類(lèi)型1-多邊形的內(nèi)角和
（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果一個(gè)四邊形四個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比是，那么這四個(gè)內(nèi)角中（ ）
A．只有一個(gè)直角B．有兩個(gè)直角C．有兩個(gè)鈍角D．只有一個(gè)鈍角
類(lèi)型2-正多邊形的內(nèi)角和
（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第70中?？家荒＃┤鐖D，與正五邊形的邊、分別相切于點(diǎn)B、D，則劣弧所對(duì)的圓心角的大小為（ ）
A．B．C．D．
類(lèi)型3-多邊形的缺（多）角問(wèn)題
（2022秋·重慶云陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）小明同學(xué)在用計(jì)算器計(jì)算某邊形的內(nèi)角和時(shí)，不小心少輸入一個(gè)內(nèi)角，得到和為2016°，則等于（ ）
A．11B．12C．13D．14
類(lèi)型4-正多邊形的外角問(wèn)題
（2022春·河北邯鄲·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線(xiàn)前進(jìn)9米后向左轉(zhuǎn)，再沿直線(xiàn)前進(jìn)9米，又向左轉(zhuǎn)……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，共走路程為（ ）
A．54米B．72米C．90米D．108米
類(lèi)型5-多邊形的外角和問(wèn)題
（2022秋·廣東東莞·八年級(jí)東莞市厚街海月學(xué)校校考期中）如圖，五邊形的4個(gè)外角和，則等于（ ）
A．B．C．D．
類(lèi)型6-多邊形的內(nèi)角與外角和的綜合問(wèn)題
（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谀┮粋€(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為，則這個(gè)正多邊形是（ ）
A．正五邊形B．正六邊形C．正八邊形D．正十邊形
綜合訓(xùn)練
1．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線(xiàn)剪去，則的度數(shù)是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023秋·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）湖南革命烈士紀(jì)念塔的塔底平面為八邊形，這個(gè)八邊形的內(nèi)角和（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)多邊形的對(duì)角線(xiàn)有：（ ）
A．2條B．3條C．5條D．10條
5．（2022春·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，那么這個(gè)多邊形是（ ）
A．七邊形B．六邊形C．五邊形D．四邊形
6．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，連接、、、、、，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)東北師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是（ ）
A．7個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．10個(gè)
8．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將正六邊形與正方形按如圖所示擺放，公共頂點(diǎn)為，且正六邊形的邊與正方形的邊在同一條直線(xiàn)上，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用一條寬相等的足夠長(zhǎng)的紙條，打一個(gè)結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形，其中（）
A．B．C．D．
10．（2023秋·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將邊長(zhǎng)為2的正五邊形沿對(duì)角線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在正五邊形內(nèi)部的點(diǎn)處，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②；③若連，則
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
11．（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形內(nèi)部有一個(gè)正五邊形，且，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)，則直線(xiàn)l與的夾角α為（ ）
A．48°B．45°C．72°D．30°
12．（2022秋·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知是正六邊形與正五邊形的公共邊，連接，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
13．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面上將邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊放在一起，則（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
14．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)廣州市番禺區(qū)香江育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是一個(gè)外角的4倍，則正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．11
15．（2021秋·云南玉溪·八年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角外，剩下的內(nèi)角和是1000°，則這個(gè)多邊形是（ ）．
A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形
16．（2020秋·廣東汕頭·八年級(jí)校考期末）晨曦因少算了一個(gè)內(nèi)角得出一多邊形的內(nèi)角和為980°，則該多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6B．8C．10D．9
17．（2021春·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)多邊形多算了一個(gè)內(nèi)角得到內(nèi)角和是1960°，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．十一邊形B．十二邊形C．十三邊形D．十五邊形
18．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在計(jì)算一個(gè)多邊形內(nèi)角和時(shí)，多加了一個(gè)角，得到的內(nèi)角和為1500°，那么原多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．10或11
19．（2020秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算多邊形內(nèi)角和時(shí)不小心多輸入一個(gè)內(nèi)角，得到和為1290?，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）．
A．8B．9C．10D．11
20．（2021秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和會(huì)( )
A．增加B．增加C．增加D．增加
21．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，那么原多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．5B．5或6C．6或7或8D．7或8或9
22．（2020春·七年級(jí)統(tǒng)考課時(shí)練習(xí)）一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2570°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（ ）
A．120°B．130°C．135°D．150°
23．（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正五邊形的外角和為（ ）
A．B．C．D．
24．（2023秋·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都為，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
25．（2023秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正十邊形與正方形共邊，延長(zhǎng)正方形的一邊與正十邊形的一邊，兩線(xiàn)交于點(diǎn)F，設(shè)，則x的值為（ ）．
A．15B．18C．21D．24
26．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．12
27．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)校考期末）已知一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．9C．10D．12
28．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以1cm為半徑畫(huà)圓，當(dāng)時(shí)，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）
A．B．C．D．
29．（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)校考期中）一個(gè)正多邊形，它的每一個(gè)內(nèi)角都等于，則該正多邊形是（ ）
A．正六邊形B．正七邊形C．正八邊形D．正九邊形
30．（2023·云南·?？家荒＃┤鬾邊形的內(nèi)角和是它外角和的3倍，則n等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
31．（2023秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為，那么該多邊形的一個(gè)外角是（ ）
A．30°B．36°C．60°D．72°
32．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若一個(gè)正邊形的內(nèi)角和為，則它的每個(gè)外角度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
33．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．8
34．（2022秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，正五邊形，平分，平分正五邊形的外角，則＝（ ）
A．B．C．D．
題型2：平行四邊形的性質(zhì)
類(lèi)型1 應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)求解
（2023·河南周口·校考一模）如圖，在平行四邊形中，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)交于點(diǎn)F，若，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．11B．12C．13D．14
類(lèi)型2應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)證明
（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次數(shù)學(xué)課上，王老師出示了一個(gè)題目：“如圖，平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，連接，，請(qǐng)根據(jù)上述條件，寫(xiě)出一個(gè)正確結(jié)論．”
其中四位同學(xué)寫(xiě)出的結(jié)論如下：
小青：：小何：；
小夏：四邊形是正方形：小雨：
這四位同學(xué)寫(xiě)出的結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
綜合訓(xùn)練
1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，在中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．若，，，則的長(zhǎng)為（ ）．
A．B．C．D．
3．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，若，，則的長(zhǎng)度（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023春·安徽六安·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，和都是等邊三角形，為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則四邊形為平行四邊形
D．若四邊形為平行四邊形，則
5．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)分別為和，則該平行四邊形的一條邊的取值范圍為_(kāi)______．
6．（2022春·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，為，取長(zhǎng)邊 的中點(diǎn)M，，則 __．
7．（2023春·陜西西安·七年級(jí)高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，為邊上的一個(gè)點(diǎn)，將沿折疊至處，與交于點(diǎn)，若，，則的大小為_(kāi)_____．
8．（2022春·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，交于點(diǎn)F．若，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．
9．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，連接，作．已知平分，平分，若，則的值為_(kāi)__________．
10．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)與的交點(diǎn)．若，則與的面積之比為（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（其中）的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)A，函數(shù)（其中）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸上，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，的面積為6．
(1)求k的值；
(2)求直線(xiàn)的解析式．
12．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，，連接．
(1)求證：平分；
(2)若點(diǎn)E為中點(diǎn)，，，求的面積．
13．（2023春·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，平行四邊形中，平分，，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)P，連接．
(1)求證：；
(2)判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．
14．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，求證：．
15．（2023秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，，，點(diǎn)P為射線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交直線(xiàn)于點(diǎn)
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷，的數(shù)量關(guān)系并證明；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段上時(shí)，求證：．
16．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形中，是對(duì)角線(xiàn)．
(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)O（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明字母）；
(2)在（1）的條件下，求證：．
17．（2022春·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形中，E、F分別是對(duì)角線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且，連接．求證：．
題型3：平行四邊形的判定
類(lèi)型1-添加條件形成平行線(xiàn)四邊形
（2023秋·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)D，E分別是，上的點(diǎn)，且，點(diǎn)F是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接．添加下列條件后，不能判斷四邊形是平行四邊形的是（ ）
A．B．C．D．
類(lèi)型2-證明平行四邊形
（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）已知：如圖，在平行四邊形中，G、H分別是、的中點(diǎn)，E、F是對(duì)角線(xiàn)上的兩點(diǎn)，且，，垂足分別為E、F．求證：四邊形是平行四邊形．
類(lèi)型3-求構(gòu)成平行四邊形的第四個(gè)點(diǎn)
（2022春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(0，2)，( -1，0)，(2，0)．以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
(1)滿(mǎn)足條件的平行四邊形能作 個(gè)；
(2)在圖中作出滿(mǎn)足條件的平行四邊形，使頂點(diǎn)D位于第四象限；
(3)寫(xiě)出所有符合條件的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：
綜合訓(xùn)練
1．（2023·廣東·一模）如圖，在四邊形中，．添加一個(gè)條件，使得四邊形為平行四邊形，則這個(gè)條件可以是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，若要使四邊形是平行四邊形，可以添加的條件是（ ）．
①；②；③；④
3．（2022·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，ADBC且AD＝9cm，BC＝7cm，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，Q運(yùn)動(dòng)到B處停止運(yùn)動(dòng)，_____秒后直線(xiàn)PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形．
4．（2021春·寧夏吳忠·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、AD上，要使四邊形BEDF是平行四邊形，還需要增加的一個(gè)條件是_______________．
5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)，是對(duì)角線(xiàn)上的兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)不同于“”的條件，使四邊形是平行四邊形，并寫(xiě)出證明的過(guò)程．
6．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．
(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若的面積為9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，若點(diǎn)E為直線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)E和點(diǎn)F，使得以點(diǎn)E、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
7．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有．
(1)求出所在直線(xiàn)的解析式．
(2)已知一條與平行的直線(xiàn)在坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)，且與有交點(diǎn)，則b的取值范圍是________．
(3)在平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)是___________．
8．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)A，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，記旋轉(zhuǎn)角為α．
(1)如圖1，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，的長(zhǎng)為 ．
(2)如圖2，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使A、B、、D四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
9．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示（坐標(biāo)系內(nèi)正方形網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度為1）：
(1)在網(wǎng)格內(nèi)畫(huà)出關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形；
(2)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
10．（2020秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（2，3）、B（3，1）、O（0，0）．
(1)將△ABO向左平移4個(gè)單位，畫(huà)出平移后的△A1B1O1．
(2)將△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的△A2B2O．此時(shí)四邊形ABA2B2的形狀是 ．
(3)在平面上是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、O、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，．
(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線(xiàn)，交于E，交于D，（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)連接、，求證：四邊形是平行四邊形．
12．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知垂直平分，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若，，求的長(zhǎng)．
13．（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測(cè)）如圖，已知為等邊三角形，D、F分別為、邊上的點(diǎn)，，以為邊作等邊三角形．
(1)和和全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由
14．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考階段練習(xí)）在四邊形中，已知于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，求四邊形的周長(zhǎng)．
15．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）四邊形中，，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)E．
(1)如圖1，若，，求證：；
(2)如圖2，若平分，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為F，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接．
①求證：；
②連接，試判斷四邊形的形狀，并證明．
題型4：三角形的中位線(xiàn)
類(lèi)型1-應(yīng)用三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)求解
（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，在中，D是邊的中點(diǎn)，是的角平分線(xiàn)，于點(diǎn)E，連接．若，，則的長(zhǎng)度是（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
類(lèi)型2-三角形的中位線(xiàn)與面積
（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是、的中點(diǎn)，若四邊形的面積為6，則的面積為（ ）
A．8B．10C．12D．14
類(lèi)型3-應(yīng)用三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)證明
（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形中，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是、的中點(diǎn)，，°，求的度數(shù)．
綜合訓(xùn)練
1．（2023·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，矩形中，，，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的最小值是( )
A．2B．4C．D．
2．（2023·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形中，，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，連接，，若，則的長(zhǎng)度是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
3．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，以B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，射線(xiàn)交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，則長(zhǎng)度是（ ）
A．4B．C．D．2
4．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，若四邊形的面積是，則的面積是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，是它的中位線(xiàn)，

下面三個(gè)結(jié)論：
(1)；(2)；(3)若四邊形的面積為，則的面積為；(4)與的周長(zhǎng)之比為．
其中正確的有（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
6．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形中，，，且，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，如此進(jìn)行下去，得到四邊形．下列結(jié)論正確的是（ ）．
①四邊形是菱形；
②四邊形是矩形；
③四邊形周長(zhǎng)為；
④四邊形面積為．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
7．（2022·江西萍鄉(xiāng)·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)在邊上從點(diǎn)A開(kāi)始向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)從開(kāi)始到停止所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_____cm．
8．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？家荒＃┤鐖D，是的中位線(xiàn)，M是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N，那么 __，___．
9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知三條中位線(xiàn)的長(zhǎng)分別為3、4、5，則該三角形的面積為_(kāi)_____________．
10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直角三角形的邊長(zhǎng)，將三角形平移得到三角形，邊分別交，于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，則圖中陰影部分的面積為 ___．
11．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，中線(xiàn)相交于點(diǎn)F，，交于點(diǎn)G．若的面積為2，則的面積為_(kāi)_____．
12．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，過(guò)F作交于點(diǎn)G，若，且，，則陰影部分的面積為 _____．
13．（2023·湖南岳陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，D、E、F分別是邊的中點(diǎn)，求證：四邊形是菱形．
14．（2022秋·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．
【概念理解】
(1)在已經(jīng)學(xué)過(guò)的“平行四邊形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中點(diǎn)四邊形”一定是正方形，因此它一定是“中方四邊形”（填序號(hào)）．
【性質(zhì)探究】
(2)如圖1，若四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，寫(xiě)出關(guān)于四邊形的一條結(jié)論：______．
【問(wèn)題解決】
(3)如圖2，以銳角的兩邊為邊長(zhǎng)，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連結(jié)，依次連接四邊形的四邊中點(diǎn)得到四邊形．
求證：四邊形是“中方四邊形”．
15．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）中，D、E分別是，的中點(diǎn)，O是內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、．
(1)如圖1，點(diǎn)G、F分別是、的中點(diǎn)，連接，，，，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，若點(diǎn)O恰為和交點(diǎn)，求證：，；
(3)如圖3，若點(diǎn)O恰為和交點(diǎn)，射線(xiàn)與交于點(diǎn)M，求證：．
16．（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊AB，上，，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．
(1)觀察猜想：
圖中，線(xiàn)段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
(2)探究證明：
把繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(3)拓展延伸：
把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值．
17．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，在等腰三角形中，，連接．點(diǎn)M、N、P分別為的中點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，
①觀察猜想：圖1中，點(diǎn)D、E分別在邊上，線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系是 ，的大小為 ．
②探究證明：把繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，求證：．
③在②的條件下，如圖2，求證：是等邊三角形
(2)拓展延伸：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值．

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