專題10.6 二元一次方程組全章十類必考壓軸題-最新蘇教版七年級下冊數(shù)學(xué)精講精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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專題10.6 二元一次方程組全章十類必考壓軸題
【蘇科版】
必考點(diǎn)1
由方程組的錯解問題求參數(shù)的值
1．（2022秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人同解方程組ax+by=2,①cx?3y=4．②，甲因看錯c的值解得方程組解為x=1y=1，乙求得正確的解為x=2y=?2，求a，b，c的值．
【答案】a=1.5b=0.5c=?1．
【分析】根據(jù)x=1y=1是方程①的解，代入可得關(guān)于a、b的方程，根據(jù)x=2y=?2是方程組的解，把解代入ax+by=2,①cx?3y=4．②，可得方程組a+b=2 ①2a?2b=2 ②2c+6=4 ③，解方程組，可得答案．
【詳解】解：把x=1y=1代入方程①，把x=2y=?2代入方程組，得
a+b=2 ①2a?2b=2 ②2c+6=4 ③，
①×2得2a+2b=4 ④
④+②得4a=6，
a=1.5.把a(bǔ)=1.5代入①1得1.5+b=2，
b=0.5，
解③得c=?1，
故答案為：a=1.5b=0.5c=?1．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，把解代入，得出關(guān)于a、b、c的方程組，代入消元法，得出答案．
2．（2022春·浙江寧波·七年級校考期中）甲、乙兩人共同解方程組ax?by=?112①ax+by=5②，由于甲看錯了方程①中的a，得到方程組的解為x=2y=3，乙看錯了方程②中的b，得到方程組的解為x=3y=2，試求出a，b的正確值，并計(jì)算a2021?b2020的值．
【答案】a=?12b=2；?12
【分析】把x=2y=3代入②中，把x=3y=2代入①中，聯(lián)立方程求解可得到a，b的值，再代入所求的式子運(yùn)算即可．
【詳解】根據(jù)題意得：2a+3b=53a?2b=?112，
解得：a=?12b=2，
∴a2021?b2020，
=a?a2020?b2020，
=a?(ab)2020，
=?12×(?12×2)2020，
=?12
【點(diǎn)睛】本題主要考查積的乘方，解二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是對相應(yīng)知識的掌握與運(yùn)用．
3．（2022春·河南安陽·七年級統(tǒng)考期中）在解二元一次方程組ax+by=17cx?y=5時，甲同學(xué)因看錯了b的符號，從而求得解為x=4y=3，乙同學(xué)因看錯了c，從而求得解為x=3y=2，求a+b+c的值．
【答案】8
【分析】根據(jù)方程組解的定義得出關(guān)于a，b，c的方程，求出a，b，c的值即可解決問題．
【詳解】解：∵甲同學(xué)因看錯了b的符號，從而求得解為x=4y=3，
∴4a?3b=17①4c?3=5②，
由②得：c＝2，
∵乙同學(xué)看錯了c，求得解為x=3y=2，
∴3a+2b=17③，
①×2＋②×3得：17a＝85，
解得：a＝5，
把a(bǔ)＝5代入①得：20－3b＝17，
解得：b＝1，
∴a+b+c=5+1+2=8．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程解的定義，解二元一次方程組，將甲、乙二人的解正確代入方程得到關(guān)于a、b、c的方程是求解本題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·重慶·八年級重慶一中?？计谥校┘?、乙兩同學(xué)同時解方程組mx?3y=12①6x+ny=?5②，甲看錯了方程①中的m，得到的方程組的解為x=?2y=1，乙看錯了方程②中的?5，得到的方程組的解為x=4y=43，求原方程組的正確解．
【答案】x=32y=?2
【分析】把x=?2y=1代入方程組第二個方程求出n的值，把x=4y=43代入第一個方程求出m的值，確定出原方程組，再求解即可．
【詳解】解：mx?3y=12①6x+ny=?5②
把x=?2y=1代②得：-12+n=-5，即n=7；
把x=4y=43代入①得：4m-4=12，即m=4，
故方程組為4x?3y=12③6x+7y=?5④，
③×3-②×2得：-23y=46，即y=-2，
把y=-2代入③得：x=32．
則方程組的解為x=32y=?2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的解，解答此題關(guān)鍵是將每一個解代入沒有看錯的方程中，分別求m、n的值，再解方程組即可．
5．（2022春·江蘇常州·七年級?？计谥校┘?、乙兩人解方程組4x?by=?1ax+by=5,甲因看錯a,解得x=2y=3,乙將其中一個方程的b寫成了它的相反數(shù),解得x=?1y=?2,求a、b的值.
【答案】a=-2,b=3.
【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義，將x=2，y=3分別代入4x-by=-1，可以求出b的值，再將x=-1，y=-2代入求出a的值，據(jù)此即可得解．
【詳解】解：由于甲看錯了方程組4x?by=?1①ax+by=5②中②的a,得到的解為x=2y=3
將這組解代入①,可得4×2-3b=-1，
解得：b=3，
又因?yàn)橐覍⑵渲幸粋€方程的b寫成了它的相反數(shù)，
即方程組變?yōu)?x?by=?1①ax?by=5②或4x+by=?1①ax+by=5②
所以①-②消去b和y，得4x-ax=-6，
把乙解得的結(jié)果x=?1y=?2代入，
可得-4+a=-6，
求解可得a=-2，
即a=-2，b=3.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解的定義及解一元一次方程，理解題意是解題的關(guān)鍵.
必考點(diǎn)2
根據(jù)方程組解的個數(shù)求參數(shù)或參數(shù)取值范圍
1．（2022春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+5y=63x+ky=10給出下列結(jié)論：當(dāng)k=5時，此方程組無解；若此方程組的解也是方程6x+15y=16的解，則k=10；無論整數(shù)k取何值，此方程組一定無整數(shù)解（x、y均為整數(shù)），其中正確的個數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①將k=5代入，得到方程組3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判斷；②解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=45代入6x+15y=16，即可做出判斷；③解方程組3x+5y=63x+ky=10得：x=2?203k?15y=4k?5，根據(jù)k為整數(shù)即可作出判斷．
【詳解】解：∵當(dāng)k=5時，方程組為3x+5y=63x+5y=10，此時方程組無解；故①正確；
∵解方程組3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，
把x=23，y=45代入6x+15y=16，方程左右兩邊相等，故②正確；
∵解方程組3x+5y=63x+ky=10得：x=2?203k?15y=4k?5，
又∵k為整數(shù)，若y是整數(shù)，則k?5=4，?4，2，?2，1，?1此時x不是整數(shù)，
∴x、y不能均為整數(shù)，故③正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．
2．（2022春·浙江寧波·七年級?？计谥校┤絷P(guān)于x，y的方程組x?y=2mx+y=6有非負(fù)整數(shù)解，則正整數(shù)m為（）．
A．0，1B．1，3，7C．0，1，3D．1，3
【答案】D
【分析】根據(jù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，利用加減消元法求出方程組的解，再根據(jù)解為非負(fù)整數(shù)列出不等式組求出m的取值范圍，然后寫出符合條件的正整數(shù)即可．
【詳解】x?y=2①mx+y=6②
①+②得，(m+1)x=8，
解得：x=8m+1，
將x=8m+1代入①得，8m+1?y=2，
解得：y=6?2mm+1，
∵方程組得解為非負(fù)整數(shù)，
∴8m+1＞0①6?2mm+1≥0②，
解不等式①得：m＞?1，
解不等式②得：m≤3，
∴?1＜m≤3，
∵x，y是整數(shù)，
∴m+1是8的因數(shù)，
∴正整數(shù)m是1，3
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解，解一元一次不等式，根據(jù)非負(fù)整數(shù)解列出不等式組求出m的取值范圍是解題的關(guān)鍵，要注意整數(shù)的限制條件．
3．（2022秋·廣東江門·八年級新會陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┓匠蘺=2x+ky=(k2?7)x+3無解，則實(shí)數(shù)k的值為__________．
【答案】?3
【分析】利用消元法可得(k2?7)x+3=2x+k，再根據(jù)方程無解進(jìn)行分析即可得．
【詳解】解：y=2x+k①y=(k2?7)x+3②，
將②代入①得：(k2?7)x+3=2x+k，
解得(k2?9)x=k?3，
∵方程y=2x+ky=(k2?7)x+3無解，
∴k2?9=0，
利用平方根解得k=±3，
當(dāng)k=3時，方程為y=2x+3，有無數(shù)組解，不符題意，舍去；
當(dāng)k=?3時，可知方程(k2?9)x=k?3無解，符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)k的值為?3，
故答案為：?3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組無解、利用平方根解方程等知識點(diǎn)，熟練掌握消元法是解題關(guān)鍵．
4．（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x、y的方程組2x?y=?1x+2y=5a?8的解都為非負(fù)數(shù)．
(1)用含有字母a的代數(shù)式表示x和y；
(2)求a的取值范圍；
(3)已知2a?b=1，求a+b的取值范圍．
【答案】(1)x=a?2，y=2a?3
(2)a≥2
(3)a+b≥5
【分析】（1）將a當(dāng)做已知，解方程組即可；
（2）根據(jù)解為非負(fù)數(shù)得到關(guān)于a的不等式組，求解即可；
（3）由2a?b=1可得a=1+b2，結(jié)合a≥2解出b的取值范圍，即可求解．
【詳解】（1）解：2x?y=?1①x+2y=5a?8②
①?2×②可得：?5y=?1?10a+16，解得：y=2a?3
將y=2a?3代入①中可得：2x?2a?3=?1，
解得：x=a?2
∴x=a?2，y=2a?3
（2）因?yàn)殛P(guān)于x、y的方程組2x?y=?1x+2y=5a?8的解都為非負(fù)數(shù)，
可得：a?2≥02a?3≥0，
解得：a≥2；
（3）由2a?b=1，可得：a=1+b2a≥2，
可得：1+b2≥2，
解得：b≥3，
∵a≥2，
∴a+b≥5．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組和不等式組，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2022春·七年級課時練習(xí)）當(dāng)m，n為何值時，方程組{x+3y=52x+my=n
（1）有唯一解；
（2）有無數(shù)多個解：
（3）無解
【答案】（1）m≠6；（2）m=6,n=10；（3）m=6,n≠10
【分析】先把①變形得到x=5?3y，代入②使方程變?yōu)橹缓瑈的一元一次方程，根據(jù)y的系數(shù)討論方程組（1）有唯一一組解；（2）有無窮多組解；（3）無解時m，n的取值即可．
【詳解】解：解方程組{x+3y=5①2x+my=n②
由①變形得到x=5?3y代入②得到2(5?3y)+my=n，
∴(m?6)y=n?10，
（1）當(dāng)（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解y=n?10m?6
將此y的值代入x=5?3y中，
得：x＝5m+3n?60m?6，因而原方程組有唯一一組解；
（2）當(dāng)(m?6)＝0且n?10＝0時，即m=6,n=10時，方程有無窮多個解，因此原方程組有無窮多組解；
（3）當(dāng)(m?6)＝0且n?10≠0時，即m=6,n≠10時，方程無解，因此原方程組無解．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時可用代入法，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時用加減消元法較簡單．
必考點(diǎn)3
構(gòu)造二元一次方程組求解
1．（2022春·浙江·七年級期末）對于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算x?y=ax+by+1，其中a，b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運(yùn)算，若3?5=15，4?7=28，則5?9=（）
A．40B．41C．45D．46
【答案】B
【分析】根據(jù)定義新運(yùn)算列出二元一次方程組即可求出a和b的值，再根據(jù)定義新運(yùn)算公式求值即可．
【詳解】解：∵x?y=ax+by+1，3?5=15，4?7=28，
∴15=3a+5b+128=4a+7b+1
解得：a=?37b=25
∴5?9= ?37×5+25×9+1=41
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查的是定義新運(yùn)算和解二元一次方程組，掌握定義新運(yùn)算公式和二元一次方程組的解法是解決此題的關(guān)鍵．
2．（2022春·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期中）在信息加密傳輸中，發(fā)送方將明文加密成密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，若某種加密規(guī)則為：明文m、n對應(yīng)的密文為m?3n，2m+3n．例如：明文1、2對應(yīng)的密文是?5、8．當(dāng)接收方收到密文是6、3，則解密后得到的明文是_____________．
【答案】3，－1
【分析】明文m、n對應(yīng)的密文為m-3n，2m+3n，當(dāng)接收方收到密文是6、3時，實(shí)際就是轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解問題．
【詳解】解：由題意，可得m?3n=62m+3n=3，
解得：m=3n=?1，
故答案為：3，-1．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解題意知道傳送密碼和接收密碼的關(guān)系列出二元一次方程組求解．
3．（2022春·浙江·七年級期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程m+1x+2m﹣1y+2﹣m=0，無論實(shí)數(shù)m取何值，此二元一次方程都有一個相同的解，則這個相同的解是______．
【答案】x=?1y=1
【分析】將方程整理成關(guān)于m的一元一次方程，若無論實(shí)數(shù)m取何值，此二元一次方程都有一個相同的解，則與m無關(guān)，從而令m的系數(shù)為0，從而得關(guān)于x和y的二元一次方程組，求解即可．
【詳解】將（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，
因?yàn)闊o論實(shí)數(shù)m取何值，此二元一次方程都有一個相同的解，
所以x+2y?1=0x?y+2=0，
解得：x=?1y=1．
故答案為：x=?1y=1．
【點(diǎn)睛】考查了含參數(shù)的二元一次方程有相同解問題，解題關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想．
4．（2022春·福建龍巖·七年級?？计谥校o論k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，則x，y要滿足的條件是__________．
【答案】x=?4y=3
【分析】將等式移項(xiàng)，然后根據(jù)等式恒成立得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．
【詳解】解：∵2x+3y?1?2k?4y+x+16=0，
∴2x+3y?1=2k?4y+x+16，
∵無論k取何值，等式2x+3y?1?2k?4y+x+16=0恒成立，
∴2x+3y?1=0?4y+x+16=0，
解得：x=?4y=3，
故答案為：x=?4y=3．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于x，y的二元一次方程組是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·重慶榮昌·八年級校考期中）若一個四位正整數(shù)abcd滿足：a+c=b+d，我們就稱該數(shù)是“交替數(shù)”，如對于四位數(shù)3674，∵3+7=6+4，∴3674是“交替數(shù)”，對于四位數(shù)2353，∵2+5≠3+3，∴2353不是“交替數(shù)”．
（1）最小的“交替數(shù)”是________，最大的“交替數(shù)”是__________．
（2）判斷2376是否是“交替數(shù)”，并說明理由；
（3）若一個“交替數(shù)”滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是12，且十位數(shù)字與個位數(shù)的和能被6整除．請求出所有滿足條件的“交替數(shù)”．
【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由見解析；（3）滿足條件的“交替數(shù)”是4224或4257．
【分析】（1）根據(jù)新定義，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)新定義，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意知a+ba?b=12×1=6×2=4×3，求得a和b的值，再根據(jù)題意c+d是6的倍數(shù)，結(jié)合a+c=b+d，取舍即可求得所有滿足條件的“交替數(shù)”．
【詳解】（1）根據(jù)題意：一個四位正整數(shù)abcd滿足：a+c=b+d，我們就稱該數(shù)是“交替數(shù)”，
最小的正整數(shù)是1，最大的正整數(shù)是9，
∵1+0=0+1，9+9=9+9，
∴最小的“交替數(shù)”是1001，最大的“交替數(shù)”是9999，
故答案為：1111，9999；
（2）是，理由如下：
∵2+7=3+6，
∴2376是“交替數(shù)”；
（3）設(shè)這個“交替數(shù)”為abcd，k為正整數(shù)，
依題意得：a2?b2=12，c+d=6k，且a+c=b+d，
由a2?b2=12，知a+ba?b=12×1=6×2=4×3，且1≤a≤9，1≤b≤9，
即a+b=12a?b=1或a+b=6a?b=2或a+b=4a?b=3，
解得：a=132b=112(舍去)，或a=4b=2或a=72b=12(舍去)，
∵1≤c≤9，1≤d≤9，2≤c+d=6k≤18，
∴k取1或2或3，
當(dāng)k取1時，即c+d=6，a=4，b=2，
∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c?d=?2，
∴c+d=6c?d=?2，
解得：c=2d=4，
∴“交替數(shù)”是4224；
當(dāng)k取2時，即c+d=12，a=4，b=2，
∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c?d=?2，
∴c+d=12c?d=?2，
解得：c=5d=7，
∴“交替數(shù)”是4257；
當(dāng)k取3時，即c+d=18，a=4，b=2，
∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c?d=?2，
∴c+d=18c?d=?2，
解得：c=8d=10(不合題意，舍去)；
綜上，滿足條件的“交替數(shù)”是4224或4257．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義，倍數(shù)問題，二元一次方程的整數(shù)解的求解，平方差公式的應(yīng)用，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．
必考點(diǎn)4
整體思想解二元一次方程組
1．（2022春·江蘇南通·七年級?？计谥校┮阎P(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的唯一解是x=4y=1，則關(guān)于m，n的方程組a1(2m?4)+b1n=c1+b1a2(2m?4)+b2n=c2+b2的解是（）
A．m=3n=2B．m=3n=4C．m=4n=2D．m=4n=3
【答案】C
【分析】先將關(guān)于m,n的方程組變形為a12m?4+b1n?1=c1a22m?4+b2n?1=c2，再根據(jù)關(guān)于x,y的方程組的解可得2m?4=4n?1=1，由此即可得出答案．
【詳解】解：關(guān)于m,n的方程組可變形為a12m?4+b1n?1=c1a22m?4+b2n?1=c2，
由題意得：2m?4=4n?1=1，
解得m=4n=2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二元一次方程組的解，正確發(fā)現(xiàn)兩個方程組之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．
2．（2022春·浙江杭州·七年級校考期中）已知x+2y=?4m2x+y=2m+1，若x?y=7，則m的值為（）．
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】A
【分析】解法一：先將m當(dāng)作已知數(shù)，求解二元一次方程組，然后利用x?y=7求出m的值即可；
解法二：用②-①可得x?y=6m?1，然后利用x?y=7求出m的值即可．
【詳解】解：x+2y=?4m①2x+y=2m+1②
解法一：由①×2?②，得3y=?10m?1，
解得y=?10m?13，
把y=?10m?13代入①得x=8m+23，
∵x?y=7，
∴8m+23??10m?13=7，
所以m=1，
解法二：②?①，得
x?y=6m+1，
∵x?y=7，
∴6m+1=7，
∴m=1．
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江杭州·七年級期中）已知方程組a1x+y=c1a2x+y=c2解為x=5y=10，則關(guān)于x，y的方程組3a1x+2y=a1+c13a2x+2y=a2+c2的解是_______．
【答案】x＝2y＝5
【分析】根據(jù)方程組解的定義，把x＝5，y＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的關(guān)系，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵方程組a1x+y=c1a2x+y=c2
∵解為：x＝5，y＝10，
∴5a1+10=c15a2+10=c2，
∴5a1?a2=c1?c2
∵3a1x+2y=a1+c13a2x+2y=a2+c2，
∴3a1x+2y=6a1+10①3a2x+2y=6a2+10②，
①?②，得3a1x?3a2x＝6a1?6a2，
∴x＝2，
把x＝2代入①得，y＝5，
∴方程組3a1x+2y=a1+c13a2x+2y=a2+c2的解是x=2y=5，
故答案為：x=2y=5．
【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，掌握方程組的解法是解題的關(guān)鍵．
4．（2022春·山東德州·七年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x、y的方程組{mx+ny=72mx?3ny=4的解為{x=1y=2，則3m?4n=________．
【答案】11
【分析】將x=1，y=2代入方程組，可得關(guān)于m與n的方程組，相加即可得到答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x，y的方程組{mx+ny=72mx?3ny=4的解為{x=1y=2，
∴{m+2n=7①2m?6n=4②，
①+②得：3m-4n=11，
故答案為：11．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解，代數(shù)式求值，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值，用特殊方法解方程組求代數(shù)式求值．
5．（2022春·重慶璧山·七年級校聯(lián)考期中）閱讀材料：善于思考的李同學(xué)在解方程組3m+5?2n+3=?13m+5+2n+3=7時，采用了一種“整體換元”的解法．
解：把m+5，n+3成一個整體，設(shè)m+5=x，n+3=y，原方程組可化為3x?2y=?13x+2y=7
解得：x=1y=2．∴m+5=1n+3=2，∴原方程組的解為m=?4n=?1．
(1)若方程組2x?3y=45x?3y=1的解是x=?1y=?2，則方程組2a+b?3a?b=45a+b?3a?b=1的解是__________．
(2)仿照李同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組3x+y?4x?y=4x+y2+x?y6=1．
【答案】(1)a=?32b=12
(2)x=1715y=115
【分析】（1）根據(jù)題意所給材料可得出a+b=?1a?b=?2，再解出這個方程組即可．
（2）根據(jù)題意所給材料可令m=x+y，n=x-y，則原方程組可化為3m?4n=4m2+n6=1，解出m，n，代入m=x+y，n=x-y，再解出關(guān)于x，y的方程組即可．
解得：m=2815n=25，∴x+y=2815x?y=25，解這個二元一次方程組即可．
【詳解】（1）∵方程組2x?3y=45x?3y=1的解是x=?1y=?2，
∴a+b=?1a?b=?2，
解得：a=?32b=12 ；
（2）對于3x+y?4x?y=4x+y2+x?y6=1，令m=x+y，n=x-y，
則原方程組可化為3m?4n=4m2+n6=1，
解得：m=2815n=25，
∴x+y=2815x?y=25，
解得：x=1715y=1115．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的特殊解法—“整體換元法”．讀懂題干，理解題意，掌握“整體換元法”的步驟是解題關(guān)鍵．
6．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·七年級景德鎮(zhèn)一中校考期中）解方程組：
（1）43x?2y+32x?5y=1053x?2y?22x?5y=1；
（2）3x+my=5x+2y=n；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6x1+2x2+x3+x4+x5=12x1+x2+2x3+x4+x5=24x1+x2+x3+2x4+x5=48x1+x2+x3+x4+2x5=96，求2x4+3x5的值.
【答案】（1）x=411y=122；（2）當(dāng)m≠6時，x=mn?10m?6y=5?3nm?6；（3）229．
【分析】（1）設(shè)13x?2y=a，12x?5y=b，方程組變形為關(guān)于a與b的方程組，求出解得到a與b的值，即可求出x與y的值；
（2）利用加減消元法求解即可；
（3）先求出x1+x2+x3+x4+x5=31，再利用加減消元法可分別求出x4=17，x5=65，代入計(jì)算后即可求得代數(shù)式的值．
【詳解】解：（1）43x?2y+32x?5y=1053x?2y?22x?5y=1，
解：設(shè)13x?2y=a，12x?5y=b，則原方程組可化為4a+3b=10①5a?2b=1②，
①×2+②×3得：23a=23，則a=1，
把a(bǔ)=1代入①得：b=2，
則3x?2y=12x?5y=12，即3x?2y=1①4x?10y=1②，
①×5-②得：11x=4，即x=411，
把x=411代入①得：y=122，
經(jīng)檢驗(yàn)，方程組的解為x=411y=122；
（2）3x+my=5①x+2y=n②，
①－②×3，得(m?6)y=5?3n，
當(dāng)m≠6時，y=5?3nm?6，
將y=5?3nm?6代入②，得x+2×5?3nm?6=n，
解得x=mn?10m?6，
∴當(dāng)m≠6時，原方程組的解為x=mn?10m?6y=5?3nm?6；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6①x1+2x2+x3+x4+x5=12②x1+x2+2x3+x4+x5=24③x1+x2+x3+2x4+x5=48④x1+x2+x3+x4+2x5=96⑤，
①+②+③+④+⑤，得6x1+6x2+6x3+6x4+6x5=186，
則x1+x2+x3+x4+x5=31，⑥
④-⑥，得x4=17，
⑤-⑥，得x5=65，
∴2x4+3x5=2×17+3×65=229．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解二元一次方程組，利用了換元的思想，熟練加減消元法與代入消元法是解本題的關(guān)鍵．
必考點(diǎn)5
二元一次方程組之行程問題
1．（2022秋·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期末）某景區(qū)游船碼頭派車原定于8點(diǎn)整準(zhǔn)時到達(dá)景區(qū)入口接工作人員，由于汽車在路上因故障導(dǎo)致8:10時車還未到達(dá)景區(qū)入口，于是工作人員步行前往碼頭.走了一段時間后遇到了前來接他的汽車，他上車后汽車立即掉頭繼續(xù)前進(jìn).到達(dá)碼頭時已經(jīng)比原計(jì)劃遲到了20min.已知汽車的速度是工作人員步行速度的6倍，則汽車在路上因故障耽誤的時間為____min.
【答案】24.
【分析】正常8：00到景區(qū)，出故障后，耽誤t分鐘，8點(diǎn)t分到景區(qū)，他在景區(qū)等了10分鐘，車沒來，就走了a分鐘，在8點(diǎn)（10+a）分時遇到了車，他走a分鐘的路程，車走a6分鐘就走完，也就是在8點(diǎn)（t-a6）時遇到了車，得出關(guān)系式10+a=t-a6；
正常時從景區(qū)到碼頭用b分鐘，在他遇到車的地點(diǎn)到景區(qū)要（b-a6）分鐘，也就是8點(diǎn)（t-a6+b-a6）分鐘到景區(qū)，已知他是8點(diǎn)（b+20）分到的，得出關(guān)系式t-a6+b-a6=b+20；聯(lián)立方程組求解.
【詳解】正常8：00準(zhǔn)時到達(dá)景區(qū)入口，汽車在路上因故障，耽誤t分鐘，8點(diǎn)t分到達(dá)景區(qū)入口，
工作人員步行前往碼頭.走了10分鐘，車沒來，就走了a分鐘，在8點(diǎn)（10+a）分時遇到了車；工作人員走a分鐘的路程，車走a6分鐘就走完，也就是在8點(diǎn)（t-a6）時遇到了車，有10+a=t-a6，
t=10+7a6，-----①
正常時從景區(qū)到碼頭用b分鐘，
在他遇到車的地點(diǎn)到景區(qū)要（b-a6）分鐘，
也就是8點(diǎn)（t-a6+b-a6）分鐘到景區(qū)，
已知他是8點(diǎn)（b+20）分到的，
所以有t-a6+b-a6=b+20，
t-a3=20，----②
由①②解得：a=12，t=24.
則汽車在路上因故障耽誤的時間為24min.
故答案為24.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，依據(jù)題意得出汽車晚到景區(qū)的時間具體原因以及汽車所晚的20分鐘具體原因得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
2．（2022秋·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）甲從A地出發(fā)步行到B地，乙同時從B地步行出發(fā)至A地，2小時后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時．若設(shè)甲剛出發(fā)時的速度為a千米/小時，乙剛出發(fā)的速度為b千米/小時．
（1）A、B兩地的距離可以表示為千米（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）甲從A到B所用的時間是：小時（用含a，b的代數(shù)式表示）；
乙從B到A所用的時間是：小時（用含a，b的代數(shù)式表示）．
（3）若當(dāng)甲到達(dá)B地后立刻按原路向A返行，當(dāng)乙到達(dá)A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小時36分鐘又再次相遇，請問AB兩地的距離為多少？
【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2ab+1）；（3）36.
【分析】（1）根據(jù)兩地間的距離=兩人的速度之和×第一次相遇所需時間，即可得出結(jié)論；
（2）利用時間=路程÷速度結(jié)合2小時后第一次相遇，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)AB兩地的距離為S千米，根據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于（a+b），S的二元一次方程組（此處將a+b當(dāng)成一個整體），解之即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）A、B兩地的距離可以表示為2（a+b）千米．
故答案為：2（a+b）．
（2）甲乙相遇時，甲已經(jīng)走了2a千米，乙已經(jīng)走了2b千米，
根據(jù)相遇后他們的速度都提高了1千米/小時，得甲還需2ba+1小時到達(dá)B地，乙還需2ab+1小時到達(dá)A地，
所以甲從A到B所用的時間為（2+2ba+1 ）小時，乙從B到A所用的時間為（2+2ab+1）小時．
故答案為：（2+2ba+1）；（2+2ab+1）．
（3）設(shè)AB兩地的距離為S千米，3小時36分鐘＝185小時．
依題意，得： S=2(a+b)2S=185(a+1+b+1)，
令x＝a+b，則原方程變形為S=2x2S=185(x+2)，
解得：x=18S=36．
答：AB兩地的距離為36千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式以及二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
3．（2022春·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中國海監(jiān)船46，49在距離釣魚島220海里處，已知兩船的航速如下表所示：
其中，一節(jié)等于1海里/時，如果海監(jiān)46先以經(jīng)濟(jì)航速行駛?cè)舾尚r后以最大航速沿圖中箭頭方向航線行駛至釣魚島，共行駛時間15小時，海監(jiān)49比海監(jiān)46遲出發(fā)半小時，以最大航速沿同一路線駛向釣魚島．問：
(1)兩船誰先到達(dá)釣魚島？說明理由；
(2)海監(jiān)46經(jīng)濟(jì)航行和最大航速航行各多少小時？
(3)設(shè)海監(jiān)46航行時間為t，求兩海監(jiān)船之間的距離S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)海監(jiān)49先到，見解析
(2)海監(jiān)46經(jīng)濟(jì)航速航行和最大航速航行時間分別是10小時和5小時
(3)S=14t0≤t≤0.57.6?1.2t0.5

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