1. 將一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式后，如果二次項(xiàng)系數(shù)是 4，則一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A. 5，81B. 5，﹣81C. ﹣5，81D. 5x，﹣81
【答案】B
【解析】一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式為 4x2+5x﹣81＝0， 二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為 4，5，﹣81，
故選B．
2. 近幾年我國(guó)國(guó)產(chǎn)汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，下列我國(guó)國(guó)產(chǎn)部分新能源品牌汽車標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：選項(xiàng)A、B、C均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，
選項(xiàng)D能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形，
故選：D．
3. 拋物線經(jīng)過(guò)平移得到拋物線,平移過(guò)程正確的是（ ）
A. 先向下平移個(gè)單位,再向左平移個(gè)單位
B. 先向上平移個(gè)單位,再向右平移個(gè)單位
C. 先向下平移個(gè)單位,再向右平移個(gè)單位
D. 先向上平移個(gè)單位,再向左平移個(gè)單位.
【答案】D
【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而點(diǎn)先向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后可得點(diǎn)，
拋物線先向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后可得拋物線．
故選：D．
4. 為解決群眾看病貴的問(wèn)題，有關(guān)部門決定降低藥價(jià)，某種藥品原價(jià)為256元，在連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià)后價(jià)格調(diào)整為196元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則下面所列方程正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則第一次降價(jià)后的價(jià)格為元，
第二次降價(jià)后的價(jià)格在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降低的為元，
∴可列方程為．
故選：C．
5. 如圖，點(diǎn)，，在上，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故選：．
6. 如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)了一款高為13的獎(jiǎng)杯，杯體軸截面是拋物線的一部分，則杯口的口徑長(zhǎng)為（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】解：∵，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
解得，
∴，，
∴；
故選：B．
7. “圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語(yǔ)言表達(dá)即：如圖，弦，垂足為點(diǎn)，寸，寸，則直徑的長(zhǎng)度是（ ）
A. 12寸B. 24寸C. 13寸D. 26寸
【答案】D
【解析】解：如圖，連接，
，
，且寸，
寸，
設(shè)圓的半徑的長(zhǎng)為，則，
，
，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：
，化簡(jiǎn)得：，
即，
寸，
故選：D．
8. 如圖，把以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，
可得，，，
無(wú)法證明，，故B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意，
,
,
，故C選項(xiàng)不符合題意，
,
,
,
，故A選項(xiàng)符合題意，
故選：A．
9. 已知a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為（ ）
A. B. 1C. 15D. 17
【答案】C
【解析】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
∴，
故選：C．
10. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線，與軸交于，兩點(diǎn)，，下列結(jié)論：①；②；③；④（為任意實(shí)數(shù)），正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴，
∵，
∴，
∵拋物線 與軸交于負(fù)半軸，
∴，
∴，故①結(jié)論錯(cuò)誤；
∵拋物線對(duì)稱軸是直線，與軸交于，兩點(diǎn)，
∴，
∴，故②結(jié)論正確；
根據(jù)對(duì)稱軸為直線，，則，
∴時(shí)，，
∴，故③結(jié)論錯(cuò)誤；
④當(dāng)時(shí)，為最小值，
∴，即（為任意實(shí)數(shù)），故④結(jié)論正確；
綜上正確的有：②④；
故選：B．
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．
【答案】
【解析】解：由題意得：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：
12. 請(qǐng)寫出一個(gè)兩根互為倒數(shù)的一元二次方程______________________
【答案】（答案不唯一）．
【解析】解：依題意，寫出一個(gè)兩根互為倒數(shù)的一元二次方程可以是：，
，原方程有兩個(gè)不等式實(shí)根，
且，則兩根互為倒數(shù)，
故答案為：（答案不唯一）．
13. 如圖，一塊直角三角板的斜邊與量角器的直徑恰好重合，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度是，則的度數(shù)為_(kāi)______．
【答案】
【解析】解：連接，如圖所示：
∵直角三角板的斜邊與量角器的直徑恰好重合，，
∴點(diǎn)，，，共圓（是以為直徑的外接圓的內(nèi)接三角形），
∵點(diǎn)對(duì)應(yīng)的刻度是，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
14. 若函數(shù)y=mx+（m+2）x+m+1的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么m的值為_(kāi)______．
【答案】0,2,-2
【解析】解:①當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)為y=2x+1，此時(shí)圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；
②當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)y=mx+ (m+2)x+m+1的圖象是拋物線,
若拋物線的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),則方程mx+ (m+2)x+m+1=0只有一個(gè)根,
即△=0，可得△=(m+2)-4m(m+1)=0,
解得=2，=-2.
綜上可得m的值為0,2,-2.
15. 如圖，將一張矩形紙片折疊，折痕為，點(diǎn)為中點(diǎn)，折疊后，的對(duì)應(yīng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若，，則______．
【答案】
【解析】解：∵四邊形是矩形，，
∴，，，，
∴，
由折疊得，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
三、解答題（本題共9小題，共75分）
16. 小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過(guò)程如下框：
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過(guò)程．
解：
正確解答：
移項(xiàng)，得，
提取公因式，得，
去括號(hào)，得，
則或，
解得，．
17. 如圖：、都是等邊三角形，且在同一直線上．
（1）求證：；
（2）可以看作是經(jīng)過(guò)平移、軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)得到，請(qǐng)說(shuō)明得到的過(guò)程．
解：（1）證明：和都等邊三角形，

，
即，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：∵是等邊三角形，
，
同理，
以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)就得到．
18. 請(qǐng)用無(wú)刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡（用虛線表示畫圖過(guò)程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）．
（1）如圖1，E是平行四邊形ABCD邊AD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A畫一條直線，使其與EC平行；
（2）如圖2，正六邊形ABCDEF（六邊相等，六角相等的六邊形），在圖中畫一條直線，使其垂直平分AF；
（3）如圖3，⊙O是四邊形ABCD的外接圓，且AB＝BC＝CD，在圖中畫一條異于BC的直線，使其與AD平行．
解：（1）如圖1，直線AF即為所求作．
（2）如圖2，直線GH即為所求作．
（3）如圖3，直線EF即為所求作．
19. 若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是，求的值及方程的另一個(gè)根．
解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，
∵t和3是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，
∴，
∴，
∴方程的另一個(gè)根為，
20. 小銘同學(xué)利用計(jì)算機(jī)畫圖軟件，將二次函數(shù)中的a、b、c輸入不同的值，從而探索二次函數(shù)的性質(zhì)．圖中所示的二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸相交于點(diǎn)．
（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式為 ；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為 ，最小值為 ；
（3）利用圖象直接寫出不等式的解集為 ．
解：（1）二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
二次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)，
，
解得：，
，
二次函數(shù)的解析式為，
故答案為：；
（2），
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取得最小值為：，
，
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)取得最大值為：，
故答案為：，；
（3）如圖，記拋物線與直線右側(cè)交點(diǎn)為，
聯(lián)立，
解得：或，
，
由圖象可得：
不等式的解集為：或，
故答案為：或．
21. 如圖，已知⊙O的直徑，弦，的平分線交于點(diǎn)．
（1）求、、的長(zhǎng)；
（2）求的長(zhǎng)．
解：（1）∵為的直徑，
∴，
在中，，，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵的平分線交于，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，；
（2）延長(zhǎng)到，使，連接，如圖所示：
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22. 已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．
（1）設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期實(shí)際可賣出商品 件，每星期售出商品的利潤(rùn)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，x的取值范圍是 ，每星期售出商品的最大利潤(rùn)是 元；
（2）漲價(jià)多少元時(shí)，每周售出商品的利潤(rùn)為2250元？
（3）設(shè)每件降價(jià)x元，每星期售出商品的利潤(rùn)為y元．
①請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
②確定x的值，使每星期售出商品的利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．
解：（1）∵每漲價(jià)1元，每星期要少賣出10件，
∴每星期實(shí)際可賣出件，
∴，
∵，
∴；
∵．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴在漲價(jià)的情況下，每星期售出商品的最大利潤(rùn)是元6250．
故答案為：；
（2）由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）；
答：漲價(jià)25元時(shí)，每周售出商品的利潤(rùn)為2250元；
（3）①
；
②，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，每星期售出商品的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6125元．
23. 綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖1，在中，，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角小于，點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn) C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．

數(shù)學(xué)思考：（1）試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
深入探究：（2）在以上圖形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，老師讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題．
① “樂(lè)學(xué)小組”提出問(wèn)題：如圖2，當(dāng)時(shí)，則線段的長(zhǎng)為 ．
② “善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．
解：（1），
證明：連接，如圖1，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，
，
，
；
（2）①如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，

，
，
，，
由(1)知，，
設(shè)，
則，
，
，
，
故答案為：；
②如圖3，

，，，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，，，
當(dāng)時(shí)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如圖1，已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求的面積；
（2）如圖2，點(diǎn)是拋物線上第一象限的一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D3中探究：拋物線在軸上方的部分上是否存在點(diǎn)，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）把代入，得
，
解得，
∴；
∴c點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴．
（2）如圖2，作于點(diǎn)D．
∵，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）如圖3-1，當(dāng)點(diǎn)M在第一象限的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作直線的垂線，垂足為E．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
當(dāng)時(shí)，
∴，
設(shè)，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
如圖3-2，當(dāng)點(diǎn)M在第二象限的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為H，過(guò)點(diǎn)C作直線的垂線，垂足為G．
同理可得：．
設(shè)，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
小敏：
兩邊同除以，得
，
則．
小霞：
移項(xiàng)，得，
提取公因式，得．
則或，
解得，．
小敏：
兩邊同除以，得
，
則．
（×）
小霞：
移項(xiàng)，得，
提取公因式，得．
則或，
解得，．
（×）

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