一、單選題（本大題共8小題）
1．若直線和直線平行，則（ ）
A．或B．或
C．D．
2．在空間直角坐標系O-xyz中，點，，則（ ）
A．直線AB∥坐標平面xOyB．直線AB⊥坐標平面xOy
C．直線AB∥坐標平面D．直線AB⊥坐標平面
3．已知圓:,過作圓的切線,則切線長為（ ）
A．B．C．3D．4
4．已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且，則 （ ）
A．31B．C．31或5D．或5
5．已知正四面體ABCD的棱長為a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法．如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），已知兩個圓錐的底面直徑均為6，母線長均為5，過圓錐軸的平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為，用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線的一部分，且雙曲線的兩條漸近線分別平行于，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知圓與x軸交于A,B兩點，點M是直線上任意一點．設(shè)，則t的可能取值是（ ）
A．B．C．D．3
8．如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知下列四種條件，空間中四點A，B，C，D不一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（ ）
A．B．2C．D．
11．已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線上，點，點P到點Q和到y(tǒng)軸的距離分別為，則（ ）
A．拋物線C的準線方程為
B．若，則周長的最小值等于3
C．若，則的最小值等于2
D．若，則的最小值等于
12．已知數(shù)列中各項都小于2，，記數(shù)列的前n項和為，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．任意與正整數(shù)m，使得B．存在與正整數(shù)m，使得
C．任意非零實數(shù)與正整數(shù)m，都有D．若，則
三、填空題（本大題共4小題）
13．兩條直線與之間的距離是 ．
14．已知直線經(jīng)過兩點，則點到直線的距離為 ．
15．某地發(fā)生地震，呈曲線形狀的公路上任意一點到村的距離比到村的距離遠，村在村的正東方向處，村在村的北偏東方向處，為了救援災民，救援隊在曲線上的處收到了一批救災藥品，現(xiàn)要向兩村轉(zhuǎn)運藥品，那么從處到、兩村的路程之和的最小值為 .
16．如圖，曲線上的點與軸的正半軸上的點及原點構(gòu)成一系列等腰直角三角形，，，，且，記點的橫坐標為，則 ；通項公式 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知數(shù)列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
18．如圖，已知圓，點.
(1)求圓心在直線上，經(jīng)過點且與圓相外切的圓的方程；
(2)若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.
19．如圖，在直三棱柱中，M，N分別為AC，的中點.
(1)證明：平面；
(2)若平面，，，求點A到平面的距離.
20．雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在上.當時，.
(1)若點的坐標為，求雙曲線的方程；
(2)若在第一象限，證明.
21．某企業(yè)2023年的純利潤為500萬元，因為企業(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進行技術(shù)改造，預測從2015年開始，此后每年比上一年純利潤減少20萬元．如果進行技術(shù)改造，2024年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預計2024年的利潤為750萬元，此后每年的利潤比前一年利潤的一半還多250萬元．
(1)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術(shù)改造的年純利潤為萬元；進行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤為萬元，求和；
(2)設(shè)從2024年起的第n年（以2024年為第一年），該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元，依上述預測，從2024年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？
22．已知點為橢圓的左焦點，在C上．
(1)求C的方程；
(2)記（1）中軌跡為曲線C，在曲線C的上半部分取兩點M，N，若，，且．
①當時，求四邊形的面積；
②求四邊形的面積最大時點M的坐標．
答案
1．【正確答案】C
【詳解】直線和直線平行，
，解得或，
當時，兩條直線重合；
當時，兩條直線平行.
綜上，.
故選：C.
2．【正確答案】C
【詳解】由已知得，
坐標平面的一個法向量是，
坐標平面的一個法向量是，
易判斷與，不平行，
所以直線AB不垂直坐標平面，也不垂直坐標平面，故BD錯.
因為，所以直線不平行坐標平面，
故A錯
因為 ，
點A、B均不在坐標平面上，所以直線AB與坐標平面平行，故C對.
故選：C
3．【正確答案】B
【詳解】圓:,即圓心半徑
切線長為
故選:B.
4．【正確答案】B
【詳解】因為是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且
當時，，計算得
所以
當時，，，所以
綜上：
故選：B
5．【正確答案】C
【詳解】
四面體ABCD是正四面體，
，且、、三向量兩兩夾角為，
點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，
，，
則，
故選：C.
6．【正確答案】A
【詳解】以矩形的中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標系，
設(shè)雙曲線的標準方程為，
由題，得，則，即，.
.由，得離心率.
故選：A.
7．【正確答案】B
【詳解】由知，則直線恒過定點，
如圖，當直線與圓相離時，連接，
設(shè)（或）與圓O交于點C，連接CB（CA），則，
由外角的性質(zhì)，知，
由圖可知，當直線與圓相切或相交時，在直線上均存在點M，使得，
所以等價于直線與圓O相離，
則，解得.
故選：B
8．【正確答案】C
【詳解】
連接、， 由在以為直徑的圓上，故，
、在橢圓上，故有，，
設(shè)，則，
則有，，
即可得，解得，
故，則，
故.
故選：C.
9．【正確答案】AD
【詳解】空間中A，B，C，D四點共面的充要條件是滿足，且，
對于A，由，得，則空間中四點A，B，C，D不共面；
對于B，由，得，則空間中四點A，B，C，D共面；
對于C，由，得，則向量共面，即四點A，B，C，D共面，
對于D，由，即，得，
則空間中四點A，B，C，D不共面.
故選：AD
10．【正確答案】BC
【詳解】由雙曲線的焦點坐標，可得，
要使得滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支，
則滿足，解得且，
結(jié)合選項，選項B、C符合題意.
故選：BC.
11．【正確答案】BD
【詳解】A：由拋物線方程可知拋物線準線是，A錯誤．
B：當時，的周長，B正確．
C：因為，所以在圓上，圓心為，所以，
設(shè)，則，
所以，所以的最小值等于，C錯誤．
D：若，則在直線上，
，D正確．
故選：BD
12．【正確答案】ABD
【詳解】對于A：因為，所以，
所以，則，故A正確；
對于B：記，由，
可得，因為在上單調(diào)遞減，
所以對于任意正整數(shù)n，，故B正確；
對于C：由A可知所有同號，
①當時，易得對于任意正整數(shù)n，，
②當時，，即，
因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)n，，
③當時，，即，
因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)n，，故C錯誤；
對于D：由B可知對于任意正整數(shù)n，，
當時，所以，
，
由C中②知當時，，又，解得，
所以，所以，故D正確；
故選：ABD
13．【正確答案】2
【詳解】將化為，可知兩直線平行；
由兩平行線間的距離公式可得，直線與之間的距離.
故2
14．【正確答案】
【詳解】由題可知，則，，
故點到直線的距離為．
故
15．【正確答案】
【詳解】如圖，以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標系，
由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，
故，
所以曲線的軌跡方程為，
因為，
所以，
當且僅當共線時，等號成立，
所以從處到、兩村的路程之和的最小值為.
故答案為.
16．【正確答案】 2； .
【詳解】設(shè)各個直角三角形斜邊長分別為，則前項和為.
設(shè)，，則.
則，解得，.
當時，，，
由可得，，所以，
又，
兩式作差可得，，
又，所以，整理可得.
所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，
所以.
故2；.
17．【正確答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）當時，，故；
當時，，故，
故，則，又滿足，
∴，.
（2）由（1）可得：，
故.
18．【正確答案】(1)
(2)或.
【詳解】（1）解：由，化為標準方程得
所以圓的圓心坐標為，
又因為圓的圓心在直線上，所以當兩圓外切時，切點為，
設(shè)圓的圓心坐標為，因為在圓上，可得，
則有
解得，所以圓的圓心坐標為，半徑，
故圓的方程為.

（2）解：因為圓弧恰為圓周長的，
根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，所以點到直線的距離為，
①當直線的斜率不存在時，點到軸的距離為，直線即為軸，
此時直線的方程為.
②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即.
可得，即，解得，
所以直線的方程，即，
故所求直線的方程為或.

19．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取的中點H，連接MH，HN.
因為M為AC的中點，所以.
因為平面，平面，所以平面.
因為H，N分別為，的中點，所以，
因為平面，平面，所以平面.
因為面MHN，所以平面平面.
因為平面MHN，所以平面.
（2）因為平面，平面，所以.
因為三棱柱是直三棱柱，所以，.
以BA，，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量為.
由，得，取.
所以點A到平面的距離.
20．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）

由題意知，，，所以，
當時，在雙曲線方程中令,即，
解得，即，又，即，得，
所以，
因為點坐標為，
所以，
所以雙曲線方程為.
（2）
由（1）知，
所以，
雙曲線的方程可化為，
當時，，如圖所示:

所以為等腰直角三角形，即，
易知；
當與不垂直時，如圖:

設(shè)，又點在上，所以，
即，即，
又因為，
所以，
即無論與是否垂直，根據(jù)正切函數(shù)在區(qū)間和上嚴格單調(diào)遞增，均有，
綜上，．
21．【正確答案】(1)
(2)4
【詳解】（1）由題意得是等差數(shù)列，，
所以，由題意得，
所以，
所以是首項為250，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以.
（2）是數(shù)列的前項和，所以，
是數(shù)列的前項和減去600，
所以，
，
又當時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，且時，時，
所以至少經(jīng)過4年，進行技術(shù)改造的累計純利潤將超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤.
22．【正確答案】(1)
(2)①面積為，②；
【詳解】（1）根據(jù)題意將代入可得，
又，解得；
所以C的方程為；
（2）在曲線C的上半部分取兩點M，N，且，
延長交橢圓與點，如下圖所示：
設(shè)，由橢圓對稱性可知，顯然，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去，整理可得，顯然；
可得，
①由，，易知，
當時，即可得，
所以，解得（負值舍去）；
可得直線的方程為，即，
設(shè)到直線的距離為，
弦長，
將代入可得，
則四邊形的面積為；
即四邊形的面積為；
②由①可知四邊形的面積等價于的面積，
依題意，
即當取得最大值時，的面積最大，即四邊形的面積最大；
易知，
令，所以，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以時，即時，取得最大值3，
由解得或（舍），即；
所以四邊形的面積最大時點M的坐標為.

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