專題11.1 不等式及不等式的基本性質(zhì)【十大題型】-最新蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)精講精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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專題11.1 不等式及不等式的基本性質(zhì)【十大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17123" 【題型1 不等式的概念及意義】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
\l "_Tc11701" 【題型2 取值是否滿足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 3
\l "_Tc13521" 【題型3 根據(jù)實(shí)際問題列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 4
\l "_Tc10997" 【題型4 在數(shù)軸上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 6
\l "_Tc16274" 【題型5 利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】 PAGEREF _Tc16274 \h 8
\l "_Tc4175" 【題型6 利用不等式性質(zhì)比較大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 10
\l "_Tc22347" 【題型8 利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 14
\l "_Tc26606" 【題型9 利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 17
\l "_Tc4524" 【題型10 不等關(guān)系的簡單應(yīng)用】 PAGEREF _Tc4524 \h 19
【知識點(diǎn)1 認(rèn)識不等式】
定義：用符號“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”連接而成的式子，叫做不等式。用符號這些用來連接的符號統(tǒng)稱不等式.
【題型1 不等式的概念及意義】
【例1】（2022春?郟縣期中）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有（）
A．1個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【分析】主要依據(jù)不等式的定義──用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來解答．
【詳解】解：因?yàn)槌踴＝3；④x2+xy+y2；之外，式子①﹣3＜0；②4x+3y＞0；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中都含不等號，都是不等式，共4個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：＞,＜,≤,≥,≠．
【變式1-1】（2022春?蒼溪縣期末）下列式子是不等式的是（）
A．x+4y＝3B．xC．x+yD．x﹣3＞0
【分析】根據(jù)不等式的定義逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：A、x+4y＝3是等式，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、x，沒有不等號，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、x+y，沒有不等號，不是不等式，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、x﹣3＞0是不等式，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，注意：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫不等式，不等號有：＞，＜，≤，≥，≠等．
【變式1-2】（2022春?平泉市期末）某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g，蛋白質(zhì)含量≥3%”．則這種牛奶蛋白質(zhì)的質(zhì)量是（）
A．3%以上B．6.15g
C．6.15g及以上D．不足6.15g
【分析】根據(jù)蛋白質(zhì)含量大于或等于3%判斷即可．
【詳解】解：∵205×3%＝6.15（g），蛋白質(zhì)含量≥3%，
∴這種牛奶蛋白質(zhì)的質(zhì)量是6.15g及以上，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義，掌握≥表示大于或等于是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022春?曲陽縣期末）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租用45座和30座兩種型號的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y≥500”表示的實(shí)際意義是租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．
【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷．
【詳解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的實(shí)際意義是租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．
故答案為：租用x輛45座的客車和y輛30座的客車總的載客量不少于500人．
【點(diǎn)睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：＞、＜、≤、≥、≠．
【題型2 取值是否滿足不等式】
【例2】（2022春?臥龍區(qū)期中）下列數(shù)值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x＞0成立的個(gè)數(shù)有 4 個(gè)．
【分析】解得不等式后根據(jù)x的取值范圍確定個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：解1﹣2x＞0，
解得：x＜12，
滿足x＜12的有﹣2、﹣1.5、﹣1、0共4個(gè)，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集的知識，解答時(shí)也可以將x的值代入看能否滿足不等式，滿足可以，否則不可以．
【變式2-1】（2022春?瀘縣期末）x＝3是下列哪個(gè)不等式的解（）
A．x+2＜4B．13x＞3C．2x﹣1＜3D．3x+2＞10
【分析】根據(jù)解不等式的方法，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集，可得答案．
【詳解】解：A、x＜2，故A不是不等式的解；
B、x＞9，故B 不是不等式的解；
C、x＜2，故C不是不等式的解；
D、x＞83，故D是不等式的解．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，先解不等式，再選出答案．
【變式2-2】（2022春?雁塔區(qū)校級期中）下列x的值中，是不等式x＞2的解的是（）
A．﹣2B．0C．2D．3
【分析】根據(jù)不等式解集的定義即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵不等式x＞2的解集是所有大于2的數(shù)，
∴3是不等式的解．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的解集，熟知使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解是解答此題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022春?夏津縣期中）請寫出滿足下列條件的一個(gè)不等式．
（1）0是這個(gè)不等式的一個(gè)解： x＜1 ；
（2）﹣2，﹣1，0，1都是不等式的解： x＜2 ；
（3）0不是這個(gè)不等式的解： x＜0 ．
【分析】根據(jù)不等式的解集，即可解答．
【詳解】解：（1）x＜1，（答案不唯一）
（2）x＜2，（答案不唯一）
（3）x＜0，（答案不唯一）
故答案為：（1）x＜1，（2）x＜2，（3）x＜0．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解集，解決本題的關(guān)鍵是熟記不等式的解集．
【題型3 根據(jù)實(shí)際問題列出不等式】
【例3】（2022春?川匯區(qū)期末）小麗和小華先后進(jìn)入電梯，當(dāng)小華進(jìn)入電梯時(shí)，電梯因超重而警示音響起，且這個(gè)過程中沒有其他人進(jìn)出，已知當(dāng)電梯乘載的重量超過300公斤時(shí)警示音響起，且小麗、小華的體重分別為40公斤，50公斤，若小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列不等式表示的是（）
A．210＜x≤260B．210＜x≤300C．210＜x≤250D．250＜x≤260
【分析】由題意可得，小麗的重量為40公斤，且進(jìn)入電梯后，警示音沒有響起，小華的重量為50公斤．且進(jìn)入電梯后，警示音響起，分別列出不等式即可求解．
【詳解】解：由題意可知：
當(dāng)電梯乘載的重量超過300公斤時(shí)警示音響起，小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，
由圖可知：
小麗的重量為40公斤，且進(jìn)入電梯后，警示音沒有響起，
所以此時(shí)電梯乘載的重量x+40≤300，解得x≤260，
因?yàn)樾∪A的重量為50公斤．且進(jìn)入電梯后，警示音響起，
所以此時(shí)電梯乘載的重量x+40+50＞300，解得x＞210，
因此210＜x≤260．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到不等關(guān)系．
【變式3-1】（2022?南京模擬）據(jù)深圳氣象臺(tái)“天氣預(yù)報(bào)”報(bào)道，今天深圳的最低氣溫是25℃，最高氣溫是32℃，則今天氣溫t（℃）的取值范圍是（）
A．t＜32B．t＞25C．t＝25D．25≤t≤32
【分析】根據(jù)今天的最低氣溫是25℃可得：t≥25，根據(jù)最高氣溫是32℃可得：t≤32，再找出t的公共解集即可．
【詳解】解：根據(jù)今天的最低氣溫是25℃可得：t≥25，
根據(jù)最高氣溫是32℃可得：t≤32，
則氣溫范圍是：25≤t≤32，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問題列不等式，關(guān)鍵是抓住關(guān)鍵詞“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等這些詞語出現(xiàn)的地方．所以重點(diǎn)理解這些地方有利于自己解決此類題目．
【變式3-2】（2022春?玉田縣期末）用不等式表示“a是負(fù)數(shù)”應(yīng)表示為 a＜0 ．
【分析】根據(jù)題意可得，負(fù)數(shù)小于0，由此列出不等式即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，得a＜0．
故答案為：a＜0．
【點(diǎn)睛】本題考查列不等式，所考查的知識點(diǎn)是：負(fù)數(shù)小于0．
【變式3-3】（2022秋?婺城區(qū)校級期末）某種藥品的說明書上貼有如圖所示的標(biāo)簽，一次服用藥品的劑量設(shè)為x，則x的取值范圍是 7.5≤x≤40 ．
【分析】若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間．
【詳解】解：若每天服用3次，則所需劑量為10﹣40mg之間，
若每天服用4次，則所需劑量為7.5﹣30mg之間，
所以，一次服用這種藥的劑量為7.5﹣40mg之間，
所以7.5≤x≤40．
故答案為：7.5≤x≤40．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的意義、有理數(shù)的除法運(yùn)算．解題的關(guān)鍵是理解題意的能力，首先明白每天要服用的藥量，然后根據(jù)分幾次服用，可求出最小藥量和最大藥量．
【題型4 在數(shù)軸上表示不等式】
【例4】（2022?嘉善縣模擬）數(shù)軸上所表示的關(guān)于x的不等式組的解集為 ﹣1≤x＜2 ．
【分析】數(shù)軸的某一段上面，表示解集的線的條數(shù)，與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．實(shí)心圓點(diǎn)包括該點(diǎn)，空心圓圈不包括該點(diǎn)，＞向右＜向左．兩個(gè)不等式的公共部分就是不等式組的解集．
【詳解】解：由圖示可看出，從﹣1出發(fā)向右畫出的折線且表示﹣1的點(diǎn)是實(shí)心圓，表示x≥﹣1；
從2出發(fā)向左畫出的折線且表示2的點(diǎn)是空心圓，表示x＜2，不等式組的解集是指它們的公共部分．
所以這個(gè)不等式組的解集是：﹣1≤x＜2．
故答案為：﹣1≤x＜2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式組的解法及在數(shù)軸上表示不等式組的解集．不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．
【變式4-1】（2022春?永豐縣期中）不等式x≥a的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則a＝ 2 ．
【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的解集確定出a的值即可．
【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上的解集得：a＝2，
故答案為：2
【點(diǎn)睛】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．
【變式4-2】（2022秋?衢州期中）在數(shù)軸上表示下列不等式
（1）x＜﹣1
（2）﹣2＜x≤3．
【分析】（1）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示．
（2）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示．
【詳解】解：（1）將x＜﹣1表示在數(shù)軸上如下：
（2）將不等式組﹣2＜x≤3表示在數(shù)軸上如下：
【點(diǎn)睛】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法：“＞”空心圓點(diǎn)向右畫折線，“≥”實(shí)心圓點(diǎn)向右畫折線，“＜”空心圓點(diǎn)向左畫折線，“≤”實(shí)心圓點(diǎn)向左畫折線．
【變式4-3】（2022?防城港模擬）在數(shù)軸上表示﹣2≤x＜1正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)﹣2是實(shí)心點(diǎn)，方向向右，1是空心點(diǎn)，方向向左畫出圖形即可得到答案．
【詳解】解：﹣2是實(shí)心點(diǎn)，方向向右，1是空心點(diǎn)，方向向左，如圖所示：
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，掌握“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”是解題的關(guān)鍵．
【知識點(diǎn)2 不等式的基本性質(zhì)】
性質(zhì)1：若a＜b，b＜c，則a＜c.這個(gè)性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.
性質(zhì)2：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號的方向不變。
若a＞b，則a±c＞b±c.
性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變。
不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。
若a＞b，c＞0，則ac＞bc，ac＞bc;
若a＞b，c＜0，則ac＜bc，ac＜bc
【題型5 利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】
【例5】（2022春?雁塔區(qū)校級期中）如果有理數(shù)a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）
A．3﹣a＞3﹣bB．a(chǎn)2＜abC．2a＜2bD．?a3＞?b3
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴3﹣a＞3﹣b，
∴選項(xiàng)A不符合題意；
∵a＜b，
∴a2＜ab（a＞0），a2＞ab（a＜0），或a2＝ab（a＝0），
∴選項(xiàng)B符合題意；
∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
∵a＜b，
∴?a3＞?b3，
∴選項(xiàng)D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號的方向不變．
【變式5-1】（2022?禪城區(qū)校級三模）下列結(jié)論中，正確的是（）
A．若a＞b，c≠0，則ac＞bcB．若ab＜0，則a＞0，b＜0
C．若a＞0，b＜0，則ab＜0D．若ab＞1，則a＞b
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷A，D選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷B，C選項(xiàng)．
【詳解】解：A選項(xiàng)，當(dāng)c＜0時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)，也可能是a＜0，b＞0，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，若a＞0，b＜0，則ab＜0，故該選項(xiàng)符合題意；
D選項(xiàng)，當(dāng)b＜0時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022春?大埔縣期末）下列結(jié)論正確的有 ①④ （填序號）．
①如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d；②如果a＞b，那么ab＞1；③如果a＞b，那么1a＜1b；④如果ac2＜bc2，那么a＜b．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．可得答案．
【詳解】解：①∵c＜d，
∴﹣c＞﹣d，
∵a＞b，
∴a﹣c＞b﹣d，
故①正確．
②當(dāng)b＜0時(shí)，ab＜1，
故②錯(cuò)．
③若a＝2，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a＞1b，
故③錯(cuò)．
④∵ac2＜bc2，
∴c2＞0，
∴a＜b，
故④正確．
故答案為：①④．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．注意：在不等式兩邊同乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)時(shí)，不僅要考慮這個(gè)數(shù)不等于0，而且必須先確定這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號的方向必須改變．
【變式5-3】（2022春?天津期末）判斷以下各題的結(jié)論是否正確（對的打“√”，錯(cuò)的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，則b＜3a； √
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4； ×
（3）若a＞b，則 ac2＞bc2； ×
（4）若ac2＞bc2，則a＞b； √
（5）若a＞b，則 a（c2+1）＞b（c2+1）． √
（6）若a＞b＞0，則1a＜1b． √ ．
【分析】利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：（1）若由b﹣3a＜0，移項(xiàng)即可得到b＜3a，故正確；
（2）如果﹣5x＞20，兩邊同除以﹣5不等號方向改變，故錯(cuò)誤；
（3）若a＞b，當(dāng)c＝0時(shí)則 ac2＞bc2錯(cuò)誤，故錯(cuò)誤；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正確；
（5）若a＞b，根據(jù)c2+1，則 a（c2+1）＞b（c2+1）正確．
（6）若a＞b＞0，如a＝2，b＝1，則1a＜1b正確．
故答案為：√、×、×、√、√、√．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，兩邊同乘以或除以一個(gè)不為零的負(fù)數(shù)，不等號方向改變．
【題型6 利用不等式性質(zhì)比較大小】
【例6】（2022春?閔行區(qū)期中）如果7x＜4時(shí)，那么7x﹣3 ＜ 1．（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】直接根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵7x＜4，
∴7x﹣3＜4﹣3，即7x﹣3＜1．
故答案為：＜．
【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的性質(zhì)，熟知不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號的方向不變是解答此題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2022春?輝縣市期中）若a＜b，用“＞”或“＜”填空
（1）a﹣4 ＜ b﹣4
（2）a5 ＜ b5
（3）﹣2a ＞ ﹣2b．
【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)﹣4，不等號的方向不變即可解答：
（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以5，不等號的方向不變解答即可：
（3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘以﹣2，不等號的方向改變即可解答．
【詳解】解：（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1可得：a﹣4＜b﹣4；
（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2可得：a5＜b5；
（3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3可得：﹣2a＞﹣2b，
故答案為＜，＜，＞．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)．不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【變式6-2】（2022春?饒平縣校級期末）要比較兩個(gè)數(shù)a、b的大小，有時(shí)可以通過比較a﹣b與0的大小來解決：
（1）如果a﹣b＞0，則a＞b；
（2）如果a﹣b＝0，則a＝b；
（3）如果a﹣b＜0，則a＜b．
若x＝2a2+3b，y＝a2+3b﹣1，試比較x、y的大小．
【分析】利用作差法可比較x、y的大?。?br>【詳解】解：由于x﹣y＝2a2+3b﹣（a2+3b﹣1）＝a2+1＞0，即x﹣y＞0．
所以x＞y．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)．（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變；
（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；
（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【變式6-3】（2022春?濉溪縣期中）如果a＞b，那么a（a﹣b）＞ b（a﹣b）（填“＞”或“＜”）
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行解答．
【詳解】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴a（a﹣b）＞b（a﹣b）．
故答案是：＞．
【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的基本性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，不等式的基本性質(zhì)是：
（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變．
（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變．
（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【題型7 利用不等式性質(zhì)化簡不等式】
【例7】（2022秋?余杭區(qū)期中）利用不等式的性質(zhì)解不等式：﹣5x+5＜﹣10．
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時(shí)減去5，不等號的方向不變．利用不等式的基本性質(zhì)，將兩邊不等式同時(shí)除以﹣5，不等號的方向改變．
【詳解】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)1，在不等式的兩邊同時(shí)減去5，得﹣5x＜﹣15，
根據(jù)不等式的性質(zhì)3，在不等式﹣5x＜﹣15的兩邊同時(shí)除以﹣5，得x＞3．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：
（1）不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號的方向不變；
（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號的方向不變；
（3）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號的方向改變．
【變式7-1】（2022秋?郴州校級月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）2x+5＞3；
（2）﹣6（x﹣1）＜0．
【分析】（1）根據(jù)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，可得答案；
（2）根據(jù)去括號、移項(xiàng)、系數(shù)化為1，可得答案．
【詳解】解：（1）移項(xiàng)，得
2x＞3﹣5，
合并同類項(xiàng)，得
2x＞﹣2，
系數(shù)化為1，得
x＞﹣1；
（2）去括號，得，
﹣6x+6＜0，
移項(xiàng)，得
﹣6x＜﹣6，
系數(shù)化為1，得
x＞1．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用了解不等式的一般步驟，不等式的兩邊都除以同一負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【變式7-2】（2022秋?余杭區(qū)期中）試依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為x＞a或x＜a的形式（a為常數(shù)）．
（1）13x＞?23x﹣2（2）12x≤12（6﹣x）
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變作答．
【詳解】解：（1）利用不等式的基本性質(zhì)1，在不等式的兩邊都加上23x，得13x+23x＞?23x+23x﹣2，
即x＞﹣2；
（2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2，在不等式的兩邊都乘以2，得12x×2≤12（6﹣x）×2，
即x≤6﹣x，①
再由不等式的基本性質(zhì)1，在不等式①的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式x，得
2x≤6，②
最后利用不等式的性質(zhì)2，在不等式的兩邊同時(shí)除以2，得x≤3．
【點(diǎn)睛】主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；
（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【變式7-3】（2022秋?湖州期中）根據(jù)不等式的性質(zhì)把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
（1）x+7＞9
（2）6x＜5x﹣3
（3）15x＜25．
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)對各不等式進(jìn)行逐一分析解答即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減7，不等號的方向不變，
得x+7﹣7＞9﹣7，即x＞2；
（2）根據(jù)不等式性質(zhì)1，不等式兩邊都減去5x，不等號的方向不變，
得6x﹣5x＜5x﹣5x﹣3，即x＜﹣3；
（3）根據(jù)不等式性質(zhì)2，不等式兩邊同乘以5，不等號的方向不變，
得x＜2；
【點(diǎn)睛】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)，需熟練掌握．
（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變．
（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變．
（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【題型8 利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】
【例8】（2022春?西城區(qū)校級期中）閱讀下列材料，解決問題：
【問題背景】
小明在學(xué)習(xí)完不等式的性質(zhì)之后，思考：
“如何利用不等式的性質(zhì)1和2證明不等式的性質(zhì)3呢？”
在老師的啟發(fā)下，小明首先把問題轉(zhuǎn)化為以下的形式：
①已知：a＞b，c＜0．
求證：ac＜bc．
②已知：a＞b，c＜0．
求證：ac＜bc．
【問題探究】
（1）針對①小明給出如下推理過程，請認(rèn)真閱讀，并填寫依據(jù)：
∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)
∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變）
即﹣ac＞﹣bc
不等式的兩端同時(shí)加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號不變）
合并同類項(xiàng)可得：bc＞ac
即：ac＜bc得證．
（2）參考（1）的結(jié)論或證明方法，完成②的證明．
【分析】（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行分析即可；
（2）仿照（1）的方法進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)
∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a?（﹣c）＞b?（﹣c）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變），
即﹣ac＞﹣bc，
不等式的兩端同時(shí)加（ac+bc）可得：
﹣ac+（ac+bc）＞﹣bc+（ac+bc）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號不變），
合并同類項(xiàng)可得：bc＞ac，
即：ac＜bc，得證．
故答案為：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變；不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)整式，不等號不變；
（2）∵c＜0，即c是一個(gè)負(fù)數(shù)
∴c的相反數(shù)是正數(shù)，即﹣c＞0
∵a＞b
∴a?c＞b?c（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)除以一個(gè)正數(shù)，不等號方向不變），
即?ac＞?bc，
不等式的兩端同時(shí)乘以﹣1可得：
?ac×（﹣1）＜?bc×（﹣1）（依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號改變），
即：ac＜bc，得證．
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記不等式的基本性質(zhì)．
【變式8-1】（2022春?武侯區(qū)期末）求證：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．
【分析】根據(jù)不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，不等式的兩邊都加同一個(gè)數(shù)，不等號的方向不變，可得答案．
【詳解】證明：∵a＞b，c＞0，
∴﹣ac＜﹣bc．
f﹣ac＜f﹣bc．
∵e＞f，
∴e﹣bc＞f﹣bc．
∴f﹣ac＜e﹣bc．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【變式8-2】（2022春?江西期末）已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求證：b＜a．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)得出2b＜a+1，1+a＜2a，根據(jù)不等式的傳遞性從而得出結(jié)論．
【詳解】證明：因?yàn)閎＜c，所以2b＜b+c，
由b+c＜a+1，得2b＜a+1，
由1＜a，得1+a＜2a，
所以2b＜1+a＜2a，
∴b＜a成立．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，要學(xué)會(huì)充分利用不等式的基本性質(zhì)，按照一定的邏輯順序來展開推理論證．
【變式8-3】（2022春?夏津縣期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．
求證：（1）a＞c；
（2）﹣2＜ba＜?1．
【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得3a+2b+c＝（a+b+c）2a+b＝2a+b＞0，由a+b+c＝0可得b＝﹣a﹣c，再代入2a+b＞0解答即可；
（2）由b＝﹣a﹣c，c＞0，由不等式的性質(zhì)可得b＜﹣a，再根據(jù)2a+b＞0可得﹣2a＜b，所以﹣2a＜b＜﹣a，再由a＞0，結(jié)合不等式的性質(zhì)解答即可．
【詳解】證明：（1）∵a+b+c＝0，3a+2b+c＞0，
∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b＞0，
又∵b＝﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，
即a﹣c＞0，
∴a＞c；
（2）∵b＝﹣a﹣c，c＞0，
∴b＜﹣a，
又∵2a+b＞0，
∴﹣2a＜b，
∴﹣2a＜b＜﹣a，
又∵a＞c＞0，
∴﹣2＜ba＜?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【題型9 利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】
【例9】（2022春?龍鳳區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y＝3，x﹣z＝6．若x≥﹣2y，則x+y+z的最大值為（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】設(shè)x+y+z＝t，用x表示z得到z＝x﹣6，則t＝3+x﹣6＝x﹣3，所以x＝t+3，再利用x≥﹣2y，y＝3﹣x得到x≥﹣2（3﹣x），解不等式得到x≤6，所以t+3≤6，然后解不等式得到t的最大值即可．
【詳解】解：設(shè)x+y+z＝t，
∵x﹣z＝6，
∴z＝x﹣6，
∵x+y＝3，
∴y＝3﹣x，t＝3+x﹣6＝x﹣3，
∴x＝t+3，
∵x≥﹣2y，
即x≥﹣2（3﹣x），
∴x≤6，
∴t+3≤6，
解得t≤3，
∴x+y+z的最大值為3．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．也考查了等式的性質(zhì)．
【變式9-1】（2022春?郫都區(qū)校級期中）若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，則a的取值范圍是 a＞6 ．
【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)不等式的兩邊都乘（6﹣a）后，不等號的方向改變了，說明（6﹣a）是負(fù)數(shù)，從而得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：6﹣a＜0，
∴a＞6，
故答案為：a＞6．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，掌握①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變是解題的關(guān)鍵．
【變式9-2】（2022?天門校級自主招生）已知正數(shù)a、b、c滿足a2+c2＝16，b2+c2＝25，則k＝a2+b2的取值范圍為 9＜k＜41 ．
【分析】根據(jù)已知條件先將原式化成a2+b2的形式，最后根據(jù)化簡結(jié)果即可求得k的取值范圍．
【詳解】解：∵正數(shù)a、b、c滿足a2+c2＝16，b2+c2＝25，
∴c2＝16﹣a2，a2＞0所以0＜c2＜16
同理：
有c2＝25﹣b2得到0＜c2＜25，所以0＜c2＜16
兩式相加：a2+b2+2c2＝41
即a2+b2＝41﹣2c2
又∵﹣16＜﹣c2＜0
即﹣32＜﹣2c2＜0
∴9＜41﹣2c2＜41
即9＜k＜41．
【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是熟知不等式的基本性質(zhì)：
基本性質(zhì)1：不等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)數(shù)或式子，不等號方向不變；
基本性質(zhì)2：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)大于0的數(shù)或式子，不等號方向不變；
基本性質(zhì)3：不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)小于0的數(shù)或式子，不等號方向改變
【變式9-3】（2022春?朝陽區(qū)校級期中）已知a，b，c為整數(shù)，且a+b＝2006，c﹣a＝2005，若a＜b，求a+b+c的最大值．
【分析】由c﹣a＝2005得c＝a+2005，與a+b＝2006相加得a+b+c＝a+4011，由a+b＝2006及a＜b，a為整數(shù)，可得a的最大值為1002，從而得出a+b+c的最大值．
【詳解】解：由a+b＝2006，c﹣a＝2005，得a+b+c＝a+4011，
∵a+b＝2006，a＜b，a為整數(shù)，
∴a的最大值為1002，
∴a+b+c的最大值為a+b+c＝a+4011＝5013．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，關(guān)鍵是由已知等式得出a+b+c的表達(dá)式，再求最大值．
【題型10 不等關(guān)系的簡單應(yīng)用】
【例10】（2022春?饒平縣校級期末）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，如果把這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位與十位上的數(shù)字對調(diào)，得到的兩位數(shù)大于原來的兩位數(shù)，那么a與b哪個(gè)大？
【分析】根據(jù)題意得到不等式10b+a＜10a+b，通過解該不等式即可比較它們的大?。?br>【詳解】解：根據(jù)題意，得
10b+a＜10a+b，
所以，9b＜9a，
所以，b＜a，即a＞b．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：
（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號的方向不變．
（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變．
（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．
【變式10-1】（2022春?鞏義市期末）如圖所示，A，B，C，D四人在公園玩蹺蹺板，根據(jù)圖中的情況，這四人體重從小到大排列的順序?yàn)椋? ）
A．D＜B＜A＜CB．B＜D＜C＜AC．B＜A＜D＜CD．B＜C＜D＜A
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：由題意得：
D＞A①，
A+C＞B+D②，
B+C＝A+D③，
由③得：
C＝A+D﹣B④，
把④代入②得：
A+A+D﹣B＞B+D，
2A＞2B，
∴A＞B，
∴A﹣B＞0，
由③得：
A﹣B＝C﹣D，
∵D﹣A＞0，
∴C﹣D＞0，
∴C＞D，
∴C＞D＞A＞B，
即B＜A＜D＜C，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式10-2】（2022春?蘭山區(qū)期末）根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＝0，則a＝b；若a﹣b＜0，則a＜b．反之也成立．這種方法就是求差法比較大?。堖\(yùn)用這種方法解決下面這個(gè)問題：制作某產(chǎn)品有兩種用料方案，方案一：用4塊A型鋼板，8塊B型鋼板；方案二：用3塊A型鋼板，9塊B型鋼板．每塊A型鋼板的面積比每塊B型鋼板的面積?。桨敢豢偯娣e記為S1，方案二總面積記為S2，則S1 ＜ S2（填“＞，＜或＝”）．
【分析】設(shè)每塊A型鋼板的面積為x，每塊B型鋼板的面積為y，方案一：用4塊A型鋼板，用8塊B型鋼板，用式子表示為：s1＝4x+8y；方案二：用3塊A型鋼板，用9塊B型鋼板，用式子表示為：s2＝3x+9y，用s1減去s2，結(jié)果與0比較即可；
【詳解】解：設(shè)每塊A型鋼板的面積為x，每塊B型鋼板的面積為y，
方案一：用4塊A型鋼板，用8塊B型鋼板，用式子表示為：s1＝4x+8y；
方案二：用3塊A型鋼板，用9塊B型鋼板，用式子表示為：s2＝3x+9y，
∵s1﹣s2
＝4x+8y﹣3x﹣9y
＝x﹣y，
∵x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴s1＜s2．
故答案為：＜．
【點(diǎn)睛】本題考查了探索了比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小時(shí)常采用的“求差法”，讀懂方法，計(jì)算化簡即可．本題難度中等略大．
【變式10-3】（2022?蘇州自主招生）5名學(xué)生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設(shè)前三名的平均身高為a米，后兩名的平均身高為b米．又前兩名的平均身高為c米，后三名的平均身高為d米，則（）
A．a(chǎn)+b2＞c+d2B．c+d2＞a+b2C．c+d2=a+b2D．以上都不對
【分析】根據(jù)已知得出3a+2b＝2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，兩邊都除以2即可得出答案．
【詳解】解：∵3a+2b＝2c+3d，
∵a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴a+b2＜c+d2，
即c+d2＞a+b2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形．

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