一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，若，則所有整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為（ ）
A．{1，2}B．{1}C．D．
2．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．9
3．已知是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．如圖是函數(shù)的大致圖象，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
5．?dāng)?shù)列滿足，且，則等于（ ）
A．148B．149C．152D．299
6．已知正三角形的邊長為，平面內(nèi)的動點滿足，，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．不等式對任意恒成立，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
8．正方體中，點M是上靠近點的三等分點，平面平面，則直線l與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)為互不重合的兩個平面，m，n為互不重合的兩條直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若m，n為異面直線，且，，，，則
C．若m，n與所成的角相等，則
D．若，，，則
10．已知復(fù)數(shù)，，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．B．C．D．
11．定義在上的函數(shù)滿足，其中為實數(shù)，其值域是.若對于任何滿足上述條件的都有，則（ ）
A．方程可以有無數(shù)多解
B．當(dāng)時，
C．當(dāng)時，將所有滿足（）且大于等于1的實數(shù)從小到大排成一列，組成數(shù)列，若，則數(shù)列的最大項為
D．的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知向量的夾角的余弦值為，且，則 .
13．已知函數(shù) ， 且 ，則 .
14．已知正四面體ABCD的棱長為，其外接球的球心為O.點E滿足，，過點E作平面平行于AC和BD，當(dāng)時，平面截球O所得截面的周長為 ；當(dāng)時，將正四面體ABCD繞EF旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分體積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角的對邊分別為，，，已知.
(1)求角；
(2)若是邊上的一點， 且滿足，，求.
16．已知數(shù)列的前項和為，，（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，數(shù)列的前項和為，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，面，是棱上一動點.

(1)當(dāng)時，求三棱錐的體積
(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求平面與平面所成夾角的余弦值.
18．已知函數(shù)滿足存在實數(shù)，使得.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若有最大值為，求實數(shù)的值；
(3)證明.
19．已知集合中的元素均為正整數(shù)，且滿足：①對于任意，若，都有；②對于任意，若，都有.
(1)已知集合，求；
(2)已知集合，求；
(3)若中有4個元素，證明：中恰有5個元素.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】當(dāng)時，，滿足.
當(dāng)時，，由于且，
所以或.
綜上所述，整數(shù)的取值構(gòu)成的集合為.
故選：C
2．【正確答案】C
【詳解】∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，
∴.
故選：C.
3．【正確答案】C
【詳解】若，則存在唯一的實數(shù)，使得，
故，
而，
存在使得成立，
所以“”是“存在，使得’的的充分條件，
若且，則與方向相同，
故此時，所以“”是“存在存在，使得”的必要條件，
故“”是“存在，使得”的充分必要條件.
故選：C.
4．【正確答案】D
【詳解】由圖可知，是的極小值點，由已知得，
令，得，得，經(jīng)驗證符合題意，
所以，由，，
可得，解得.
故選：D
5．【正確答案】B
【詳解】由題意得，因為，，
所以，
所以．
故選：B．
6．【正確答案】B
【詳解】
試題分析：甴已知易得.以為原點，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則設(shè)由已知，得，又
，它表示圓上點與點距離平方的，，故選B．
考點：1.向量的數(shù)量積運算；2.向量的夾角；3.解析幾何中與圓有關(guān)的最值問題.
7．【正確答案】A
【詳解】由題意可得，需滿足是的一個根，
即，且，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
所以的最小值為.
故選：A.
8．【正確答案】D
【詳解】因為是正方體，所以平面平面,
平面平面,平面平面,
所以,是靠近的三等分點，
所以,
平面平面即是,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為3，
則
設(shè)直線l與所成角為
.
故選：D.
9．【正確答案】ABD
【詳解】對于A，由，得，又，所以，故A正確；
對于B，在空間取一點，過點分別作，，則與確定一個平面
，由，，得，，所以，同理，所以，故B正確；

對于C，當(dāng)m，n相交，且與都平行時，m，n與所成的角相等，此時與不平行，
故C錯誤；
對于D，由，可知，在上取一點，過在內(nèi)作一直線，
使得，則，過在內(nèi)作一直線，使得，則，顯然
，則，故D正確.

故選：ABD.
10．【正確答案】AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長和加法運算可得，進(jìn)而逐項分析判斷.
【詳解】設(shè)，
因為，可知，即，
又因為，則，
可知，解得，則或，
且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則，可知，即.
對于選項A：因為，所以，故A正確；
對于選項B：可知，故B錯誤；
對于選項C：因為，故C正確；
對于選項D：，故D錯誤.
故選AC.
11．【正確答案】AB
【詳解】A.當(dāng)函數(shù)為常值函數(shù)，此時方程有無數(shù)多解，所以A對
B.當(dāng)時，，，，
，，所以，B對
C.當(dāng)時，若，則有，解得，其中，所以C錯
D.據(jù)題意，得，令，，
∵當(dāng)時，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，∴，
∴時，值域為,
∴①當(dāng)時，∵，取遍的每一個值，
∴當(dāng)時，一定，使得，如圖1所示，

此時，∴符合題設(shè)要求.
②當(dāng)時，可知，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.
時
（?。┤?，則一定，使得，如圖2所示，

進(jìn)而；
（ⅱ）若，其中，令，
當(dāng)時，，∴，所以，使得，如圖3所示，

進(jìn)而，∴也符合題設(shè)要求，∴D錯.
故選：AB
12．【正確答案】2
【詳解】由題意，向量的夾角的余弦值為，
因為，
所以，
解得或（舍去）.
故2.
13．【正確答案】
【詳解】，，
，
畫出在上的圖象，如下：
顯然，故，
，
即，解得.
故
14．【正確答案】
【詳解】①正四面體ABCD的外接球即為正方體的外接球，其半徑，
設(shè)平面截球所得截面的圓心為，半徑為，
當(dāng)時，則，
∵，則，
∴平面截球O所得截面的周長為.
故
②如圖2，將正四面體繞旋轉(zhuǎn)后得到正四面體，
設(shè)，
∵，則分別為各面的中心，
∴兩個正四面體的公共部分為，為兩個全等的正四棱錐組合而成，
根據(jù)正方體可得：，正四棱錐的高為，
故公共部分的體積.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，即，.
由正弦定理可得，
且，
即，
可得，
且，則，可得，
又因為，所以
（2）因為，即，
可得，又，所以，
可知平分，則，
因為，
即，整理可得
16．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由，可得：
時，，兩式相減可得：，所以，
時，，所以，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，的通項公式為
（2），.
，
，
兩式相減得：，
所以，
因為恒成立，可得，
記，
法一：
令，則，解得，
則，即當(dāng)時，取到最大值2，
可得，所以實數(shù)的取值范圍.
法二：
，
時，，即，
時，，即，
則，即當(dāng)時，取到最大值2，
可得，所以實數(shù)的取值范圍
17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知，，所以，
所以，
又平面，
∴ ，
又∵平面，平面，
∴.
∵，∴，
設(shè)到平面的距離，∴ ，
又∵，∴，
，
所以.
（2）設(shè)相交于點，
因為平面，平面，
所以，平面，平面，
平面，
因為平面，所以，
，因為為定值，
所以當(dāng)最小時，三角形 面積最小，
因為在線段上動，所以當(dāng)時，最小，即三角形面積最小，
此時 ，
取中點，因為為中點，所以.
因為平面，平面.所以，
所以在平面中，，
因為平面，平面，所以平面平面，
因為平面平面，，平面，
所以平面，
因為平面，所以，因為，
以為原點，以，，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
，
，
，，，
設(shè)平面的法向量
則，

設(shè)，則，
所以為平面的一個法向量.
平面的法向量.
設(shè)平面平面夾角，
.
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)證明見解析.
【詳解】（1）由，得函數(shù)的定義域為，
又；
當(dāng)時，f'x>0恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不滿足題意；
當(dāng)時，，f'x>0，單調(diào)遞增；
，f'x

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