1．若復數(shù)滿足，則復平面內(nèi)表示的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．設等比數(shù)列的前項和為，若，且，則等于（ ）
A．3B．303C．D．
3．已知向量，滿足，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知直線，圓，若圓上恰有三個點到直線的距離都等于，則（ ）
A．2B．4C．D．8
6．已知三棱錐中，平面，，，則此三棱錐外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
7．對于函數(shù)與，若存在，使，則稱，是與圖象的一對“隱對稱點”．已知函數(shù)，，函數(shù)與的圖象恰好存在兩對“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．某城市隨機選取個人參加活動，假設該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于，則至少需要選?。? ）個人.
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，為對立事件B．
C．D．
10．下圖是函數(shù)的部分圖象，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．將圖象向右平移后得到函數(shù)的圖象
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．若，則
11．雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，若P是右支上一點（與B不重合）如圖，過點P的直線與雙曲線C的左支交于點Q，與其兩條漸近線分別交于S，T兩點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．P到兩條漸近線的距離之積為
B．當直線l運動時，始終有
C．在中，
D．內(nèi)切圓半徑取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．中內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，，則 ．
13．已知直線和互相垂直，且，則的最小值為 ．
14．已知函數(shù)，若關于的方程有3個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．記為數(shù)列的前項和，已知是公差為的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
16．如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．
(1)設平面平面，若P為的中點，求證：；
(2)設，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．
17．人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學，自誕生以來，理論和技術日益成熟.某公司研究了一款答題機器人，參與一場答題挑戰(zhàn).若開始基礎分值為（）分，每輪答2題，都答對得1分，僅答對1題得0分，都答錯得分.若該答題機器人答對每道題的概率均為，每輪答題相互獨立，每輪結(jié)束后機器人累計得分為，當時，答題結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)成功，當時，答題也結(jié)束，機器人挑戰(zhàn)失敗.
(1)當時，求機器人第一輪答題后累計得分的分布列與數(shù)學期望；
(2)當時，求機器人在第6輪答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功的概率.
18．已知函數(shù)．
(1)若，求極值；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，求的范圍；
(3)在（2）的條件下，求證：．
19．在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于兩點，當軸時，直線為的等線.
(1)求的方程;
(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;
(3)設，點的軌跡為曲線，證明:在點處的切線為的等線
答案
1．【正確答案】D
【詳解】，則．其對應的點在第四象限．
故選：D.
2．【正確答案】A
【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，
可得，故．
故選：A.
3．【正確答案】B
【詳解】因為，所以，所以，
從而在上的投影向量為．
故選：B.
4．【正確答案】D
【詳解】原式.
故選：D.
5．【正確答案】C
【詳解】圓心，則點C到直線的距離，
又因為圓C上恰有三個點到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，即.
故選：C．
6．【正確答案】B
【詳解】在中，，，
則的外接圓的半徑，
因為平面，，設此三棱錐外接球的半徑為，
則，
則三棱錐的外接球的表面積為．
故選：B．
7．【正確答案】D
【詳解】由題意函數(shù)與的圖象有兩個交點，
令，則，
∴當時，?′x>0，?x單調(diào)遞增；
當時，?′x0，
在同一坐標系中作出函數(shù)、的圖象，如圖，
由圖象可知，若函數(shù)與的圖象有兩個交點，則，
當直線為函數(shù)圖象的切線時，由，可得，
∴且，即.
故選：D．
8．【正確答案】C
【詳解】已知個生肖，按先后順序選擇個人，每次選中的人有種等概率可能，由分步乘法原理共有種情況，
若選取個人中生肖均不相同，有種可能，故選取個人中生肖均不相同概率，
要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于，即，
由于，即隨n隨n的增大而減小，
，，故至少要選個人，
故選：C.
9．【正確答案】AB
【分析】只需注意到事件B是在事件或發(fā)生之后可解.
【詳解】因為甲罐中只有紅球和白球，所以A正確；當發(fā)生時，乙罐中有4個紅球，7個白球，此時B發(fā)生的概率為，故B正確；當發(fā)生時，乙罐中有3個紅球，8個白球，此時B發(fā)生的概率為，所以，故D錯誤；，故 C錯誤.
故選AB.
10．【正確答案】AC
【詳解】對于A，觀察圖象，，的最小正周期，解得，
由，得，，而，則，，
所以，故A正確；
對于B，將圖象向右平移后得到函數(shù)，故B錯誤；
對于C，當時，，
而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確．
對于D，因為，取，滿足條件，
此時，故D錯誤．
故選：AC.
11．【正確答案】ABC
【詳解】由題可知雙曲線的標準方程為，故兩個漸近線方程分別為與，設點，由題可知
所以點到兩個漸近線的距離分別為
故由題可知，故，故選項A正確；
設點
顯然直線的斜率存在,設直線
聯(lián)立方程，，
得
所以
直線分別與漸近線與聯(lián)立得
得
所以有
即
由題可知，
所以，故選項B正確；
不妨設，
由題可知，
所以有

由題可知，
故
所以
整理得，故選項C正確；
由三角形內(nèi)切圓的半徑求法可知其內(nèi)切圓半徑
易知
得
因為
得,
所以，
因為，所以，所以，，故選項D錯誤.
故選：ABC
12．【正確答案】
【詳解】在中由正弦定理可知，所以，
解得，由，
又，，所以，所以.
故答案為.
13．【正確答案】/
【詳解】因為，所以，即，
因為，，
所以，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為．
故．
14．【正確答案】
【詳解】當時，設，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，此時；
當時，設，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當時，，即；
當時，，即；
當時，，即.
可知，
設，注意到曲線與曲線恰好交于點，
顯然，,作出的大致圖象如圖，

由，得，即g(x)=ax+1.
設直線與曲線切于點，
，直線過定點，則，
解得，從而.
由圖象可知，若關于x的方程有3個實數(shù)解，
則直線與曲線有3個交點，則，
即所求實數(shù)a的取值范圍是，
故
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，
所以，當時，，
兩式作差得，
所以，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，
且，所以；
（2），
所以，①
②
①-②得
所以
16．【正確答案】(1)證明見解析；
(2)存在，.
【詳解】（1）證明：設的中點為，連接，
因為P為的中點，Q為的中點，
所以，，，
在直三棱柱中，，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
則，又平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
（2）在直三棱柱中，平面，，
故可以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
因為，
所以，
則，，
又，則，
所以，
若平面，則，
則，解得，
所以線段上存在點P，使得平面，此時.
17．【正確答案】(1)分布列見解析，
(2)
【詳解】（1）當時，第一輪答題后累計得分所有取值為4，3，2，
根據(jù)題意可知：，，，
所以第一輪答題后累計得分的分布列為：
所以.
（2）當時，設“第六輪答題后，答題結(jié)束且挑戰(zhàn)成功”為事件A，
此時情況有2種，分別為：
情況①：前5輪答題中，得1分的有3輪，得0分的有2輪，第6輪得1分；
情況②：前4輪答題中，得1分的有3輪，得分的有1輪，第5.6輪都得1分；
所以.
18．【正確答案】(1)極大值為，極小值為
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）當時，，函數(shù)定義域為0,+∞，
，當，f′x>0，在上單調(diào)遞增，
或，f′x

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