一、單選題（本大題共8小題）
1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．1
2．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．D．0
4．已知參觀某次航展的中小學(xué)生人數(shù)和購買航展模型的比率分別如圖1、圖2所示.為了解各學(xué)段學(xué)生對航展的愛好程度，用分層隨機抽樣的方法抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本量和抽取的初中生里購買航展模型的人數(shù)（估計值）分別為（ ）
A．200，24B．200，28C．100，24D．100，28
5．若函數(shù)的圖象在點處的切線不經(jīng)過第二象限，且該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，均為等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的前9項和為（ ）
A．45B．50C．54D．60
7．已知是拋物線上的動點，是拋物線的準(zhǔn)線上的動點，，則的最小值是（ ）
A．5B．4C．D．
8．如圖，正方體的棱長為4，，分別為棱，的中點，則三棱錐外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)的定義域為，且，則的解析式可以為（ ）
A．B．C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù)B．的最大值為
C．的最小正周期為D．的圖象關(guān)于直線對稱
11．笛卡爾葉形線是一個代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出．如圖，葉形線經(jīng)過點，點Px0,y0在C上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與C有3個公共點B．若點P在第二象限，則
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．在的展開式中，的系數(shù)為 .
13．已知，，，，則 .
14．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.若，，則的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.
(1)證明：是等腰三角形.
(2)若，求的最大值.
16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，，E為線段PC上一點，，且該四棱錐的體積為.
(1)求AE的長度；
(2)求二面角的正弦值.
17．某項編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級編程題組成，基礎(chǔ)編程題每題答對得5分，中級編程題每題答對得10分，初賽至少得60分才能進(jìn)入第二輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級編程題和2道高級編程題組成，中級編程題每題答對得10分，高級編程題每題答對得20分．所有的題答錯都不扣分．已知甲同學(xué)能答對每道基礎(chǔ)編程題，中級編程題每題答對的概率為，高級編程題每題答對的概率為，且各題答對與否互不影響．
(1)求甲同學(xué)初賽被淘汰的概率；
(2)已知甲同學(xué)第一輪初賽得滿分70分，求甲同學(xué)兩輪比賽所得總分X的分布列及期望．
18．已知，分別為橢圓的上、下焦點，是橢圓的一個頂點，是橢圓C上的動點，，，三點不共線，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，其為等邊三角形．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若為的中點，為坐標(biāo)原點，直線交直線于點，過點作交直線于點，證明：．
19．已知函數(shù)的定義域為，區(qū)間，若，，則稱是在上的不動點，集合為在上的不動點集.
(1)求函數(shù)在上的不動點集；
(2)若函數(shù)在上有且只有一個不動點，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)在上的不動點集為，求的取值范圍.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】因為，所以.
故選：B
2．【正確答案】B
【詳解】由，所以.
所以.
故選：B
3．【正確答案】A
【詳解】因為，，所以，
又，所以，解得.
故選：A
4．【正確答案】D
【詳解】樣本量為，
抽取的初中生人數(shù)為，
所以抽取的初中生里購買航展模型的人數(shù)約為.
故選：D
5．【正確答案】D
【詳解】由，得，，
則的圖象在點處的切線方程為，
由題意可知，
將代入切線方程，得，將代入切線方程，得，
因為該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，
所以，解得或，
當(dāng)時，切線經(jīng)過第一、三、四象限，符合題意；
當(dāng)時，切線經(jīng)過第一、二、三象限，不符合題意.
故.
故選：D
6．【正確答案】C
【詳解】因，均為等差數(shù)列，且，，可得的公差為，
則，
而的前9項和為
.
故選：C.
7．【正確答案】A
【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線的方程為，
當(dāng)時，的值最小，此時，由拋物線的定義，可得PM=PF，
則.
故選：A.
8．【正確答案】D
【詳解】因為為直角三角形，其外接圓圓心為的中點，
設(shè)的中點為，過作平面的垂線與交于點，
為三棱錐外接球的球心，，
三棱錐外接球的體積為.
故選：D
9．【正確答案】ABC
【詳解】首先，各選項給出的函數(shù)定義域均為.
對A：，，所以成立，故A符合題意；
對B：，，所以成立，故B符合題意；
對C：，，所以成立，故C符合題意；
對D：，，所以不是恒成立，故D不合題意.
故選：ABC
10．【正確答案】AB
【詳解】，則，
所以為奇函數(shù)，A正確.
，所
以的最小正周期不是，C不正確.
，
所以的圖象不關(guān)于直線對稱，D不正確.
，
顯然，且，
當(dāng)時，，
由，設(shè)，
根據(jù)基本不等式，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，顯然不成立，
則在單調(diào)遞減，所以，即，
所以.
當(dāng)時，，所以的最大值為，B正確.
故選：AB
11．【正確答案】BCD
【詳解】因為葉形線經(jīng)過點，所以．
聯(lián)立，解得，所以直線與C只有1個公共點，A錯誤．
．
因為點P在第二象限，所以，，
所以，B正確．
若點P在第四象限，則，可推出 ．
因為，
所以．當(dāng)點P在第二、四象限時，，
所以．當(dāng)點P是原點或在第一象限時，易得，
所以，C正確．
由，可得，解得，所以，D正確．
故選：BCD
12．【正確答案】
【詳解】展開式的通項.
令，可得，則的系數(shù)為.
故
13．【正確答案】/
【詳解】因為，，，，
所以，，即，.
故.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】當(dāng)時，顯然恒成立，
當(dāng)時，可以理解為將的圖象向右平移個單位長度后，
得到的的圖象始終在的圖象的下方（或重合）.
當(dāng)時，，可知當(dāng)時，，
平移之后，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，由圖象，
，，
可知，，解得；
當(dāng)時，的圖象始終在的圖象的下方.
故的取值范圍為.
故
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
即，
所以，是等腰三角形.
（2）由（1）知，所以，.
.
因為，所以.
.
，其中，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以的最大值為.
16．【正確答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）設(shè)，則，該四棱錐的體積為，
解得，即，．
以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1,0,0，，，
，，，，
設(shè)，則，．
若，則，解得，即E為PC的中點．
連接AC，在中，；
（2）由（1）得，，．
設(shè)平面ABE的法向量為，
則即取，得n=0,1,?1．
設(shè)平面PBE的法向量為，
則即取，得．
設(shè)二面角的大小為，
則，所以，
所以二面角的正弦值為．
17．【正確答案】(1)
(2)分布列見解析，
【詳解】（1）若甲同學(xué)初賽不被淘汰，則他答對中級編程題的數(shù)量至少為，
則甲同學(xué)初賽不被淘汰的概率為，
所以甲同學(xué)初賽被淘汰的概率為；
（2）由題意可取，
則，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列為：
故.
18．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）因為是橢圓C的一個頂點，所以．
當(dāng)點與的左頂點或右頂點重合時，的面積最大，其為等邊三角形，滿足，又因為，所以，．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）
證明：設(shè)直線的方程為，，Px1,y1．
由得，
，，
所以，，
即點，
所以直線的方程為．
令，得．
又，所以直線的方程為．
令，得．
延長交于，延長交于．
由，得，則．
同理由，得，則．
因為，，顯然，
所以．
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由，得，
解得或，
故在0,+∞上的不動點集為.
（2）方法一：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個實數(shù)根.
即方程在只有一解.
因為是方程的解，所以方程在上無解.
作函數(shù)和，的圖象，如下圖：
由，，所以.
當(dāng)或即或時，與，的圖象只有一個交點.
所以的取值范圍是.
方法二：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個實數(shù)根.
令，則.
若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞增.
因為，，所以φx在上有且僅有一個零點，即在上有且僅有一個不動點.
若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞減.
因為，，所以φx在上有且僅有一個零點，即在上有且僅有一個不動點.
若，易知是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
因為，，所以存在，使得，
則當(dāng)和時，φ'x>0，φx單調(diào)遞增，當(dāng)時，φ'x

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