一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．空間中有兩個(gè)不同的平面和兩條不同的直線，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若則
B．為異面直線且，則與中至少一條相交
C．若與所成的角相等， 則
D．若， 則
3．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列， 則 （ ）
A．8B．4C．D．
4．法國(guó)數(shù)學(xué)家佛朗索瓦·韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，因此人們把這個(gè)關(guān)系稱為韋達(dá)定理，韋達(dá)定理也可用于復(fù)數(shù)系一元二次方程中，即這也是因式分解中的“十字相乘法”. 設(shè) (為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個(gè)頂點(diǎn)為復(fù)平面上的三點(diǎn)，它們分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)， 且 則的面積為（ ）
A．6B．6C．12D．
5．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且.則（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，按斜二測(cè)畫法所得水平放置的平面四邊形的直觀圖為梯形其中 以原四邊形的邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積為（ ）

A．B．
C．D．
7．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．對(duì)于任意兩個(gè)平面向量和，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．是的必要不充分條件
C．
D．若向量在方向上的投影向量為，則
10．已知函數(shù)， 其中， 則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)的任意取值，都不可能為奇函數(shù)
B．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為
C．一定存在極值點(diǎn)
D．若存在極大值，則極大值恒為正數(shù)
11．如圖 在正四棱柱中， 底面正方形 邊長(zhǎng)為， ，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．已知直線為平面和平面ABCD 的交線， 則平面內(nèi)存在直線與平行
B．三棱錐的體積為定值
C．直線與平面所成角最大時(shí)，
D．的最小值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知數(shù)列滿足且則的通項(xiàng)公式 .
13．已知， 則
14．如圖棱長(zhǎng)為3 的正四面體與正三棱錐共底面，它們的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球表面積為 ，二面角的正切值為
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，，的面積為.
(1)求角的大?。?br>(2)求邊的長(zhǎng).
16．如圖 在四棱錐中， 平面平面， 底面為平行四邊形， 與平面所成角的正切值為2，E,F分別為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面;
(2)求二面角的余弦值的絕對(duì)值.
17．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為， 滿足 且首項(xiàng) .
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令討論f′1（f′x為的導(dǎo)數(shù)）與 的大小關(guān)系.
18．已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且的面積為
(1)求雙曲線的方程；
(2)如圖，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為，設(shè)請(qǐng)問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．一游戲規(guī)則如下：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左或者向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)了次.
(1)已知質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為.
①當(dāng) 時(shí)，求質(zhì)點(diǎn)最終回到原點(diǎn)的概率；
②規(guī)定質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只要出現(xiàn)在原點(diǎn)左側(cè)，游戲就結(jié)束，否則游戲就繼續(xù)、直到移動(dòng)了次，分別求出當(dāng)和時(shí)質(zhì)點(diǎn)最終落在原點(diǎn)右側(cè)的概率并比較它們的大小
(2)現(xiàn)在規(guī)定游戲分為兩個(gè)階段：第一階段，質(zhì)點(diǎn)每次向右移動(dòng)的概率為、共移動(dòng)了3次、若質(zhì)點(diǎn)最終落在了原點(diǎn)左側(cè)，則結(jié)束游戲，且最終得分為0分. 若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)、則通過(guò)第一階段，并進(jìn)入第二階段：質(zhì)點(diǎn)重新回到原點(diǎn)，每次向右移動(dòng)的概率為，并再次移動(dòng)了3次，若質(zhì)點(diǎn)最終落在了原點(diǎn)左側(cè)，則最終得分也為0分； 若最終落在了原點(diǎn)右側(cè)，則最終得分為質(zhì)點(diǎn)位于數(shù)軸上所在位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù).
①請(qǐng)用含的式子表示該游戲得分的數(shù)學(xué)期望；
②若 則當(dāng)取何值的時(shí)候，該游戲得分的期望值最大？
答案
1．【正確答案】A
【詳解】由得，，解得，
∴，故集合的子集個(gè)數(shù)為.
故選：A.
2．【正確答案】B
【詳解】對(duì)于 ，若 ，則 或 ，又 ，則 或 ，故 錯(cuò)誤；
對(duì)于 ，若 與 都不相交，則 ，則 ，這與 是異面直線矛盾，故 正確；
對(duì)于 ，若 與 和 所成的角相等，如果 ，則 ，故 錯(cuò)誤；
對(duì)于 ，若 ，則 或 ，由 ，則 與 斜交、垂直、平行均有可能， 故錯(cuò)誤.
故選.
3．【正確答案】C
【詳解】由題意可知，即，故，
∴數(shù)列為等比數(shù)列，公比，
∴.
故選：C.
4．【正確答案】A
【詳解】 ，
根據(jù)韋達(dá)定理知 是方程 的兩根，
因式分解可得方程兩根為 ，不妨設(shè) ，
則 在復(fù)平面上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
所以，故A正確.
故選 ：A.
5．【正確答案】D
【詳解】在上是增函數(shù)，
且，，
所以，
則，
兩式相減可得，又，所以.
故選：D.
6．【正確答案】D
【詳解】解：由題意，
所以 ，
如圖，原圖形 中， ，
所以直角梯形 的邊 AD 為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓臺(tái)，
，
故選：D.

7．【正確答案】B
【詳解】記，則，
可知在上單調(diào)遞增，則，即，
可得；
又因?yàn)?，則，即；
所以.
故選：B.
8．【正確答案】A
【詳解】當(dāng) x>0 時(shí)，則 ，記 ，
由題，函數(shù) 在 上為增函數(shù)，
對(duì)任意的 x>0 恒成立，
則有 ，
令 ，其中 x>0 ，且 ，
令 ，可得 ， 列表如下:
所以函數(shù) ?x 在 取得極小值，亦即最小值，
即 ，
所以 ，可得 ，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為 ，
故選：A.
9．【正確答案】BCD
【詳解】A. 和可能為相反向量，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.
B. 當(dāng)時(shí)，，但.
當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)且時(shí)，由得，
即，故，，，
所以由可得，
所以是的必要不充分條件，選項(xiàng)B正確.
C.，由得，選項(xiàng)C正確.
D.向量在方向上的投影向量為，
把代入上式，選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
10．【正確答案】ABD
選項(xiàng)定義域?yàn)椋?假設(shè)， 使得為奇函數(shù)，則必有， 此時(shí)， 所以不 是奇函數(shù)，所以假設(shè)不成立，故正確；選項(xiàng)B，時(shí)，， 又， 所以在處的切線方程為， 故B正確；選項(xiàng)，， 當(dāng)時(shí)，， 函數(shù)單調(diào)遞減， 無(wú)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)， 由可知時(shí)，無(wú)極大值；若在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則極大值為若在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則極大值為， 故正確，故選ABD.
11．【正確答案】BC
【詳解】選項(xiàng) A，因?yàn)? 平面 ，且 平面 ，所以平面 和平面 的交線 ，
而 與平面 相交，則平面 內(nèi)不存在直線與 平行，即不存在直線與直線 平行，故 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) 平面 ，所以點(diǎn) 到平面 的距離為定值，而三角形 的面積為定值，故三棱錐 的體積為定值，故 正確;
選項(xiàng) C，記 到平面 到距離為 ，由選項(xiàng) B 可知， 為定值，記直線 與平面 所成角為 ，
則 ，又正弦函數(shù)在 上單調(diào)遞增，則 最大時(shí), 最大，從而即為 最小時(shí)，此時(shí) ，
在中，,所以
可得 ，故正確;
選項(xiàng) ，作平面 與平面 的展開圖如圖 所示，
則 的最小值即為展開圖中線段 的長(zhǎng)，
中， ， 所以 ，
從而 中，由余弦定理可知， ，
從而 的最小值為 ，故錯(cuò)誤，
故選: .
12．【正確答案】 .
【詳解】由可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
即可得，所以.
故
13．【正確答案】2
【詳解】.
故2
14．【正確答案】
【詳解】如圖，外接球的球心，且平面，
即為外接球的直徑，設(shè)平面，可知為正三角形的中心，
取AB的中點(diǎn)，連接，則，
可知二面角的平面角為，所求即為，
正四面體中，，，
記外接球半徑為，則在Rt中，，解得，
則外接球表面積為，記，
則，
所以，即為所求.
故；
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，∴，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴.
（2）∵，∴，
∵，∴，
∴.
由正弦定理得，，
∴，解得 .
16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明: 連接 ，
因?yàn)槠矫? 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以為在平面內(nèi)的射影，
故 為與平面 所成角，即 ，
所以, 又
因?yàn)槠矫鏋槠叫兴倪呅危?.
在 中， ，所以 ，
又 與 交于點(diǎn) 平面 ，
所以 平面 .
（2）由(1)可知 平面 ，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為 軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
所以 ，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為 ，

又 ，
則有 令 ，
則 ，故 ，
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
又 ，
則有 令 ，故 ，
則 ，
所以二面角的余弦值的絕對(duì)值為.
17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）由已知可得時(shí)，，
兩式相減得，即，
∴，
當(dāng)時(shí)，，∴，
∵，∴，∴，
故有，∴，
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴，故.
（2）∵，∴，
∴
，
∴，
①-②得， ，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，∴.
當(dāng)時(shí)，，∴.
當(dāng)時(shí)， ，∵，
∴ ，∴ ，
綜上，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
18．【正確答案】(1)
(2)是，，證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，可得，
的面積為，則，解得，所以，
兩式聯(lián)立求解得：，所以雙曲線的方程為.
（2）為定值，設(shè)，
由（1）知：，
由，可得，則，
由，可得，又，
兩式相減得：
化簡(jiǎn)可得，，
，則，
由，同理可得：，
為定值.
19．【正確答案】(1)①；② ，
(2)① ；②
【詳解】（1）①質(zhì)點(diǎn)最終回到原點(diǎn)的情況為:向右走3次，向左走3次，
②設(shè)和時(shí)質(zhì)點(diǎn)最終落在原點(diǎn)右側(cè)的概率分別為，
情況為:第一次必然向右，后兩次至少有一次向右，
則.
包含2種情況:
(i)前2次均向右，后三次至少有一次向右；
(ii)第一次向右，第二次向左，第三次向右，最后兩次至少有1次向右，
，
，則.
（2）①第一階段通過(guò)的情況為3次均向右或者有2次向右，1次向左，
其概率為: ，
設(shè)為最終得分，則可以為0，1，3，
則其數(shù)學(xué)期望為；
②若，則，
令，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，該游戲得分的期望值最大.-
0
+
?x
減
極小值
增

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