一、選擇題
1．若A是定直線l外一定點，則過點A且與直線l相切的圓的圓心軌跡為 ( D )
A．直線B．橢圓
C．線段D．拋物線
[解析] 因為圓過點A，所以圓心到A的距離為圓的半徑；因為圓與直線相切，所以圓心到直線的距離也等于圓的半徑，且點A是定直線l外一定點，故圓心的軌跡為拋物線．
2．如果拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線是直線x＝－2，那么它的焦點坐標(biāo)為 ( B )
A．(1,0)B．(2,0)
C．(3,0)D．(－1,0)
[解析] 因為準(zhǔn)線方程為x＝－2＝－eq \f(p,2)，
所以焦點為(eq \f(p,2)，0)，即(2,0)．
3．拋物線x2＝4y的焦點到準(zhǔn)線的距離為 ( C )
A．eq \f(1,2)B．1
C．2D．4
[解析] 拋物線x2＝4y中，P＝2，∴焦點到準(zhǔn)線的距離為2.
4．拋物線y＝2x2的焦點坐標(biāo)是 ( C )
A．(1,0)B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
[解析] 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq \f(1,2)y，∴p＝eq \f(1,4)，且焦點在y軸的正半軸上，故選C．
5．拋物線y2＝4x上一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是 ( A )
A．0B．eq \f(15,16)
C．eq \f(7,8)D．eq \f(17,16)
[解析] 設(shè)M(x0，y0)，則x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.
6．從拋物線y2＝4x圖象上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線焦點為F，則△MPF的面積為 ( A )
A．10B．8
C．6D．4
[解析] 設(shè)P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，
∴S△MPF＝eq \f(1,2)|PM|·|y0|＝10.
二、填空題
7．若拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)為(1,0)，則p＝__2___，準(zhǔn)線方程為__x＝－1___.
[解析] 本題考查拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程. 由eq \f(p,2)＝1知p＝2，則準(zhǔn)線方程為x＝
－eq \f(p,2)＝－1.
8．以雙曲線eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的中心為頂點，左焦點為焦點的拋物線方程是__y2＝－20x___.
[解析] ∵雙曲線的左焦點為(－5,0)，故設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，
又p＝10，∴y2＝－20x.
三、解答題
9．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F任作一條直線，交拋物線于P1，P2兩點，求證：以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切.
[證明] 設(shè)線段P1P2的中點為P0，過P1，P2，P0分別向準(zhǔn)線l引垂線，垂足分別為Q1，Q2，Q0，如圖所示．根據(jù)拋物線的定義，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|.
∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|.
∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，
∴|P0Q0|＝eq \f(1,2)(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝eq \f(1,2)|P1P2|.
由此可知，P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，
因此，圓P0與準(zhǔn)線相切．
∴以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切.
B級 素養(yǎng)提升
一、選擇題
1．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為eq \r(2)，且右焦點與拋物線
y2＝4eq \r(3)x的焦點重合，則該雙曲線的離心率等于 ( B )
A．eq \r(2)B．eq \r(3)
C．2D．2eq \r(3)
[解析] ∵拋物線y2＝4eq \r(3)x的焦點(eq \r(3)，0)為雙曲線的右焦點，∴c＝eq \r(3)，
又eq \f(b,a)＝eq \r(2)，結(jié)合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝eq \r(3)，故選B．
2．拋物線y2＝8x的焦點到直線x－eq \r(3)y＝0的距離是 ( D )
A．2eq \r(3)B．2
C．eq \r(3)D．1
[解析] 本題考查了拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)及點到直線的距離公式．由y2＝8x可得其焦點坐標(biāo)為(2,0)，根據(jù)點到直線的距離公式可得d＝eq \f(|2－\r(3)×0|,\r(12＋?\r(3)?2))＝1.
3．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1的右焦點重合，則p的值為 ( D )
A．－2B．2
C．－4D．4
[解析] 拋物線的焦點為F(eq \f(p,2)，0)，橢圓中c2＝6－2＝4，∴c＝2，其右焦點為(2,0)，
∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4.
4．O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq \r(2)x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4eq \r(2)，則△POF的面積為 ( C )
A．2B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3)D．4
[解析] 設(shè)P(x0，y0)，則由拋物線的焦半徑公式得|PF|＝x0＋eq \r(2)＝4eq \r(2)，x0＝3eq \r(2)，代入拋物線的方程，得|y0|＝2eq \r(6)，S△POF＝eq \f(1,2)|y0|·|OF|＝2eq \r(3)，選A，涉及拋物線的焦點三角形問題，要考慮焦半徑公式．
5．若拋物線y2＝2x上一點M到它的焦點F的距離為eq \f(3,2)，O為坐標(biāo)原點，則△MFO的面積為 ( B )
A．eq \f(\r(2),2)B．eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,4)
[解析] 由題意知，拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(1,2).
設(shè)M(a，b)，由拋物線的定義可知，
點M到準(zhǔn)線的距離為eq \f(3,2)，
所以a＝1，代入拋物線方程y2＝2x，
解得b＝±eq \r(2)，
所以S△MFO＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),4).
二、填空題
6．點M(5,3)到拋物線x2＝ay(a>0)的準(zhǔn)線的距離為6，則拋物線的方程是__x2＝12y___.
[解析] 拋物線x2＝ay的準(zhǔn)線方程為y＝－eq \f(a,4)，
由題意得3－(－eq \f(a,4))＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.
7．若動點M(x，y)到點F(4,0)的距離比它到直線x＋5＝0的距離小1，則點M的軌跡方程是__y2＝16x___.
[解析] 依題意可知M點到點F的距離等于M點到直線x＝－4的距離，因此其軌跡是拋物線，且p＝8，頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，∴其方程為y2＝16x.
三、解答題
8．已知拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(－3，m)到焦點的距離是5.求拋物線方程和m的值.
[解析] 解法一：∵拋物線焦點在x軸上，且過點M(－3，m)，
∴設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，
則焦點坐標(biāo)F(－eq \f(p,2)，0)，
由題意知，
解得，或 .
∴所求拋物線方程為y2＝－8x，m＝±2eq \r(6).
解法二：設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，
則焦點坐標(biāo)F(－eq \f(p,2)，0)，準(zhǔn)線方程x＝eq \f(p,2).
由拋物線定義知，點M到焦點的距離等于5，
即點M到準(zhǔn)線的距離等于5，
則3＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝4，∴拋物線方程為y2＝－8x.
又點M(－3，m)在拋物線上，
∴m2＝24，∴m＝±2eq \r(6)，
∴所求拋物線方程為y2＝－8x，m＝±2eq \r(6).
C級 能力提高
1．一拋物線拱橋跨度為52 m，拱頂離水面6.5 m，一竹排上載有一寬4 m，高6 m的大木箱，則竹排__能___(填“能”或“不能”)安全通過.
[解析] 如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py（p>0），則有A(26，－6.5)，
設(shè)B(2，y)，
由262＝－2p×(－6.5)，得p＝52，
所以拋物線方程為x2＝－104y.
當(dāng)x＝2時，4＝－104y，所以y＝－eq \f(1,26)，
因為6.5－eq \f(1,26)>6，所以能安全通過．
2．如圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構(gòu)成，為保安全，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在堅直方向上高度之差至少要0.5 m．若行駛車道總寬度AB為6 m，計算車輛通過隧道的限制高度.(精確到0.1 m)
[解析] 取拋物線的頂點為原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標(biāo)系，C(4，－4)，
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，將點C代入拋物線方程得p＝2，
∴拋物線方程為x2＝－4y，行車道總寬度AB＝6 m，
將x＝3代入拋物線方程，得y＝－2.25 ，
∴限制高度為6－2.25－0.5＝3.25（ m），
則車輛通過隧道的限制高度是3.25 m．

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