第十章　§10.8　概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題-【北師大版】2025年高考數學大一輪復習（課件+講義+練習）-課件下載-教習網

§10.8　概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題
有關概率、統(tǒng)計與其他知識相交匯的考題，能體現“返璞歸真，支持課改；突破定勢，考查真功”的命題理念，是每年高考的必考內容.近幾年將概率、統(tǒng)計問題與數列、函數、導數結合，成為創(chuàng)新問題.
題型一　概率、統(tǒng)計與數列的綜合問題
例1　(12分)(2023·新高考全國Ⅰ)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；[切入點：pi＋1與pi之間的關系]
[思路分析](1)利用全概率公式(2)尋求pi＋1與pi之間的關系，構造等比數列 (3)根據結論及等比數列的求和公式求解
答題模板　規(guī)范答題不丟分
解　(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，(1分)
P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
①處寫出P(B2)的概率計算公式
＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(3分)
(2)設P(Ai)＝pi，依題可知，P(Bi)＝1－pi，
P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)，
②處寫出P(Ai＋1)的概率計算公式
pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2，
③處寫出pi＋1與pi的關系
⑥處利用題干結論計算EY
高考有時將概率、統(tǒng)計等問題與數列交匯在一起進行考查，此類問題常常以概率、統(tǒng)計為命題情境，同時考查等差數列、等比數列的判定及其前n項和，解題時要準確把握題中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型.
跟蹤訓練1　(2023·日照模擬)在卡塔爾舉辦的世界杯決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍.(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門
將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球.不考慮其他因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數X的分布列和期望；
方法一　X的所有可能取值為0,1,2,3，
門將在前三次撲到點球的個數X的所有可能取值為0,1,2,3，
(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知p1＝1，p2＝0.
第n次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，則當n≥2時，第n－1次傳球之前球在甲腳下的概率為pn－1，第n－1次傳球之前球不在甲腳下的概率為1－pn－1，
②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大小.
題型二　概率、統(tǒng)計與導數的綜合問題
例2　(2023·沈陽模擬)根據以往大量的測量知某加工廠生產的鋼管內徑尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，并把鋼管內徑在[μ－σ，μ＋σ]內的產品
稱為一等品，鋼管內徑在[μ＋σ，μ＋2σ]內的產品稱為二等品，一等品與二等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內的產品作為廢品回收.現從該企業(yè)生產的產品中隨機抽取1 000件，測得鋼管內徑的樣本數據的頻率分布直方圖如圖.
(1)通過檢測得樣本數據的標準差s＝0.3，用樣本平均數x作為μ的近似值，用樣本標準差s作為σ的估計值，根據所給數據求該企業(yè)生產的產品為正品的概率P1；(同一組中的數據用
該組區(qū)間的中點值代表)參考數據：36.2×0.2＋36.4×0.25＋36.6×0.7＋36.8×0.8＋37×1.1＋37.2×0.8＋37.4×0.65＋37.6×0.4＋37.8×0.1≈185.
所以μ＝37，σ＝s＝0.3，則μ－σ＝37－0.3＝36.7，μ＋σ＝37＋0.3＝37.3，μ＋2σ＝37＋0.6＝37.6，則一等品內徑在[μ－σ，μ＋σ]內，即在[36.7,37.3]內，
二等品內徑在[μ＋σ，μ＋2σ]內，即在[37.3,37.6]內，所以該企業(yè)生產的產品為正品的概率為P1＝P(36.7≤X≤37.6)＝(0.8＋1.1＋0.8＋0.65)×0.2＋0.4×0.1＝0.71.
(2)假如企業(yè)包裝時要求把2個一等品和n(n≥2，n∈N)個二等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同，則該箱產品記為A，否則該箱產品記為B.①試用含n的代數式表示某箱產品抽檢被記為B的概率p；
所以某箱產品抽檢被記為B的概率為
②設抽檢5箱產品恰有3箱被記為B的概率為f(p)，求當n為何值時，f(p)取得最大值，并求出最大值.
由題意，一箱產品抽檢被記為B的概率為p，則5箱產品恰有3箱被記為B的概率為
f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數字特征或有關概率.決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數、不等式或數列的有關性質去實現.
跟蹤訓練2　學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”.活動規(guī)則如下：一天內參加“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內參加“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分.已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動(每天兩局)時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p， .李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動(每天兩局)，各局比賽互不影響.(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和期望；
X的所有可能取值為5,6,7,8,9,10，
(2)設李明在這5天的“四人賽”活動(每天兩局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為f(p).求當p為何值時，f(p)取得最大值.
1.(2023·廣州模擬)為了拓展學生的知識面，提高學生對航空航天科技的興趣，培養(yǎng)學生良好的科學素養(yǎng)，某校組織學生參加航空航天科普知識答題競賽，每位參賽學生答題若干次，答題賦分方法如下：第1次答題，答對得20分，答錯得10分；從第2次答題開始，答對則獲得上一次答題得分的兩倍，答錯得10分.學生甲參加答題競賽，每次答對的概率均為，各次答題結果互不影響.(1)求甲前3次答題得分之和為40分的概率；
記甲前3次答題得分之和為40分為事件A，則事件A是甲前3次答題中僅答對一次的事件，所以甲前3次答題得分之和為40分的概率為
(2)記甲第i次答題所得分數Xi(i∈N+)的數學期望為EXi.①寫出EXi－1與EXi滿足的等量關系式(直接寫出結果，不必證明)；
i∈N＋，i≥2，甲第(i－1)次答題所得分數Xi－1的數學期望為EXi－1，
于是甲第i次答題所得分數Xi的數學期望為
所以EXi－1與EXi滿足的等量關系式是
②若EXi>100，求i的最小值.
2.(2023·濟寧模擬)某校數學組老師為了解學生數學學科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8 000名學生進行針對性檢測(檢測分為初試和復試)，并隨機抽取了100名學生的初試成績(單位：分)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.
(1)根據頻率分布直方圖，求樣本平均數的估計值；
所以樣本平均數的估計值為62.
(2)若所有學生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為樣本平均數的估計值，σ≈14.初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數；
附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ

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