2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析），共19頁(yè)。試卷主要包含了考試結(jié)束后，將答題卡交回等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選凃其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正確答案】B
【分析】由題意可知，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
可得，解得.
故選：B.
2. 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，則的中線的長(zhǎng)為（ ）
A. 3B. 5C. 9D. 25
【正確答案】B
【分析】求出邊的中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得答案.
【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
故的中線的長(zhǎng)為，
故選：B
3. 若橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離為（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【正確答案】B
【詳解】∵橢圓的方程為，
∴該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a2=25且b2=16，可得a=5、b=4．
根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a=10
∵橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離|PF1|=6，
∴點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2的距離|PF2|=2a﹣|PF1|=10﹣6=4．
故選B．
4. 將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】分析可知，所得直線與直線垂直，可得出所求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.
【詳解】由題意可知，所得直線與直線垂直，即所求直線的斜率為，
因此，所求直線的方程為，即.
故選：C.
5. 已知直線在軸、軸上的截距相等，則直線與直線間的距離為（ ）
A. B. C. 或D. 0或
【正確答案】A
【分析】由題意利用直線的截距的定義求得m的值，再利用兩條平行線之間的距離公式，計(jì)算即可．
【詳解】直線在軸、軸上的截距相等，
令，得，令，得，所以，解得，
故直線，即，化簡(jiǎn)為，
則直線與直線間的距離為
故選：A．
本題主要考查直線的截距的定義，兩條平行線之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
6. 設(shè)直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】當(dāng)時(shí)，可得傾斜角為，當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，其傾斜角為，
當(dāng)時(shí)，由直線方程可得斜率，且，
，即，又，，
綜上所述，傾斜角的范圍是.
故選：C.
7. 若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長(zhǎng)平分，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【正確答案】C
【分析】設(shè)出直線方程，將圓心代入直線，求解即可.
【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過(guò)圓心，
直線方程為，或，將點(diǎn)代入上式，解得
直線的方程為或.
故選：C.
8. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用三角換元，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性，即可求解．
【詳解】由，
則可設(shè)為參數(shù)，，
故，其中，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
故選：D．
二、本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有錯(cuò)的得0分．
9. 下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A. 已知空間向量，若，則
B. 若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面
C. 若，，則向量在向量上的投影向量
D. 任意向量，，滿足
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)空間向量的概念及其向量共面定理，基底，數(shù)量積等的概念，即可判斷得出答案.
【詳解】對(duì)于A，若，則，A正確；
對(duì)于B，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有，
則，即，
因此，，共面，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，B正確；
對(duì)于C，，向量在向量上的投影向量，C正確；
對(duì)于D，由于是一個(gè)實(shí)數(shù)，也是一個(gè)實(shí)數(shù)，
若，則和共線，與已知的任意性不符，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
10. 已知圓與圓，則（ ）
A. 兩圓的圓心距為
B. 兩圓的公切線有3條
C. 兩圓相交，且公共弦所在的直線方程為
D. 兩圓相交，且公共弦的長(zhǎng)度為
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心坐標(biāo)，求出兩圓圓心距，判斷A；判斷兩圓的位置關(guān)系，即可判斷B；將兩圓方程相減，即可得兩圓公共弦所在的直線方程，判斷C；利用幾何法求得公共弦長(zhǎng)，判斷D.
【詳解】對(duì)于A，圓的圓心為，半徑為
與圓的圓心為，半徑為，
故兩圓的圓心距為，A正確；
對(duì)于B，由于，
即圓與圓相交，兩圓的公切線有2條，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由B可知兩圓相交，
將圓與圓的方程相減，
得，即公共弦所在的直線方程為，C正確；
對(duì)于D，由B可知兩圓相交，而，
到直線的距離為，
故兩圓公共弦的長(zhǎng)度為，D錯(cuò)誤，
故選：AC
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的動(dòng)弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
B. 的面積最大值為1
C. 若原點(diǎn)始終在動(dòng)弦上，則不是定值
D. 若動(dòng)點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解實(shí)數(shù)的范圍判斷A，根據(jù)三角形面積結(jié)合正弦函數(shù)可求出面積最大值判斷B，分類討論，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷C，先根據(jù)矩形性質(zhì)結(jié)合垂徑定理得到點(diǎn)的軌跡，然后利用圓的周長(zhǎng)公式求解判斷D.
【詳解】對(duì)于A，圓的圓心為1,0，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，正確；
對(duì)于B，的面積為，
當(dāng)時(shí)，的面積有最大值為1，正確；
對(duì)于C，當(dāng)弦垂直x軸時(shí)，，所以，
當(dāng)弦不垂直x軸時(shí)，設(shè)弦所在直線為，
與圓聯(lián)立得，，
設(shè)，
則，，
綜上，恒為定值，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)Px0,y0，OP中點(diǎn)，該點(diǎn)也是AB中點(diǎn)，且，
又，所以，
化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)軌跡為以1,0為圓心，半徑為的圓，
其周長(zhǎng)為長(zhǎng)度為，正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共1.5分．
12. 無(wú)論為何值，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.
【正確答案】2,3
【分析】將直線方程整理為關(guān)于的方程，由直線恒過(guò)定點(diǎn)列方程組即可得解.
【詳解】化簡(jiǎn)直線方程為關(guān)于的方程，
因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，所以，
解得，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為2,3.
故2,3.
13. 希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_______．
【正確答案】
【分析】首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后列出等式，最后化簡(jiǎn)所得的等式可得軌跡方程.
【詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，
化簡(jiǎn)得，即.
故答案為.
14. 已知過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的值等于______．
【正確答案】7
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，則可得，故可求數(shù)量積的值.
【詳解】由題設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，
因?yàn)?，故在圓外，
則，
設(shè)圓心為，連接，則，
故
故7.
四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為．
（1）求直線的方程；
（2）在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答．
①角A的平分線所在直線方程為；
②邊上的中線所在的直線方程為．
若________________，求直線的方程．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)直線垂直，求得斜率，利用點(diǎn)斜式方程，可得答案；
（2）聯(lián)立直線方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分別利用角平分線的對(duì)稱或中線的對(duì)稱，可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)檫吷细咚诘闹本€方程為，
所以直線的斜率，又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，
所以直線的方程為：，即；
【小問(wèn)2詳解】
若選①，角的平分線所在直線方程為，
由，解得，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在直線上，所以的斜率，
所以直線的方程為，即．
若選②：邊上中線所在的直線方程為，
由，解得，所以點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)在直線上，
所以，即，又點(diǎn)直線上，所以，
所以的斜率，所以直線的方程為，
即直線的方程為．
16. 已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點(diǎn).
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，結(jié)合題意得到，求得圓心，再由，即可求得圓的方程；
（2）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)得到，分的斜率不存在和存在，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
解：圓的圓心在直線上且與軸切于點(diǎn)，
可設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，解得，.
所以圓心，半徑，
故圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
解：由直線l過(guò)點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為，
根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，解得，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，此時(shí)不滿足條件；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，
可得，解得或，
所以直線方程為或.
17. 如圖，在直三棱柱中，為直角，側(cè)面為正方形，分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求直線與平面所成角的正弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）連接，證明，結(jié)合線面平行判定定理證明結(jié)論；
（2）由線面垂直得到，結(jié)合得到線面垂直，再證明，結(jié)合（1）可得；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面的法向量，得到線面角的正弦值．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，

在中，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，
所以，又平面，平面，
所以平面．
【小問(wèn)2詳解】
證明：因?yàn)橹比庵?，為?cè)棱，
所以平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，
又為直角，所以
又，，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>由（1），所以．
【小問(wèn)3詳解】
建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
因此，．
設(shè)平面的法向量為，
則，，
所以，即
令，則，，
所以為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)直線與平面所成角為．
所以．
18. 如圖，已知菱形和菱形的邊長(zhǎng)均為，，分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且．

（1）證明：平面；
（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求：
①；
②點(diǎn)到平面的距離．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）①；②
【分析】（1）方法一，過(guò)點(diǎn)作，證明平面平面，從而可證明結(jié)論；方法二，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連結(jié)，證明，根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論；
（2）①建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出坐標(biāo)，可得其模長(zhǎng)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；②利用空間距離的向量求法，即可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
證明：（方法一）在菱形內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作，

，連接，則，
由得，
∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面．
∵，平面，平面，
∴平面．
又平面，，
∴平面平面，
又平面，∴平面．
（方法二）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，連結(jié)，

由，得，
由得，則，
而平面，平面，
∴平面．
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，
由題意知為等邊三角形，得，同理，
而平面，則平面，
又平面，于是平面平面，
①在平面內(nèi)作，平面平面，則平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，由，
得，，，
，
由，
得．
從而，
當(dāng)時(shí)，取最小值；
②此時(shí)，，，
設(shè)為平面的法向量，則，
令，得，
故點(diǎn)到平面的距離為.
19. 古希臘亞歷山大時(shí)期最后一位重要的幾何學(xué)家帕普斯（Pappus，公元3世紀(jì)末）在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問(wèn)題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動(dòng)點(diǎn)軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數(shù)的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究方便，我們?cè)O(shè)平面內(nèi)三條給定的直線為，當(dāng)三條直線中有相交直線時(shí)，記，，，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為，且滿足.閱讀上述材料，完成下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)，時(shí)，若，且與的距離為2，點(diǎn)在與之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的面積.
（2）若是等腰直角三角形，是直角，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）運(yùn)動(dòng)，試探求為何值時(shí)，的軌跡是圓？
（3）若是等腰三角形，，點(diǎn)在內(nèi)（包括兩邊）任意運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，問(wèn)在此等腰三角形對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使為大于1的定值.若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，的軌跡是圓
（3）存在，點(diǎn)為中點(diǎn)
【分析】（1）適當(dāng)建系，以為軸，為軸，同時(shí)，再結(jié)合新定義確定軌跡方程即可求解；
（2）適當(dāng)建系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，同時(shí).再結(jié)合新定義即可求解；
（3）適當(dāng)建系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的角平分線為軸，設(shè)，，，結(jié)合新定義列出等式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，
因?yàn)樵?，之間，所以，，，
由定義得，所以，化簡(jiǎn)得，
表示以為圓心，1為半徑的圓.
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積.
【小問(wèn)2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，（）為軸，（）為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)，點(diǎn)，
則，，，，
代入坐標(biāo)得：
化簡(jiǎn)整理：①
當(dāng)時(shí)，方程①?zèng)]有項(xiàng)，此時(shí)方程①為.
即，此方程表示圓心為，半徑為的圓，
所以當(dāng)時(shí)，的軌跡是圓.
【小問(wèn)3詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的角平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，點(diǎn)，
先求點(diǎn)的軌跡方程：由，因?yàn)樵趦?nèi)部，所以，得.
同理：，又.
由題意，當(dāng)時(shí)，得.
化簡(jiǎn)整理得.②
假設(shè)存在點(diǎn)，滿足條件，則③
由②得.
代入③得.
要使此式為定值，則，化簡(jiǎn)得，
故存在點(diǎn)，即點(diǎn)為與的角平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)為中點(diǎn)，
此時(shí).
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這類新定義的關(guān)鍵是適當(dāng)建系，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，減少計(jì)算量是關(guān)鍵點(diǎn).