一、單選題（本大題共8小題）
1．等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和為（ ）
A．54B．63C．66D．72
2．棱長為的正四面體中，點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
3．設(shè) Sn 是等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，若 S3=4 ， a4+a5+a6=6 ，則 S9S6= （ ）
4．已知兩條直線與被圓截得的線段長均為2，則圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且軸，，則此橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)，若過定點(diǎn)A的動直線和過定點(diǎn)B的動直線交于點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．5
8．正方體的棱長為5，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)是正方體下底面內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且動點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方差為25，則動點(diǎn)到點(diǎn)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，則（ ）
A．公差B．C．D．時(shí)，最大
10．在正方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，空間中一點(diǎn)滿足，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，
B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面
D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得與所成角為
11．雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理.橢圓是由到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點(diǎn)距離之乘積為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，軌跡便為伯努利雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
B．已知，，為雙紐線上任意一點(diǎn)，則
C．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
D．曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則 ．
13．如圖，在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則 .
14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線：上的動點(diǎn)，為圓：上的動點(diǎn)，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，等差數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
16．如圖，在四棱錐中，，，，，平面，與平面所成角為，為中點(diǎn)，

(1)證明：；
(2)若直線與平面所成角為，求的值.
17．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)T(2,0)的直線l交雙曲線C于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在第一象限)，記直線MA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，求證：eq \f(k1,k2)為定值．
18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，設(shè)Px0,y0是第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，的延長線分別交橢圓于點(diǎn)，連接，若的周長為.

(1)求橢圓的方程；
(2)當(dāng)軸，求的面積；
(3)若分別記的斜率分別為，求的最大值.
19．已知兩個(gè)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為，且對于數(shù)列，其中，若存在滿足：①，都有；②，使得，則稱數(shù)列是的單極數(shù)列.
(1)已知，若的單極數(shù)列為，求滿足條件的的個(gè)數(shù).
(2)已知是的單極數(shù)列.
（i）若，求.
（ii）若，當(dāng)時(shí)，證明.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則，
故前9項(xiàng)的和為.
故選A.
2．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又，，，，
所以．
故選：A．
3．【正確答案】B
【分析】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q ，求得 q3 的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q ，若 q=1 ，則 a4+a5+a6=3a1=S3 ，矛盾.
所以， q≠1 ，故 a4+a5+a6=a41?q31?q=a1q31?q31?q=q3S3 ，則 q3=32 ，
所以， S6=a11?q61?q=1+q3?a11?q31?q=52S3 ，
S9=a11?q91?q=1+q3+q6a11?q31?q=194S3 ，
因此， S9S6=19S34?25S3=1910 .
4．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)閮蓷l直線與，
所以，
所以與間的距離為，
所以圓心到直線的距離為1，
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，
所以圓的半徑為，
所以圓的面積為.
故選：A.
5．【正確答案】B
【詳解】橢圓方程，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，
于是，，由得，即，
故，．
故選：B
6．【正確答案】D
【詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，，，，，．，，．
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，，故．
因?yàn)橹本€與平面所成角的正切值為，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
即，解得．
所以平面的一個(gè)法向量，
故到平面的距離為．
故選：D
7．【正確答案】A
【分析】先確定兩直線所過的定點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】依題意，直線過定點(diǎn)，直線可整理為，故直線過定點(diǎn)，
又因?yàn)橹本€和直線始終垂直，為兩直線交點(diǎn)，
所以，
則，
由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最大值是.
故選：A.
8．【正確答案】A
【詳解】
如圖所示，作，Q為垂足，則易知平面，
過點(diǎn)Q作，交于，則易知平面，所以即為P到直線的距離．
因?yàn)?，且，所以?br>所以點(diǎn)P的軌跡是以AD為準(zhǔn)線，點(diǎn)M為焦點(diǎn)的拋物線．
如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的軌跡方程是，
點(diǎn)，設(shè)，所以
，所以當(dāng)，取得最小值.
故選：A
9．【正確答案】BC
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得，
由于，所以，，所以AD選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確.
，C選項(xiàng)正確.
故選：BC
10．【正確答案】AC
【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，
如圖所示，

根據(jù)平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，
由于在正方體中，平面，平面，
所以，選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，
如圖所示，

由平面向量基本定理，此時(shí)P在線段上，
由圖可知，三棱錐當(dāng)以平面為底面時(shí)為定值，
但因?yàn)轫旤c(diǎn)P在線段上運(yùn)動，所以P到底面的高不確定，
故三棱錐的體積不是定值，選項(xiàng)B錯誤；
對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，
由平面向量基本定理，取AB與中點(diǎn)M，N，則P在線段MN上運(yùn)動，
由圖可知，過B點(diǎn)且與平面平行的平面為平面，
平面，所以此時(shí)平面，
又P是MN與交點(diǎn)，即當(dāng)且僅當(dāng)P是MN中點(diǎn)時(shí)，有平面，
故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，如圖所示，

以D為原點(diǎn)，DC，DA，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)椋瑒t有，
又，
所以，
所以.
于是，，
所以的夾角為時(shí)有，
，
解得或，
即或都可以使得的夾角為，
選項(xiàng)D錯誤.
故選：AC.
11．【正確答案】BCD
【詳解】對于A，由，可得，
所以，即，
令，解得，或；
當(dāng)時(shí)，得，無解；
當(dāng)時(shí)，得，無解；
所以曲線C經(jīng)過整點(diǎn)，故A錯；
對于B，由于，，則，
所以為雙紐線上任意一點(diǎn)，則，B正確；
對于C，直線與曲線一定有公共點(diǎn)，
若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，整理得無非零實(shí)數(shù)解，
，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故C正確；
對于D，曲線方程中x，y互換可得曲線C關(guān)于直線對稱的曲線方程為
，故D正確.
故選：BCD.
12．【正確答案】
【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有，不符合，
故
故
13．【正確答案】
【詳解】在四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以
又
所以
即.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】令，則，
依題意，圓是由點(diǎn)，確定的阿波羅尼斯圓，且，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
整理得，而該圓的方程為，
則，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因此，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，
所以當(dāng)時(shí)，的值最小為.
故
15．【正確答案】(1)；
(2)
【詳解】（1），
又，
兩式相減得，
即，故數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，
又當(dāng)時(shí)，，得，
，
，，
等差數(shù)列的公差為，
；
（2）由（1）可得，
，
上兩式相減得，
.
16．【正確答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，因?yàn)槠矫妫c平面所成角為，
所以為與平面所成角，即，
則，又平面，
所以，
所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則由題，
所以，，
所以，
所以，即.
（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，所以，所以由（1）得，
取，則，又直線與平面所成角為，
所以
，解得.
17．【正確答案】(1) x2－eq \f(y2,4)＝1(2)證明見詳解
【詳解】(1)∵虛軸長為4，∴2b＝4，即b＝2，
∵直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，
∴eq \f(b,a)＝2，∴a＝1，
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq \f(y2,4)＝1.
(2)由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，
由題可知，直線l的斜率不能為零，故可設(shè)直線l的方程為x＝ny＋2，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－\f(y2,4)＝1，,x＝ny＋2，）
得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，
∴y1＋y2＝－eq \f(16n,4n2－1)，
y1y2＝eq \f(12,4n2－1)，
∴ny1y2＝－eq \f(3,4)(y1＋y2)，
∵直線MA的斜率k1＝eq \f(y1,x1＋1)，
直線NB的斜率k2＝eq \f(y2,x2－1)，
∴eq \f(k1,k2)＝eq \f(\f(y1,x1＋1),\f(y2,x2－1）＝eq \f(y1(ny2＋1),y2(ny1＋3）＝eq \f(ny1y2＋y1,ny1y2＋3y2)＝eq \f(－\f(3,4)(y1＋y2)＋y1,－\f(3,4)(y1＋y2)＋3y2)＝－eq \f(1,3)，為定值．
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意：，
可得：，
故橢圓方程；
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
當(dāng)時(shí)，由在第一象限，可得，
即P1,22，故求得直線方程為，
聯(lián)立方程，得，
整理得，
，
所以；
（3）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，因?yàn)镻x0,y0在橢圓上，故，
由題意
故將直線與橢圓聯(lián)立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即
同理：將直線與橢圓聯(lián)立方程，
代入可得
整理可得：，所以，
即，即，
所以，
故
由Px0,y0在第一象限內(nèi)，故
的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)在處取到等號.
19．【正確答案】(1)18
(2)（i）；（ii）證明見解析
【詳解】（1）由題意可知，為的最大值.
若的單極數(shù)列為，
則有或，
或或或或，
則滿足條件的的個(gè)數(shù)為.
（2）（i）由為的最大值，可知，
由，得，
兩式相減，得，
整理，得，
又，
則，即，所以，即.
（ii）設(shè)，
因?yàn)椋?br>則，
，
.
易知，
，即，
，即.
又，
則有.
所以
由，得，
即.A． 32
B． 1910
C． 53
D． 196

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