1. 若是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)基底滿足的條件逐一分析即可.
【詳解】對于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯誤；
對于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯誤；
對于：，
所以為共線向量，不符合基底的定義，故錯誤；
對于：設(shè)存在唯一的實數(shù)使，
則，此方程無解，故能作為平面向量的基底.故正確.
故選.
2. 在三角形中，，，，則（ ）
A. B. C. 或D. 或
【正確答案】B
【分析】由正弦定理求解出角，然后由內(nèi)角和定理求解角即可.
【詳解】由可得：，
所以，又，
所以，
結(jié)合內(nèi)角和定理，所以.
故選：B
3. 平面向量，滿足，，，則在上投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】兩邊平方后求出，再利用投影向量的公式求解.
【詳解】，
其中，所以，解得，
則在上投影向量為.
故選：C
4. 冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點繪制了△ABD，測得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】在中，由余弦定理得，進(jìn)而求出，再在中，利用正弦定理得解.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；
因為，所以，
在中，由正弦定理所以，
解得.
故選：D
5. 在中，角所對的邊分別為，向量，若，則角的大小為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】先利用向量平行坐標(biāo)運(yùn)算得，再利用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，求解即可.
【詳解】因為向量，且，所以，
由正弦定理可得：，
即，即，
又，，故，由，解得.
故選：C
6. 已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【正確答案】C
【分析】設(shè)，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】依題意設(shè)，，
由，所以，則，
又，且，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即的最大值為.
故選：C
7. 如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點，G為EF上的一點，且，則實數(shù)m的值為
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】
可根據(jù)條件得出，并可設(shè)，然后根據(jù)向量加法的幾何意義和向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得出，從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出，解出即可．
【詳解】解：，F(xiàn)為BC的中點，
，
設(shè)
，
又，
，解得.
故選：A.
本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理，考查了計算能力，屬于中檔題．
8. 在中，為邊上一點，，且的面積為，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由面積公式求出，即可得到為等腰三角形，則，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用兩角差的正弦公式計算可得.
【詳解】因為，解得，
所以為等腰三角形，則，
在中由正弦定理可得，即，解得，
因為，所以為銳角，所以，
所以
.
故選：A
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若向量，則（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量為D. 與的夾角為
【正確答案】BC
【分析】用坐標(biāo)表示出向量，用模長公式求出模長即可判斷A選項；用向量坐標(biāo)求向量的數(shù)量積判斷B選項；由向量的投影向量的公式判斷C選項；由坐標(biāo)求出模長和向量的數(shù)量積，求出向量的夾角判斷D選項.
【詳解】由題，
所以，故A錯；
又，故B正確；
，所以在上的投影向量為：，故C正確；
因為，又，所以，故D錯誤.
故選：BC.
10. 對于，角所對的邊分別為，下列說法正確的有（ ）
A. 若，則一定為等腰三角形
B. 若，則一定為等腰三角形
C. 若，則有兩解
D. 若，則一定為銳角三角形
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)已知可得或，即可判斷A項；根據(jù)正弦定理可得，即可判斷B項；根據(jù)已知可推得只有一解，即可判斷C項；根據(jù)兩角和的正切公式，可推得，即可得出D項.
詳解】對于A項，由可知，或，
所以，或，
所以，為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
對于B項，根據(jù)正弦定理可得，，所以，
所以一定為等腰三角形，故B正確；
對于C項，因為，所以，又，
所以只有一解，所以，有一解，故C錯誤；
對于D項，因為，
所以，，
整理可得，.
因為，所以，
所以，都是銳角，所以一定為銳角三角形，故D正確.
故選：BD.
11. 已知三個內(nèi)角的對邊分別是，若，則下列選項正確的是（ ）
A.
B. 若是邊上的一點，且，則的面積的最大值為
C. 若是銳角三角形，則的取值范圍是
D. 若是的外心，，則
【正確答案】BCD
【分析】用正弦定理及余弦定理求出角B判斷A；利用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算律解得，使用基本不等式即可求出面積最大值判斷B；利用正弦定理及三角恒等變換得，求出函數(shù)值域即可判斷C，根據(jù)模長關(guān)系可得，再結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解D即可.
【詳解】對于A，因，
由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，即，
且，所以
對于B，因為，
則，
可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以，
即的面積的最大值為，故B正確；
對于C，因為，
又因為，解得，
可得，則，
所以，故C正確；
對于D，因為，則，
可知點在優(yōu)弧上（端點除外），
因為，則，
又因為，
且，可得，即，
又因為，即，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
可得，故D正確.
故選：BCD
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知菱形的邊長為2，則向量__________.

【正確答案】2
【分析】應(yīng)用向量加減法的幾何意義化簡得，即可得答案.
【詳解】由圖知.
故2
13. 已知向量，，若，則實數(shù)a＝___．
【正確答案】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】因為，所以，
即
所以，解得，
故答案為.
14. 在中，，，且在上，則線段的長為______．
【正確答案】1
【詳解】∵，
∴，∴，
∵且在上，
∴線段為的角平分線，∴，
以A為原點，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，D
∴
故答案為1
四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知向量.
（1）當(dāng)且時，求；
（2）當(dāng)，求向量與的夾角
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得和的坐標(biāo)，再由，求得的值；
（2）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先求得的坐標(biāo)，由當(dāng)，求得的值，再由向量的夾角公式求得夾角的大小.
【小問1詳解】
因為向量，所以，
，
又因為，所以，
所以，解得或，
又因為，所以.
【小問2詳解】
由，，可得，
又，又，所以，解得，
所以，可得，，
，
所以，
又，所以.
16. 設(shè)向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求證：A，，三點共線.
【正確答案】（1）1 （2）2
（3）證明見解析
【分析】（1）先求，進(jìn)而求；（2）列出方程組，求出，進(jìn)而求出；（3）求出，從而得到，得到結(jié)果.
小問1詳解】
，；
【小問2詳解】
，所以，解得：，所以；
【小問3詳解】
因為，所以，所以A，，三點共線.
17. 在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知
（1）求角的大?。?br>（2）若，求的面積
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由代入，利用三角恒等變換化簡即可求解；
（2）由余弦定理可求得，再由三角形的面積公式即可求解.
【小問1詳解】
由，可得，
所以，
所以，又因為，所以，
所以，又，所以；
【小問2詳解】
因為，，結(jié)合余弦定理，
可得，解得，
所以的面積為.
18. 已知，且.
（1）求的最小正周期，以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時，求的最大值和最小值.
【正確答案】（1）
（2）最小值、最大值分別為、
【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及輔助角公式化簡得，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)性質(zhì)求區(qū)間最值即可.
【小問1詳解】
由題設(shè)，，
所以的最小正周期為，故函數(shù)周期為，
令，可得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】
由，則，故，
所以的最小值、最大值分別為、
19. 如圖，，是單位圓上的相異兩定點為圓心，且為銳角點為單位圓上的動點，線段交線段于點.
（1）求結(jié)果用表示；
（2）若 .
①求的取值范圍；
②設(shè)，記，求函數(shù)的值域.
【正確答案】（1）
（2）①；②
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，結(jié)合轉(zhuǎn)化法即可得解；
（2）①設(shè)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，結(jié)合三角恒等變換將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，從而得解；
②設(shè)，利用向量的線性運(yùn)算得到，從而將轉(zhuǎn)化為含有的代數(shù)式，換元后借助于函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的值域，由此得解.
【小問1詳解】
因為，，
所以.
【小問2詳解】
①.
設(shè)，又，所以，
則
所以
，
因為，則，
所以，則
故；
②設(shè)，
則，
所以，由得，
即，整理得，
所以，
所以.
所以.
令， ，
，令，
則，
因為，
則，即，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以的取值范圍是.

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