1. 下列函數(shù)的圖象與二次函數(shù)開口方向一致的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】二次函數(shù)開口向下，
A．，不確定的符號，
不確定開口方向，故本選項不符合題意；
B．，不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；
C．開口向下，故本選項符合題意；
D．開口向上，故本選項不符合題意；
故選：C．
2. 隨著我國航天領(lǐng)域的快速發(fā)展，從“天宮一號”發(fā)射升空，到天和核心艙歸位，我國正式邁入了“空間站時代”.下面是有關(guān)我國航天領(lǐng)域的圖標(biāo)，其圖標(biāo)既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
B、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：C．
3. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. ，
C. D. 無解
【答案】B
【解析】解：，
，
∴，，
故選：．
4. “少年強，則國強”，為豐富校園文化生活，激發(fā)學(xué)生參與體育運動的積極性，進一步推動學(xué)校體育活動的健康發(fā)展，以賽促練．我縣計劃組織初中學(xué)生籃球賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排5天，每天安排6場比賽．問：共有多少個隊伍參加比賽？設(shè)共有個隊參賽，則可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請個隊參賽，則可列一元二次方程為：
，
故選：A．
5. 對于拋物線，下列說法正確的是（ ）
A. 隨的增大而減小
B. 當(dāng)時，有最大值
C. 經(jīng)過第一、二、四象限
D. 若點，都在拋物線上，則
【答案】D
【解析】解：、由，可知對稱軸為直線，，
∴當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大，故原選項說法錯誤，不符合題意；
、由，可知對稱軸為直線，，
∴當(dāng)時，有最大值，故原選項說法錯誤，不符合題意；
、由，可知頂點坐標(biāo)為，
∵開口向下，
∴經(jīng)過第三、四象限，故原選項說法錯誤，不符合題意；
、由二次函數(shù)，則它的對稱軸為直線，開口向下，
則圖象上的點離對稱軸越遠，則的值越小，
∵，，
∴，
∴，故原選項說法正確，符合題意；
故選：．
6. 如圖，，是上一點，直線與的夾角，要使，直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)的最小角度為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，
，
直線與的夾角，
，
要使，直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)的最小角度為，
故選：B．
7. 一元二次方程配方后可變形為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，
，
，
故選：D．
8. 已知，，是二次函數(shù)圖象上的三個點，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：二次函數(shù)，
拋物線開口向上，對稱軸為，
拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，
，
，
故選：C．
9. 如圖，把放置在平面直角坐標(biāo)系中，，已知點的坐標(biāo)為，點是軸上的定點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點與點重合，則旋轉(zhuǎn)前點的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：已知點的坐標(biāo)為，
，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，點與點重合，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
過點作軸，垂足為，
，
，
即，
，
即，
，
旋轉(zhuǎn)前點的坐標(biāo)是．
故選：A．
10. 二次函數(shù)的圖象過點，對稱軸是直線，如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④（為實數(shù)）．其中結(jié)論正確的為（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，與y軸的負半軸相交，
∴，，
∵對稱軸是直線，
∴，
∴，故①正確；
∵圖象過點，對稱軸是直線，頂點在第四象限，
∴，，（m為實數(shù)），
∴，則，故②正確；
（m為實數(shù)），故④正確；
∵，
∴，故③錯誤，
綜上，結(jié)論正確的是①②④，
故選：B．
二．填空題（每小題3分，共15分）
11. 若關(guān)于的一元二次方程有一個根是，則______．
【答案】1
【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個根是，
∴且，
解得：，
故答案為：．
12. 拋物線的頂點坐標(biāo)是，且關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】解：∵拋物線的頂點坐標(biāo)是，
∴拋物線的最小值為，
∵關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，
∴拋物線與直線無交點，
∴，
故答案為：．
13. 已知、是方程的兩個實數(shù)根，則的值是______．
【答案】5
【解析】解：∵已知α、β是方程的兩個實數(shù)根，
∴，
∴，
∴．
故答案為：5．
14. 如圖，在一次學(xué)校運動會上，體育組設(shè)計了一個“祥云”會標(biāo)，“祥云”會標(biāo)是由一個半圓和左右兩支拋物線的一部分組成的，且關(guān)于軸對稱，其中半圓與軸相交于點，兩支拋物線的頂點分別為、，與軸分別相交于點、．已知，，則圖案中這段拋物線的函數(shù)表達式為______．
【答案】
【解析】連，記與y軸的交點為F，
∵，且半圓關(guān)于y軸對稱，
∴，
∵，
∴，
∴左側(cè)拋物線的頂點E坐標(biāo)為，
∴可設(shè)左側(cè)拋物線解析式為，
∵，
∴，
將A點代入拋物線解析式得：，
∴圖案中這段拋物線的函數(shù)表達式為，
故答案為：．
15. 如圖，在中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點落在線段上，點的對應(yīng)點為，連接．則______．
【答案】
【解析】∵將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
如圖，過點E作交于點G，
∵，
∴，
∴，
∴，即
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
三．解答題（共75分）
16. 按要求解下列方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
解：（1），
，
，
，
則，
所以，，
（2），
，
，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
∴， ．
17. 為了解決居民停車難的問題，社區(qū)利用矩形空地建了一個露天停車場，其布局如圖所示，已知，，陰影部分設(shè)計為停車位，其余部分均為寬度相等的道路．已知陰影部分的面積為，求道路的寬．
解：設(shè)道路的寬為x米，
由題意得：，
整理得：，
解得：（舍去）．
答：道路的寬是5米．
18. 如圖，中，，將繞點旋轉(zhuǎn)得到，使得點的對應(yīng)點落在直線上（點不與點重合）．
尺規(guī)作圖：作出（不寫作法，保留作圖痕跡）．
解：如圖，以為圓心，長度為半徑畫弧交延長線于點；
分別以為圓心，長度為半徑畫弧，兩弧交；
連接；
∴即為所求．
19. 某“數(shù)學(xué)興趣小組”對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下．
（1）自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應(yīng)值如表：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中已經(jīng)畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你結(jié)合表中的數(shù)據(jù)畫出該函數(shù)圖象的另一部分，并觀察函數(shù)圖象，寫出一條性質(zhì)：______．
（2）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：
①方程有______個實數(shù)根；
②關(guān)于的方程有個實數(shù)根時，的取值范圍是______．
解：（1）畫出函數(shù)圖像如下：
性質(zhì)：其圖象關(guān)于軸對稱（答案不唯一）；
（2）①如圖，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
方程有個實數(shù)根，
故答案為：；
②如圖，當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，
即關(guān)于的方程有個實數(shù)根，
故答案為：或．
20. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無論為何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若是以為斜邊的直角三角形，的長為5，另兩邊、的長是方程的兩個根，求的面積．
解：（1）證明：∵，
，
∴無論為何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：由題意，得：，，
∵是以為斜邊的直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵當(dāng)時， （不合題意，舍去），
∴，
∴原方程為，
解得：， ，
∴的兩直角邊的長分別為1，，
∴．
21. 如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，的頂點均在格點上，在建立平面直角坐標(biāo)系后，點的坐標(biāo)為．

（1）以-1,1為對稱中心，畫出關(guān)于該點對稱的；
（2）可以看成是______得到：經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，和成中心對稱，則對稱中心的坐標(biāo)為______．
解：（1）如圖所示，即為所求圖形；

（2）如圖所示，可以看成是向下平移5個單位長度得到：
連接，的對應(yīng)點，

∴對稱中心的坐標(biāo)為．
故答案為：向下平移5個單位長度；．
22. 某超市銷售一款月餅深受大家的喜愛，超市以每件80元的價格購進該款月餅，以每件120元的價格出售，每日可售出200件，中秋節(jié)當(dāng)天，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該款月餅每降價1元，日銷售量就會增加10件，設(shè)售價為元，日銷售量為件．
（1）直接寫出日銷售量為（件）與每件售價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式______；
（2）為了讓顧客得到更大的實惠，當(dāng)月餅售價定為多少元時，日銷售利潤達8750元？
（3）該超市如何定價，才能使日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
解：（1），
故答案為：；
（2）由題意得：，
整理得：，
解得：，
∵為了讓顧客得到更大的實惠，
∴舍去，
∴，
答：當(dāng)月餅售價為105元時，日銷售利潤達8750元．
（3）設(shè)日銷售利潤為W元，
由題意得：
，
∵，
∴當(dāng)時，（元），
答：每件售價為110元時，可使日銷售利潤最大，最大利潤9000元.
23. 閱讀下面材料，并解決問題：
（1）如圖①等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，此時，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出 ；
（2）基本運用
請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：
已知如圖②，中，，，E，F(xiàn)為上的點且，求證：；
（3）能力提升
如圖③，在中，，，，點O為內(nèi)一點，連接，，，且，求值．
解：（1），
，，，
由題意知旋轉(zhuǎn)角，
為等邊三角形，
，，
在中，，，，
，
直角三角形，且，
；
故答案為：；
（2）證明：如圖2，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得， ，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
（3）解：如圖3，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至處，連接，
在中，，，
，
，
繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，
，，
，
，
繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，
，，，
是等邊三角形，
，，
，
，
C，O，，四點共線，
在中， ，
．
24. 如圖，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點，為拋物線上的一個動點，且點的橫坐標(biāo)為．
（1）直接寫出拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)；
（2）若，當(dāng)拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為時，求的值；
（3）在第一象限的拋物線上是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：（1）將點代入拋物線中，
得，
解得：，
∴拋物線解析式為，
∴頂點D坐標(biāo)為；
（2）令，
解得，，
∴B4,0，
∵P橫坐標(biāo)為且，
∴，
∴將代入，
∴點P一定在對稱軸右側(cè)，且P的坐標(biāo)為；
①如右圖所示，當(dāng)點P在x軸上方時，
則，即，
此時：，
解得：，符合題意；
②如右圖所示，當(dāng)點P在x軸下方時，
則，即，
此時：，
解得：，（舍去），
③當(dāng)點P在x軸上時，
則，即，
此時：（或），解得：（舍去），
綜上所述，或；
（3）存在點P，使，點P的坐標(biāo)為，
理由如下：
如圖所示，在x軸的正半軸上取點，連接，過點B作交拋物線于點P，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，過，，
∴直線的解析式為，
∵，
∴設(shè)直線的解析式為，
將B4,0代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
由，
解得：，（舍去），
∴．
…
…
…
…

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