一?單選題
1. 曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求得正確答案.
【詳解】設(shè)，
故選：C
2. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得到答案.
【詳解】．
故選：C.
3. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則=（ ）
A. 11B. 31C. 61D. 121
【正確答案】D
【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再代入公式，即可求解.
【詳解】令，得，得，
由，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
，即，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
故選：D.
4. 已知等差數(shù)列的前8項(xiàng)和為48；，則的公差為（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意求出首項(xiàng)和公差即可.
【詳解】依題意，即，
假設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，解得,
故選：B.
5. 已知函數(shù)在上無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)無極值的條件，利用判別式解得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上無極值,
所以在上無變號零點(diǎn)，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
6. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 函數(shù)的極大值為，無極小值B. 函數(shù)的極小值為，無極大值
C. 函數(shù)的極大值點(diǎn)為，無極小值點(diǎn)D. 函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無極大值點(diǎn)
【正確答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出正確答案.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>，
所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.
所以是的極大值，無極小值.極大值點(diǎn)為，無極小值點(diǎn).
故選：A
7. 已知函數(shù)有極值點(diǎn)在閉區(qū)間上，則的取值范圍為（ ）．
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】對求導(dǎo)，求出的單調(diào)性和極值，可得或，解不等式即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>所以，
令，解得：或，
令，解得：，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，
所以或，
解得：或.
所以的取值范圍為.
故選：A.
8. 已知過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)，寫出切線方程，將點(diǎn)代入切線方程，得到，根據(jù)切線有兩條，得到方程有兩根，結(jié)合判別式即可求出結(jié)果.
【詳解】由得，
設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn)，
則切線斜率為，
所以切線方程為
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，
所以，整理得，
因?yàn)檫^點(diǎn)的切線有兩條，
所以方程有兩不同實(shí)根，
因此，解得或，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
二?多選題
9. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BCD
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】因?yàn)闉槌?shù)，所以0，A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，B正確；
因?yàn)?，C正確；
因?yàn)?br>，D正確.
故選：BCD
10. 如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則以下說法正確的為（ ）
A. 是函數(shù)的極小值點(diǎn)
B. 函數(shù)在處取最小值
C. 函數(shù)在處切線的斜率小于零
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【正確答案】AD
分析】由圖得到導(dǎo)數(shù)正負(fù)情況，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系、極值點(diǎn)和最值定義以及導(dǎo)數(shù)幾何意義即可得解.
【詳解】由圖可得當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故AD正確，
函數(shù)在處不能取最小值，函數(shù)在處切線的斜率大于零，故BC錯(cuò)誤.
故選：AD
11. 函數(shù)，則（ ）
A. B. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
C. 最大值為D. 有兩個(gè)零點(diǎn)
【正確答案】ABD
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性，繼而得到函數(shù)的極值，即可逐一判斷A,B,C,再結(jié)合函數(shù)的趨勢，利用零點(diǎn)存在定理，作出其圖象即可判斷D.
【詳解】對于A，因的定義域?yàn)?，則，故A正確；
對于B，由可得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確；
對于C，由上分析，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；
對于D，由上分析，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
由零點(diǎn)存在定理，可知函數(shù)在區(qū)間和各有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.
故選：ABD.
三?填空題
12. 已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.
【正確答案】
【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于零求解即可.
【詳解】由題意，
由得，
所以單調(diào)遞增是.
故
13. 等比數(shù)列中，，則的值為_______．
【正確答案】4
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)來求解即可.
【詳解】在等比數(shù)列中，由，可得，即，
又由，，所以，
因?yàn)榈缺葦?shù)列偶數(shù)項(xiàng)符號相同，所以，
故4.
14. 已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則滿足的的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得出，最后計(jì)算求解.
【詳解】設(shè)，則．
由當(dāng)時(shí)，，得，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增．
又，所以，即．
因?yàn)闉樯系呐己瘮?shù)，所以，
即，計(jì)算得，所以，
解得或．
故答案為.
四?解答題
15. 已知曲線，
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程.
【正確答案】（1）
（2）或
【分析】（1）求得，得到，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，求得切線方程為，結(jié)合點(diǎn)在直線上，列出方程求得，進(jìn)而求得過點(diǎn)的切線方程.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)，可得，可得，
即曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
【小問2詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，
設(shè)切點(diǎn)為，所以，
所以切線方程為，
又因?yàn)樵谥本€上，所以，
即，解得或.
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為；
當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率為，此時(shí)切線方程為，
綜上所述，過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為：或.
16. 已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值與最小值.
【正確答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）最大值2，最小值為.
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)，求出，求出解析式，并解不等式，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到函數(shù)極值情況，和端點(diǎn)值比較后得到答案.
【小問1詳解】
，
由題意得，即，解得，
故解析式為，定義域?yàn)镽，
令，令得或，
令得，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
顯然為極小值點(diǎn)，故，
單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
【小問2詳解】
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
表格如下：
又，
故的最大值為2，最小值為.
17. 設(shè)函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）答案見解析
（2）
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)可得出單調(diào)性；
（2）由已知得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值即可.
【小問1詳解】
由，則
當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
時(shí)，，則上單調(diào)遞增；
時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．
【小問2詳解】
由題意恒成立，
因?yàn)?，即得恒成立，即，?br>記則，
令，得，令，得，即在上單調(diào)遞減，
令可得，即在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．
18. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
（1）求，；
（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【正確答案】（1），；
（2）證明見解析； （3）
【分析】（1）直接代入計(jì)算即可；
（2）變形得，即可證明；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得，再移項(xiàng)即可.
【小問1詳解】
，.
【小問2詳解】
由得，
且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列.
【小問3詳解】
由（2）知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
所以，
即:.
19. 已知函數(shù)，，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)時(shí)，與的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若當(dāng)時(shí)，有最小值，證明：．
【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)即可判斷的單調(diào)性；
（2）由（1）可知將單調(diào)性相同轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，求出，可得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）對求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)，利用零點(diǎn)存在性定理可判段導(dǎo)函數(shù)符號，求出其單調(diào)性可得最小值的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)求出其值域即可.
【小問1詳解】
由題可知的定義域，，
令，可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
【小問2詳解】
由（I）可知在上單調(diào)遞增，
即在時(shí)恒成立，
即在時(shí)恒成立．
令，，則，
可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，
又時(shí)，，所以，
所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
小問3詳解】
由題可知，，
令，，則，
因?yàn)?，，所以?br>所以在上單調(diào)遞增．
又，，
所以存在唯一的，使得，即，即．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以．
令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，即，
所以．
1
+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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