本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置． 答題時間：60分鐘
一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）根據(jù)圖中所給的邊長及角度，下列四邊形中，一定可以判定為平行四邊形的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形判斷A；根據(jù)題意可知平行線間距離是5，可知兩組對邊平行，可判斷B；對于C，D可知一組對邊平行，不能判斷另一組對邊的關(guān)系，可得答案．
【詳解】由，可知一組對邊平行，另一組對邊相等，不一定是平行四邊形，所以A不符合題意；
由，可知一組對邊平行，平行線間距離是5，可知另一組對邊平行，該四邊形是平行四邊形，所以B符合題意；
由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以C不符合題意；
由，可知一組對邊平行，另一組對邊無法確定，不一定是平行四邊形，所以D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將三角形紙片剪掉一角得四邊形，設(shè)與四邊形的外角和的度數(shù)分別為，則比較與的大小，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．無法比較
【答案】A
【分析】根據(jù)多邊形外角和為可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：由多邊形外角和為可知與四邊形的外角和分別為，
∴；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形外角和，熟練掌握多邊形外角和是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）已知一個n邊形的內(nèi)角和是，從它的一個頂點(diǎn)出發(fā)可以作m條對角線，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計算出對角線的條數(shù)即可求解．
【詳解】解：此多邊形的邊數(shù)為，由題意得：
，
解得，
從這個多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)所畫的對角線條數(shù)：，
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式．
4．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將繞邊的中點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)．嘉淇發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的與構(gòu)成平行四邊形，并推理如下：小明為保證嘉淇的推理更嚴(yán)謹(jǐn)，想在方框中“∵，”和“∴四邊形…”之間作補(bǔ)充，下列補(bǔ)充不正確的是（ ）
A．應(yīng)補(bǔ)充：且B．應(yīng)補(bǔ)充：且
C．應(yīng)補(bǔ)充：且D．應(yīng)補(bǔ)充：且
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法逐個分析即可．
【詳解】A．加上，可證得時間△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四邊形是平行四邊形；
B．加上，根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”，可得四邊形是平行四邊形；
C．加上，一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形可能是等腰梯形；
D．加上，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”，可得四邊形是平行四邊形．
故選：C
【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：平行四邊形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定方法是關(guān)鍵．
5．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的有（ ）
①當(dāng)時，它是菱形；
②當(dāng)時，它是菱形；
③當(dāng)時，它是矩形；
④當(dāng)時，它是正方形．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐一判斷各項(xiàng)即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴當(dāng)時，不能判斷它是菱形（對邊相等是平行四邊形的性質(zhì)），故①錯誤，
當(dāng)時，它是菱形，故②正確，
當(dāng)時，它是矩形，故③正確，
當(dāng)時，它是矩形，故④錯誤，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·河南商丘·?？家荒＃┤鐖D1，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，連接，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→E→C以的速度勻速運(yùn)動至點(diǎn)C．圖2是點(diǎn)P運(yùn)動時，的面積隨時間變化的函數(shù)圖像，則a的值為（ ）
A．40B．10C．24D．20
【答案】B
【分析】設(shè)，根據(jù)題意，，結(jié)合函數(shù)圖像，得到，，結(jié)合勾股定理，計算即可．
【詳解】解：設(shè)，根據(jù)題意，，結(jié)合函數(shù)圖像，得到
，，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
∴，
解得（舍去），
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，函數(shù)圖像，熟練掌握矩形性質(zhì)，正確讀取圖形信息是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·八年級單元測試）將圖1中兩個三角形按圖2所示的方式擺放，其中四邊形為矩形，連接，甲、乙兩人有如下結(jié)論：
甲：若四邊形是邊長為1的正方形，則四邊形必是正方形；
乙：若四邊形為正方形，則四邊形必是邊長為1的正方形．
下列判斷正確的是（ ）
A．甲正確，乙不正確B．甲不正確，乙正確
C．甲、乙都不正確D．甲、乙都正確
【答案】D
【分析】根據(jù)，求出和的值，根據(jù)勾股定理求出的值，即可判斷甲是否正確，若平行四邊形為正方形，根據(jù)邊的關(guān)系可以求出且四個角都是直角，即可判斷乙是否正確．
【詳解】解：四邊形是邊長為1的正方形，
，，
，，，
，
，
同理，
四邊形是菱形，
在和中，
，
，
，
，
，
，
則四邊形必是正方形；
甲正確；
若四邊形為正方形，則，
且，
在和中，
，
，
，
同理，
又，
，
，
同理，
即四邊形為菱形，
，
則四邊形必是邊長為1的正方形，
乙正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
8．（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，且，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，，如此進(jìn)行下去，得到四邊形下列結(jié)論正確的有（ ）
①四邊形是矩形；
②四邊形是菱形；
③四邊形的周長是；
④四邊形的面積是．
A．個B．個C．個D．個
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形中各邊長的長度關(guān)系規(guī)律，然后對以下選項(xiàng)做出分析與判斷：①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)做出判斷；②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)做出判斷；③由四邊形的周長公式：周長邊長之和，來計算四邊形的周長；④根據(jù)四邊形的面積與四邊形的面積間的數(shù)量關(guān)系來求其面積．
【詳解】解：①連接，．
在四邊形中，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，
，，，；
，，
四邊形是平行四邊形；
，四邊形是矩形，
（矩形的兩條對角線相等）；
（中位線定理），
四邊形是菱形；
故本選項(xiàng)錯誤；
②由①知，四邊形是菱形；
根據(jù)中位線定理知，四邊形是菱形；
故本選項(xiàng)正確；
③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，，，
四邊形的周長是，
故本選項(xiàng)正確；
④四邊形中，，，且，
；
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>四邊形的面積是，
故本選項(xiàng)正確．
綜上所述，②③④正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半）．解答此題時，需理清菱形、矩形與平行四邊形的關(guān)系是最關(guān)鍵的．
9．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，在矩形中，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)D勻速運(yùn)動，動點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，連接．動點(diǎn)M，N同時出發(fā)，點(diǎn)M運(yùn)動的速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)N運(yùn)動的速度為每秒3個單位長度．當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時，M，N兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)D重合，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由矩形及折疊的性質(zhì)可得，然后可得，則有，設(shè)運(yùn)動時間為t，則有，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)運(yùn)動時間為t，則有，
∴，
∴；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·廣東深圳·九年級北大附中深圳南山分校?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為4，點(diǎn)E在邊上，，點(diǎn)F在射線上，且，過點(diǎn)F作的平行線交的延長線于點(diǎn)與相交于點(diǎn)G，連接．下列結(jié)論：①；②的周長為8；③；④的面積為6.8．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】由“”可證，可得，可證是等腰直角三角形，可得，故①正確；
由勾股定理可求的長，通過證明，可求，由勾股定理可求的長，則可求的周長，故②正確；
利用勾股定理可求長，可得的長，利用相似三角形的判定可證，故③正確；
先求出的面積，即可求的面積為6.8，故④正確．
【詳解】解：如圖，在正方形中，，
，
，
，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，故①正確；
在中，，
，
，
過點(diǎn)作于，交于，
，
∴四邊形是矩形，
，
∴矩形是正方形，
，
同理：四邊形是矩形，
，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，
的周長，故②正確；
，
，
又，
，故③正確；
，故④正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和判斷，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上
11．（2022秋·吉林長春·七年級吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考期中）足球表面為什么用正六邊形和正五邊形構(gòu)成？因?yàn)檎呅蔚膬蓚€內(nèi)角和正五邊形的一個內(nèi)角加起來接近一個周角，而又不足一個周角．這樣，由平面折疊而成的多面體充氣后最終就呈現(xiàn)為球形．如圖，在折疊前的平面上，拼接點(diǎn)處的縫隙∠AOB的大小為 ______．
【答案】12°##12度
【分析】先由多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形和正五邊形的內(nèi)角，再根據(jù)周角是360°即可求出∠AOB的大?。?br>【詳解】解：因?yàn)檎噙呅蝺?nèi)角和為（n-2）?180°，正多邊形每個內(nèi)角都相等，
所以正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為（5-2）?180°=108°，
正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為（6-2）?180°=120°．
∴∠AOB的度數(shù)為：360°-108°-120°×2=12°．
故答案為：12°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式．熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，多項(xiàng)式的內(nèi)角和公式是解決問題的關(guān)鍵．
12．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，______度．
【答案】360
【分析】首先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：圖示這幾個角是一個四邊形的四個內(nèi)角，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可求解．
【詳解】解：如圖，
，，
，
故答案為：360．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和，正確掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，；點(diǎn)E和點(diǎn)D分別是邊和的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)F，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)E．若，則圖中陰影部分的面積為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，得出，，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，得出，再根據(jù)扇形的面積公式，得出，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，得出，再根據(jù)中位線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的面積公式，得出，再根據(jù)中位線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)扇形的面積公式，得出，然后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)計算，即可得出圖中陰影部分的面積．
【詳解】解：在等腰直角中，，
∴，，
又∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E和點(diǎn)D分別是邊和的中點(diǎn)，
∴是的中位線，，
∴，
∴，
∵是的中位線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、扇形的面積公式、中位線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想解答，并熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．
14．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形的邊長為4，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)G，若，，則的長為______．
【答案】
【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件說明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，利用勾股定理求出，證明，說明，，證明為等邊三角形，即可得出．
【詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，如圖所示：
∵四邊形為菱形，
∴，
，
∴為等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∴為等邊三角形，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明，為等邊三角形．
15．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，P為邊上一點(diǎn)，．將沿翻折得到、的延長線交邊于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)N，連接，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．下面結(jié)論中：①連接，則；②四邊形是菱形；③；④若，則，正確的結(jié)論是________．
【答案】②③④
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出垂直平分，但無法判斷是否相等；過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，易知四邊形，四邊形是矩形，所以，，，易證，所以，即，判斷出③正確；，所以，由題意可知：，所以，由于，即，從而可知，又易證四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形；判斷出②正確；由于，可設(shè)，，由，，從而求出，，由于，從而可證，，求出，，從而可求出，從而可得，判斷出④正確．
【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得出垂直平分，但無法判斷是否相等，故①不正確；
如圖：過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，
∴易知四邊形，四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，故③正確；
，
，
由題意可知：，
，
，即，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，故②正確；
，
可設(shè)，，
，，
，
，
，，
，
，
，
又易證：，
，
，
，
，故④正確，
故正確的有②③④，
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，綜合程度較高，需要靈活運(yùn)用所學(xué)的知識．
16．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形是正方形，，點(diǎn)為對角線上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形，連接．
（1）___________；
（2）若四邊形的面積為5，則___________
【答案】 4 3或1
【分析】（1）如圖1，作，于點(diǎn)M，N，則．點(diǎn)E是正方形對角線上的點(diǎn)，證明，得出，進(jìn)而證明，得出，根據(jù)即可求解；
（2）如圖2，過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，．根據(jù)勾股定理得，得出或1，即可求解．
【詳解】（1）如圖1，作，于點(diǎn)M，N，則．
點(diǎn)E是正方形對角線上的點(diǎn)，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
在和中，
∴，
∴．
∵四邊形是矩形，矩形是正方形，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如圖2，過點(diǎn)E作于點(diǎn)Q．
∵點(diǎn)E是正方形對角線上的點(diǎn)，
∴，
∴，
∴．
∵正方形的面積為5，
∴．
在中，
根據(jù)勾股定理得，
即，
∴或，
∴或1，
∴或1．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2022春·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺按要求作圖（不寫作法，保留作圖的痕跡）．
(1)在圖①中作出邊的中點(diǎn)；
(2)在圖②中作出的中點(diǎn)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接EO并延長交AD與點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求；
（2）連接BD、AC交于點(diǎn)O，連接EO并延長交AD與點(diǎn)F；連接AE、BF交于點(diǎn)M，連接OM并延長交AB與點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求．
（1）
解：如圖①，點(diǎn)即為所求．
（2）
如圖②，點(diǎn)即為所求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖-復(fù)雜作圖、三角形中位線、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
18．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，矩形的兩個頂點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，經(jīng)過原點(diǎn)，對角線垂直于軸．垂足為，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式；
(2)求矩形的面積．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設(shè)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而代入，即可求解．
（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)中心對稱可得，勾股定理得出，證明，得出，即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得，
∴
∴，
∴，
∴
（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)中心對稱可得，則，
∵對角線垂直于x軸，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴矩形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2023春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知E、F分別是的邊、上的點(diǎn)，且．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)在中，若，，，求邊上的高．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，再得出，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)等積法求出邊上的高即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法．
20．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，矩形的對角線的垂直平分線與、、分別交于點(diǎn)、、．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，，求：
①的長；
②菱形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)①；②39
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再由矩形的性質(zhì)可得，從而得到，再證明，可得，從而得到四邊形是平行四邊形，即可求證；
①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，再由勾股定理求出，即可求解；②根據(jù)菱形的面積等于對角線長度乘積的一半，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵垂直平分，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
（2）解：①∵四邊形是矩形，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
②∵四邊形是菱形，，
∴菱形的面積．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
21．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，若，連接分別交、于點(diǎn)G、H，在不添加輔助線的情況下，請你直接寫出所有的鈍角等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)，，．
【分析】（1）利用面積法求解即可；
（2）利用菱形的性質(zhì)可得到是等腰三角形，然后再利用等角對等邊判定，是等腰三角形即可．
【詳解】（1）∵四邊形是菱形，
∴．
∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
∴，
∴；
（2）∵四邊形是菱形， ，
∴，，，，
∴是鈍角等腰三角形．
∵于點(diǎn)E，
∴，
∴，
∴，
∴是鈍角等腰三角形．
同理可證是鈍角等腰三角形．
綜上可知，鈍角等腰三角形有：，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
22．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)E、F分別在邊上，點(diǎn)G在邊的延長線上，且．
(1)求證：① ；②；
(2)尺規(guī)作圖：以線段為邊作出正方形（保留作圖痕跡不寫作法和證明）；
(3)連接（2）中的，猜想四邊形的形狀，并證明你的猜想；
(4)當(dāng)時，求出的值
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)見解析
(3)四邊形為平行四邊形，證明見解析
(4)
【分析】（1）利用證明，得，再利用三角形內(nèi)角和定理可證明；
（2）分別以G、E為圓心，為半徑畫圓，交點(diǎn)即可H點(diǎn)；
（3）首先根據(jù)一組對邊平行且相等證明四邊形是平行四邊形，從而得出，，進(jìn)而證明結(jié)論；
（4）設(shè)，則，利用勾股定理表示出的長，從而得出答案．
【詳解】（1）證明：①∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
②由，得，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖所示：
（3）解：四邊形為平行四邊形，理由如下：
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，

∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；
（4）當(dāng)時，設(shè)，則，，
∴，
∴＝．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握正方形的性質(zhì)與判定條件．
23．（2022秋·廣東河源·九年級?？计谀┤鐖D，在菱形中，對角線與交于點(diǎn)，且，，現(xiàn)有兩動點(diǎn)，分別從，同時出發(fā)，點(diǎn)沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為（秒）．
(1)填空： ；菱形的面積 ；菱形的高 ．
(2)若點(diǎn)的速度為每秒個單位，點(diǎn)的速度為每秒個單位，連接，．當(dāng)時，是否存在的值，使為等腰直角三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
(3)若點(diǎn)的速度為每秒個單位，點(diǎn)的速度為每秒個單位（其中），當(dāng)時在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請求出所有滿足條件的的值．
【答案】(1)；；
(2)不存在，理由見解析
(3)或或
【分析】（1）先由菱形的性質(zhì)和勾股定理求得AB，再跟菱形面積為對角線之積的一半可得S，最后根據(jù)菱形的面積為邊長×高，由此可得高h(yuǎn)的長；
（2）當(dāng)時，M在邊AB上，N在邊CD上，當(dāng)時，如圖1所示，因?yàn)椋朔N情況不成立，可得結(jié)論；
（3）當(dāng)，時間固定，AM的長度也就固定，A、M、N、E四點(diǎn)要形成菱形，分兩大類情況，第一類以AM為邊，這種情況可以畫兩種菱形；第二類以AM為對角線，只有一種．因此共三種情況，分別計算．
【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，，
∴，
∴AB=5，
設(shè)菱形的高為h,
則菱形ABCD的面積為
∴
故答案為：，，
（2）解：當(dāng)時，在邊上，在邊上，當(dāng)時，如圖所示，
由（）知：，
當(dāng)時，，所以此種情況不成立，
當(dāng)時，不存在的值，使為等腰直角三角形．
（3）解：當(dāng)時，，
①如圖，四邊形為菱形，
，
，
，．
②如圖，為菱形，交于點(diǎn)，作垂直于，
菱形面積為，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
③如圖，為菱形，交于點(diǎn)，作垂直于，
則，
，
，
，
，
；
綜上所述，的取值有或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理、面積計算，分類討論等重要知識點(diǎn)，綜合性和技巧性很強(qiáng)，計算量也較大，對學(xué)生的能力要求較高，因此綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．
點(diǎn)A，C分別轉(zhuǎn)到了點(diǎn)C，A處，
而點(diǎn)B轉(zhuǎn)到了點(diǎn)D處．
∵，
∴四邊形是平行四邊形．

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