1．本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】直接求解拋物線的準(zhǔn)線方程.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：D.
2. 設(shè)在處可導(dǎo)，則（ ）．
A B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，
所以.
故選：C
3. 已知空間向量，，若與垂直，則等于（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系可得，即可根據(jù)模長(zhǎng)公式求解.
【詳解】由于與垂直，故，解得，
故，
故選：C
4. 已知等比數(shù)列滿足，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，由此可求結(jié)論,
【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，?br>所以，
所以，即，
故.
故選：C.
5. 已知圓與直線，若平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 18
【正確答案】C
【分析】由平分圓的周長(zhǎng)，所以直線l過圓C的圓心，得，再利用不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槠椒謭A的周長(zhǎng)，所以直線l過圓C的圓心，即，
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故選：C
6. 若直線是曲線的一條切線，則的值為（ ）
A. B. C. 2D.
【正確答案】D
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出的值.
【詳解】由，得，
設(shè)切點(diǎn)為，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，
又切線方程為，所以，
即，解得，.
故選：D.
7. 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意可知雙曲線的漸近線方程的斜率需小于直線的斜率，得，結(jié)合和離心率的定義即可求解.
【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，
要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，
需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即，即，由，
得，整理得，所以，
因?yàn)殡p曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是.
故選：B
8. 已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，分析分段函數(shù)的性質(zhì)并畫出圖象，即可確定k的范圍.
【詳解】由題意，與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，則，
∴在上，遞增，在上，遞減，
∴時(shí)，有最大值，且在上，在上.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
∴圖象如下

∴由圖知：要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則.
故選：C.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分．
9. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
B. 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，
C. 處是函數(shù)的極值點(diǎn)
D. 時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0
【正確答案】BD
【分析】綜合應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系即可解決.
【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)于A項(xiàng)，在上，，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，在上，，在上，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，是的變號(hào)零點(diǎn)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，
是的不變號(hào)零點(diǎn)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，故D正確.
故選：BD.
10. 已知圓：和圓：．現(xiàn)給出如下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A. 圓與圓外切
B. 、分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為8，最小值為2
C. 過且與圓相切的直線有一條
D. 過且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或
【正確答案】BD
【分析】對(duì)于A：根據(jù)兩圓位置關(guān)系分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)圓的性質(zhì)可得結(jié)果；對(duì)于C：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得結(jié)果；對(duì)于D：設(shè)直線方程為，根據(jù)截距列式求解即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閳A：的圓心，半徑，
圓：的圓心，半徑，
則，即，
所以圓與圓外離，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：由圓的性質(zhì)可知：，即的最大值為8，
，即的最小值為2，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓外，
所以過且與圓相切的直線有兩條，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可知所求直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
則直線在x，y軸上的截距分別為，
則，解得或，
所以直線方程為或，故D正確；
故選：BD.
11. 如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，點(diǎn)P為兩曲線位于第一象限的公共點(diǎn)，且，I為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，x軸上的點(diǎn)A，B滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 平分D.
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓、雙曲線定義及余弦定理求解判斷AB；利用橢圓、雙曲線定義，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理求解判斷CD.
【詳解】設(shè)，而橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，
由雙曲線的定義，得，由橢圓的定義，得，
則，又，
由余弦定理得：，
即，整理得，
對(duì)于A，，即，A正確；
對(duì)于B，，即，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，又平分，則，由，得，
則，C正確；
對(duì)于D，由為的內(nèi)心，得為的角平分線，則，同理，
則，于是，即，
由，得，則，又三點(diǎn)共線，
即為的角平分線，又平分，則有，
而，則，即，
由，得，即，由選項(xiàng)B知，，D正確．
故選：ACD
結(jié)論點(diǎn)睛：是的角平分線，則.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 直線，，當(dāng)時(shí)，直線與之間的距離為__________.
【正確答案】##
【分析】由兩直線平行列方程求，根據(jù)平行直線間距離公式求解即可.
【詳解】因?yàn)橹本€，，，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線重合，不滿足要求，
當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線平行，滿足要求，
所以當(dāng)時(shí)，直線與之間的距離為.
故答案為.
13. 一個(gè)箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，______．
【正確答案】60
【分析】根據(jù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故60
14. 如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第n層有個(gè)球，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為______.
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意列出數(shù)列的遞推關(guān)系，再利用累加法求出通項(xiàng)公式，最后用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前20項(xiàng)和.
【詳解】由題意得，，
當(dāng)時(shí)，，
以上各式累加得：，
經(jīng)檢驗(yàn)符合上式，所以，
所以
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，所以.
故
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程和演算步驟．
15. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．
（1）求的解析式；
（2）求在區(qū)間上的最值．
【正確答案】（1）
（2）的最小值為，最大值為.
【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，比較端點(diǎn)處的值可得結(jié)論.
【小問1詳解】
依題意可得，
又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；
解得；
所以；
【小問2詳解】
由（1）可知，
令，可得或，
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：
因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.
16. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】(1)由等差數(shù)列的概念計(jì)算基本量即可；
(2)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.
【小問1詳解】
設(shè)的公差為，則，解得，
所以；
【小問2詳解】
由（1）知；
得.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，，是等邊三角形，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）先證明，，然后利用線面垂直的判定定理證明垂直于平面；
（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法即可求出兩平面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
由于是等邊三角形，為的中點(diǎn)．
故是等邊的中線，所以，
又因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，
由于和在平面內(nèi)，且交于點(diǎn)，，，所以平面；
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，則由是的中點(diǎn)，知是三角形的中位線，故平行于.
因?yàn)槠矫?，平行于?br>所以垂直于平面，即三線兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則由，，，，
，知，，，
所以，．
設(shè)平面的法向量為，則
，即，
令，則，，故．
顯然平面的一個(gè)法向量為.
而，
故平面與平面夾角的余弦值為．
18. 已知函數(shù).
（1）若，求在上的值域；
（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，進(jìn)而分析最值和值域；
（2）分析可知原題意等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.
小問1詳解】
若，則，，
令，解得；令，解得；
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，且，
當(dāng)時(shí)，，可知在上的最大值為，
所以在上的值域是；
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，滿足要求，所以，
原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，即在上恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，可得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
19. 閱讀材料：北京奧林匹克體育場(chǎng)（如圖1），俗稱“鳥巢”，其外形是以眾多鋼鐵線條“編織”而成的.
從空中向下俯視，其外圍形狀大致為兩個(gè)橢圓，大橢圓的弦是小橢圓的切線（如圖2），那些編織“鳥巢”的“枝條”，甚至看上去好像是直線把橢圓“包裹”出來的，數(shù)學(xué)上稱這種情況為直線族的包絡(luò).下面我們來討論小橢圓是如何被“包裹”出來的.建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)大橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
在這個(gè)大橢圓上“均勻”地取個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)的坐標(biāo)可以記為大橢圓上的這個(gè)點(diǎn)可以通過一族直線（一共有條）.確定直線的方法如下：先取第一個(gè)點(diǎn)，第二個(gè)點(diǎn)（這個(gè)點(diǎn)也可以看作為繞著橢圓中心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度后得到的），由點(diǎn)可得到直線.以此類推就可以得到一系列的直線：，，這條直線就形成一個(gè)直線族，這個(gè)直線族的包絡(luò)線就構(gòu)成一個(gè)小橢圓，直線族中每條直線都與小橢圓相切.
結(jié)合閱讀材料，回答下面的問題：
（1）若坐標(biāo)為，大橢圓的離心率為，求大橢圓的方程
（2）（i）直線族構(gòu)成的包絡(luò)線小橢圓與直線族的條數(shù)無關(guān)，但越大，小橢圓的形狀越清晰.若在滿足（1）的大橢圓上取個(gè)點(diǎn)形成的直線族，中，求出直線方程，并求出該直線族構(gòu)成的包絡(luò)線小橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
（ii）若直線族中有與小橢圓切于點(diǎn)，另一條直線與小橢圓分別交于（異于點(diǎn)），與交于點(diǎn)，求證：成等比數(shù)列.
【正確答案】（1）
（2）（i）方程為，；（ii）證明見解析
【分析】（1）根據(jù)可得，即可由離心率公式求解，
（2）求解，的坐標(biāo)，根據(jù)，的方程求解，得（i），
根據(jù)直線與橢圓相切可得，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)點(diǎn)距離公式求解的大小，即可根據(jù)等比中項(xiàng)求解（ii）.
【小問1詳解】
由題，坐標(biāo)為，所以，因此，
又因?yàn)?，因此，則，
大橢圓方程為.
【小問2詳解】
（i）由題，坐標(biāo)為，故，
同理，坐標(biāo)為，故，
則方程為，故小橢圓，
同理求出方程為，故小橢圓，
則小橢圓方程為；
（ii）直線與小橢圓相切，
故聯(lián)立方程消后得：
則，則，
因?yàn)椋?，且切點(diǎn)
由聯(lián)立，可求得點(diǎn)坐標(biāo)為：
設(shè)
聯(lián)立方程消后得：
由韋達(dá)定理：
同理：，
因?yàn)?，故成等比?shù)列.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離可得，進(jìn)而得，，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解.
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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