1、注重生活聯(lián)系，形式活潑多樣。初中生的數(shù)學(xué)思維能力正逐步由直觀形象思維向抽象思維發(fā)展。這個(gè)發(fā)展需要一定的過(guò)程。
2、注重動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，自主探索與合作交流也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。
3、注重“過(guò)程”和數(shù)學(xué)思想方法。新教材通過(guò)讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程更多地成為其發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。
專題4.1 從問(wèn)題到方程【十大題型】
【蘇科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17147" 【題型1 方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc17147 \h 1
\l "_Tc21728" 【題型2 列方程】 PAGEREF _Tc21728 \h 3
\l "_Tc4361" 【題型3 一元一次方程的概念辨析】 PAGEREF _Tc4361 \h 5
\l "_Tc2293" 【題型4 根據(jù)方程的解求值】 PAGEREF _Tc2293 \h 7
\l "_Tc22054" 【題型5 利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】 PAGEREF _Tc22054 \h 8
\l "_Tc24866" 【題型6 利用等式的性質(zhì)解方程】 PAGEREF _Tc24866 \h 10
\l "_Tc29745" 【題型7 利用等式的性質(zhì)比較大小】 PAGEREF _Tc29745 \h 13
\l "_Tc15340" 【題型9 利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】 PAGEREF _Tc15340 \h 17
\l "_Tc19250" 【題型10 方程的解的規(guī)律問(wèn)題】 PAGEREF _Tc19250 \h 19
【知識(shí)點(diǎn)1 方程的定義】
方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個(gè)要點(diǎn)①等式；②含有未知數(shù)．
【題型1 方程的概念辨析】
【例1】（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)衡陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┫铝懈魇街校孩?x?1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2?5x?1，是方程的是（ ）
A．①④B．①②⑤C．①④⑤D．①②④⑤
【變式1-1】（2023秋·湖南常德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）宋元時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了“天元術(shù)”，用“天元”表示未知數(shù)，解題先要“立天元為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”．“天元術(shù)”是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)杰出創(chuàng)造，它指的是我們所學(xué)的（ ）
A．絕對(duì)值B．有理數(shù)C．代數(shù)式D．方程
【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級(jí)校考期中）下列各式中不是方程的是（ ）
A．2x+3y=1B．3π+4≠5
C．﹣x+y=4D．x=8
【變式1-3】（2023秋·江西贛州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于等式：x?1+2=3，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．不是方程B．是方程，其解只有2
C．是方程，其解只有0D．是方程，其解有0和2
【題型2 列方程】
【例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七年級(jí)學(xué)生人數(shù)為x，其中男生占52%，女生有150人，下列正確的是（ ）
A．1?52%x=150B．x=150?52%x
C．(1+52%)x=150D．(1?52%)x=150
【變式2-1】（2023秋·山西陽(yáng)泉·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)下面所給條件，能列出方程的是（ ）
A．一個(gè)數(shù)的13是6B．x與1的差的14
C．甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的13D．a(chǎn)與b的和的60%
【變式2-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）列等式表示“比a的3倍大5的數(shù)等于a的4倍”為 ．
【變式2-3】（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期末）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（ ）
A．π×(82)2x=π×(62)2×(x+5)B．π×(82)2x=π×(62)2×(x?5)
C．π×82x=π×62×(x+5)D．π×82x=π×62×5
【知識(shí)點(diǎn)2 一元一次方程的定義】
只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個(gè)未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．
【題型3 一元一次方程的概念辨析】
【例3】（2023春·福建泉州·七年級(jí)?？计谥校┰诜匠?x?y=6，x+1x?3=0，12x=12，x2?2x?3=0中一元一次方程的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式3-1】（2023春·上?！ち昙?jí)校考期中）方程4?3x2=1中，一次項(xiàng)是 ．
【變式3-2】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式中：2x?1=0，3x=?2；10x2?7x+2；5+(?3)=2；x?5y=1；x2?2x=1；ax+1=0（a≠0且a為常數(shù)），若方程個(gè)數(shù)記為m，一元一次方程個(gè)數(shù)記為n，則m?n= ．
【變式3-3】（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程□?x=1是一元一次方程，則□不可以是（ ）
A．0B．14xC．yD．?7
【知識(shí)點(diǎn)3 方程的解】
解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．
【題型4 根據(jù)方程的解求值】
【例4】（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程2ax+b=12的解為x=1，則6a+3b= ．
【變式4-1】（2023秋·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若x=4是方程mx?3=5的解，則m= ．
【變式4-2】（2023秋·云南紅河·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小剛同學(xué)在做作業(yè)時(shí)，不小心將方程3x?3?■=x+1中的一個(gè)常數(shù)涂黑了，在詢問(wèn)老師后，老師告訴她方程的解是x=7，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)被涂黑的常數(shù)■是（ ）
A．6B．5C．4D．1
【變式4-3】（2023秋·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的一元一次方程12023x?1=b的解為x=3，則關(guān)于x的一元一次方程12023x+1?1=b的解x= ．
【知識(shí)點(diǎn)4 等式的性質(zhì)】
性質(zhì)1：等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；
性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．
【題型5 利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】
【例5】（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列利用等式的基本性質(zhì)變形錯(cuò)誤的是（ ）
A．如果x?5=12，則x=12+5B．如果?4x=8，則x=?2
C．如果13x=9，則x=3D．如果4x+1=9，則4x=8
【變式5-1】（2023秋·浙江溫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知3a=2b，則下列選項(xiàng)中的等式成立的是（ ）
A．9a=4bB．a(chǎn)3=b2C．3a?2=2b?2D．3a+1=2b+1
【變式5-2】（2023秋·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┤鬭=b≠0，則下列式子中正確的是（填序號(hào)） ．
①a?2=b?2，②13a=12b，③?34a=?34b，④5a?1=5b?1．
【變式5-3】（2023春·上海黃浦·六年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程x0.7?1.7?2x0.3=1，下列變形正確的是（ ）
A．10x7?17?20x3=1B．10x7?17?20x3=10
C．10x7?17?2x3=1D．10x7?17?2x3=10
【題型6 利用等式的性質(zhì)解方程】
【例6】（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）用等式的性質(zhì)解下列方程：
(1)4x?2=2；
解：方程兩邊同時(shí)加上 ，得： ；
方程兩邊同時(shí) ，得： ．
(2)12x+2=6．
【變式6-1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)校聯(lián)考期中）利用等式性質(zhì)解方程
（1）2x-5=x-5
（2）?13x?5=8
【變式6-2】（2023秋·北京·七年級(jí)校考期中）利用等式性質(zhì)補(bǔ)全下列解方程過(guò)程：3?13x=4
解：根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊同時(shí) ，
可得3?13x?3=4_________，
于是?13x=_________．
根據(jù)____________兩邊同時(shí)乘以-3，可得x=_______．
【變式6-3】（2023秋·湖北咸寧·七年級(jí)?？计谥校├玫仁降男再|(zhì)解方程
(1)4x?4=3(x+1)
(2)2y+13=7?y
【題型7 利用等式的性質(zhì)比較大小】
【例7】（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性質(zhì)比較m，n的大小是( )
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．無(wú)法確定
【變式7-1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知5a?3b?1=5b?3a，利用等式的基本性質(zhì)比較a，b的大小.
【變式7-2】（2023秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谀┮阎?4m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性質(zhì)比較 m 與 n 的大小關(guān)系：m n（填“＞”，“＜”或“=”）．
【變式7-3】（2023·甘肅武威·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知34m﹣1=34n，試用等式的性質(zhì)比較m與n的大?。?br>【題型8 等式的性質(zhì)在天平中的運(yùn)用】
【例8】（2023春·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“○”“口”“△”分別表示三種不同的物體，用天平比較它們的大小，兩次情況如圖．那么，每個(gè)“○”“口”“△”按質(zhì)量大小的順序排列為（ ）
A．〇△□B．〇□△C．□〇△D．△□〇
【變式8-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考開學(xué)考試）有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同另有一盒少了幾塊，如果能用天平稱，至少( )次保證可以找出這盒餅干．
【變式8-2】（2023秋·廣東江門·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右邊不能放的是（ ）

A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【變式8-3】（2023秋·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質(zhì)．
【提出問(wèn)題】能否借助一架天平和一個(gè)10克的砝碼測(cè)量出一個(gè)乒乓球和一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量？
【實(shí)驗(yàn)探究】準(zhǔn)備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個(gè)乒乓球的質(zhì)量相同，每個(gè)紙杯的質(zhì)量也相同），設(shè)一個(gè)乒乓球的質(zhì)量是x克，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)，將有關(guān)信息記錄在下表中：
【解決問(wèn)題】
（1）將表格中兩個(gè)空白部分用含x的代數(shù)式表示；
（2）分別求出一個(gè)乒乓球的質(zhì)量和一個(gè)一次性紙杯的質(zhì)量．
【及時(shí)遷移】
（3）借助以上相關(guān)數(shù)據(jù)以及實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，你能設(shè)計(jì)一種方案，使實(shí)驗(yàn)中選取的乒乓球的個(gè)數(shù)是紙杯的個(gè)數(shù)的3倍嗎？請(qǐng)補(bǔ)全下面橫線上內(nèi)容，完善方案，并說(shuō)明方案設(shè)計(jì)的合理性．
方案：將天平左邊放置______，天平右邊放置______，使得天平平衡．
理由：
【題型9 利用等式的性質(zhì)檢驗(yàn)方程的解】
【例9】（2023秋·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）整式mx?n的值隨x取值的變化而變化，下表是當(dāng)x取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的整式的值：
則關(guān)于x的方程?mx+n=9的解為（ ）
A．x=?5B．x=?4C．x=?2D．x=1
【變式9-1】（2023秋·甘肅白銀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中，其解為x=?2的是（ ）
A．3x?4=2B．3x+1?3=0C．2x=?1D．x+75?1=0
【變式9-2】（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）檢驗(yàn)下列方程后面小括號(hào)內(nèi)的數(shù)是否為相應(yīng)方程的解．
(1)2x+5=10x?3,x=1；
(2)0.52x?1?0.52x=80,x=1000．
【變式9-3】（2023春·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）x=2是方程ax﹣4=0的解，檢驗(yàn)x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．
【題型10 方程的解的規(guī)律問(wèn)題】
【例10】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一列方程如下排列：
x4+x?12＝1的解是x＝2；
x6+x?22＝1的解是x＝3；
x8+x?32＝1的解是x＝4；
…
根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫出其中解是x＝20的方程： ．
【變式10-1】（2023秋·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)惠來(lái)縣第一中學(xué)?？计谀┯幸幌盗蟹匠蹋?個(gè)方程是x+x2=3，解為x=2；第2個(gè)方程是x2+x3=5，解為x=6；第3個(gè)方程是x3+x4=7，解為x=12；…根據(jù)規(guī)律第10個(gè)方程是x10 +x11=21，解為 ．
【變式10-2】（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀理解題)先閱讀下列一段文字，然后解答問(wèn)題：
已知：方程x?1x=112的解是x1=2,x2=?12 ；方程x?1x=223的解是x1=3,x2=?13；方程x?1x=334的解是x1=4,x2=?14……
問(wèn)題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程：x?1x=101011的解，并進(jìn)行檢驗(yàn)再推廣到一般情形.
【變式10-3】（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）已知關(guān)于x的方程x+2x=3+23的兩個(gè)解是x1=3,x2=23；
又已知關(guān)于x的方程x+2x=4+24的兩個(gè)解是x1=4,x2=24；
又已知關(guān)于x的方程x+2x=5+25的兩個(gè)解是x1=5,x2=25；
…，
小王認(rèn)真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
關(guān)于x的方程x+2x=c+2c的兩個(gè)解是x1=c,x2=2c；并且小王在老師的幫助下完成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明（證明過(guò)程略）．小王非常高興，他向同學(xué)提出如下的問(wèn)題．
(1)關(guān)于x的方程x+2x=11+211的兩個(gè)解是x1= 和x2= ；
(2)已知關(guān)于x的方程x+2x?1=12+211，則x的兩個(gè)解是多少？記錄
天平左邊
天平右邊
天平狀態(tài)
乒乓球總質(zhì)量
一次性紙杯的總質(zhì)量
記錄一
5個(gè)乒乓球，1個(gè)10克的砝碼
15個(gè)一次性紙杯
平衡
5x
______
記錄二
3個(gè)乒乓球
1個(gè)一次性紙杯
1個(gè)10克的砝碼
平衡
3x
______
x
?5
?4
?3
?2
?1
1
mx?n
9
6
3
0
?3
?9

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