù)在0,1上有零點(diǎn)；
(2)若函數(shù)在0,+∞上處處相依，且對(duì)任意實(shí)數(shù)、，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(3)當(dāng)時(shí)，，為函數(shù)在的相依區(qū)間，證明：．
答案
1．【正確答案】B
【詳解】時(shí)，不等式的解集為，即，
不等式，解得，即，
故．
故選：B．
2．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)?，則，
所以．
故選B．
3．【正確答案】A
【詳解】由題意得，即，則．
故選：A．
4．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：B
5．【正確答案】B
【詳解】依題意，要使每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，可以有“”或“”兩種分配方案.
按照“”分配時(shí)，有種方法；
按照“”分配時(shí)，有種方法.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可得不同分配方案有種.
故選：B.
6．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)?，即，因此，易知直線是的準(zhǔn)線，則，
如圖，又，，所以，
得，四邊形為正方形，故的面積為.
故選：B.

7．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)?，為單位向量，且?br>所以，則，
所以，因?yàn)椋瑒t，
則不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>即點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心為，半徑為，
又，
設(shè)點(diǎn)，則，
根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，
故的最小值為.
故選：A.
8．【正確答案】B
【詳解】

如圖所示，取中點(diǎn)為，，
為方便計(jì)算，不妨設(shè)，
由，可知，
又因?yàn)椋謩e為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，
則，
且，，，，平面，
即平面，
又因?yàn)槠矫?，則平面平面，
設(shè)肉餡球半徑為，，
由于，，分別為所在棱中點(diǎn)，且沿平面切開(kāi)后，截面中均恰好看不見(jiàn)肉餡，
則到的距離，，，
又因?yàn)椋獾茫?br>故，
又因?yàn)椋?br>解得，，
所以，解得，，
由以上計(jì)算可知：為正三棱錐，
故，
所以比值為.
故選B.
9．【正確答案】ABD
【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)闃颖镜姆讲?br>所以這個(gè)樣本有20個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)是這組樣本數(shù)據(jù)的總和為A正確；
對(duì)于B，已知樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，
數(shù)據(jù)的方差為，其標(biāo)準(zhǔn)差為，故B正確；
對(duì)于C，數(shù)據(jù)共10個(gè)數(shù)，
從小到大排列為，由于，
故選擇第7和第8個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，
所以第70百分位數(shù)是23.5，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，某8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，
設(shè)此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則，故D正確.
故選：ABD.
10．【正確答案】ACD
【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且，如圖，
因?yàn)?，所以?br>則有點(diǎn)處的切線方程為：，即，
令，于是，則，選項(xiàng)A正確；
同理有點(diǎn)B處的切線方程為：，交軸于，
當(dāng)時(shí)直線才是拋物線的切線，否則直線不是拋物線C的切線，故B錯(cuò)誤；
點(diǎn)B處的切線方程為：，
設(shè)直線的方程為：，由x=ty+1y2=4x可得，
所以，
點(diǎn)B處的切線方程為：，該切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，同理，所以直線也是拋物線C的切線，
所以，所以，故C正確；
由A可知，為等腰三角形，且，于是，
則，又，解得，則，選項(xiàng)D正確，
故選：ACD
11．【正確答案】AD
【分析】先根據(jù)函數(shù)，的奇偶性及，結(jié)合賦值法得到函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，即可得到是周期函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A；由即可得到的圖象的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)而判斷選項(xiàng)B；利用倒序相加法及即可判斷選項(xiàng)C；對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)即可判斷選項(xiàng)D．
【詳解】選項(xiàng)A：在中取為，得，
所以，取為，得，
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，
取為，得，所以，
所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以也是周期函數(shù)，所以A正確；
選項(xiàng)B：由得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：設(shè)，
則，
兩式相加，得
2022，
所以，即，所以C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：對(duì)于，兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)得，所以是偶函數(shù)，所以D正確.
故選AD.
12．【正確答案】
【詳解】回歸直線經(jīng)過(guò)，
且，
代入回歸方程得：，
即，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為.
13．【正確答案】4048
【詳解】函數(shù)的最大值是3，
故，得，則
由于函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
故即
函數(shù)圖象其相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為2，故，
所以；
當(dāng)，2，3，時(shí)，的值依次為1，0，，0，成周期變化；
且周期為4，相鄰4個(gè)之和為0，
由于，
所以．
故4048．
14．【正確答案】2024
【詳解】由從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，，
由,得,
所以，，，...，
將這個(gè)式子左右兩邊分別相加可得:
所以.
所以
,
所以.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)，最小值為
【詳解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>（2）因?yàn)?，由?）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，
所以當(dāng)時(shí)，的面積取到最小值，最小值為.
16．【正確答案】(1)；
(2)；.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，而，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
由數(shù)列為等差數(shù)列，得，則，解得，
則，公差為2，所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，
兩式相減，得，而，則，
當(dāng)時(shí)，，解得，
因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列， ；
偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，
所以數(shù)列通項(xiàng)公式是；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以.
17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
所以，，所以四邊形是平行四邊形，
又，，所以四邊形是正方形，
所以，且，
所以，且，即，
因?yàn)?，，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)镕是的中點(diǎn)，，所以，
因?yàn)?，，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所?
（2）由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所?
因?yàn)椋?
所以.
又，
由余弦定理得，
因?yàn)?，所以，所以?br>以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，作平面為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，A2,0,0，，，.
因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以.
所以，，，
由（1）知，，又，面
所以平面，所以為平面的法向量，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
則，所以，
取，則，，所以，
所以，
設(shè)二面角的平面角為，
所以，
所以二面角的正弦值為.
18．【正確答案】(1)
(2)（?。?；（ⅱ）存在定點(diǎn)，使得為定值
【詳解】（1）由題意，，解得，
所以橢圓C的方程為，則橢圓C的面積為.
（2）（?。┊?dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為（，且），
則，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)的面積的最大值為1；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，
聯(lián)立，得，
則，
，
則
，
又點(diǎn)到直線l的距離為，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)的面積的最大值為1.
綜上所述，的面積的最大值為1.

（ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在以P，Q為直徑的圓上，所以，
因?yàn)?，?br>所以，
則，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（i）知，
，
所以，
整理得，，
即，即或，
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，過(guò)點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，恒過(guò)點(diǎn).
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，，
由（i）知，，則，
由，得，解得或（舍去），
所以直線l的方程為，過(guò)點(diǎn).
綜上所述，直線l恒過(guò)點(diǎn).
因?yàn)?，D為垂足，為定值，
所以點(diǎn)D在以A，M為直徑的圓上，
取的中點(diǎn)，則，
所以存在定點(diǎn)，使得為定值.

19．【正確答案】(1)證明見(jiàn)詳解
(2)
(3)證明見(jiàn)詳解
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
所以，，
即，又在上處處相依，
所以函數(shù)在0,1上有零點(diǎn).
（2），x∈0,+∞，
，
因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上處處相依，
所以，，使得，
即，使得，
，x0∈0,+∞，即，x0∈0,+∞，
又，
.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（3）當(dāng)時(shí)，，則，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的在的相依區(qū)間，
所以，又，
則，
因?yàn)?，，即單調(diào)遞減，
，，即單調(diào)遞增，
所以，則，
要證，即證，即證，
即證，，
令，
，
令，，
，
因?yàn)?，，?br>所以，即在0,1上單調(diào)遞減，則，
所以φ′x

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