概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題
例1　為了備戰(zhàn)亞運會，跳水運動員甲參加國家隊訓(xùn)練測試，已知該運動員連續(xù)跳水m次，每次測試都是獨立的.若運動員甲每次選擇難度系數(shù)較小的動作A與難度系數(shù)較大的動作B的概率均為 .每次跳水測試時，若選擇動作A，取得成功的概率為 ，取得成功記1分，否則記0分.若選擇動作B，取得成功的概率為 ，取得成功記2分，否則記0分.總得分記為X分.(1)若m＝2，求分?jǐn)?shù)X的分布列與均值.(若結(jié)果不為整數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示)
進(jìn)行兩次試驗，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，
(2)若測試達(dá)到n分則中止，記運動員在每一次跳水均取得成功且累計得分為n分的概率為G(n)，如G(1)＝ .①求G(2)；
②問是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}為等比數(shù)列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出λ；若沒有，請說明理由.
高考有時將概率、統(tǒng)計等問題與數(shù)列交匯在一起進(jìn)行考查，因此在解答此類題時，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.
跟蹤訓(xùn)練1　(2022·大連模擬)一款游戲規(guī)則如下：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面向前跳2步，若出現(xiàn)反面向前跳1步.(1)若甲、乙二人同時參與游戲，每人各擲硬幣2次，①求甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率；
設(shè)甲向前跳的步數(shù)為Y，乙向前跳的步數(shù)為Z，則P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝ ，P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝ ，
P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝ ，
②記甲、乙二人向前跳的步數(shù)和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
由①知X的所有可能取值為4,5,6,7,8，
P(X＝6)＝ ，
(2)若某人擲硬幣若干次，向前跳的步數(shù)為n(n∈N*)的概率記為pn，求pn的最大值.
概率、統(tǒng)計與函數(shù)的綜合問題
例2　(2021·新高考全國Ⅱ)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3).(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E(X)≤1時，p＝1，當(dāng)E(X)>1時，p1，故p2＋2p3>p0.此時f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)0，故f′(x)有兩個不同零點x3，x4，且x3

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