中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)過(guò)關(guān)練6.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系重難點(diǎn)題型講練（講練）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

類型1-判斷點(diǎn)圓的位置關(guān)系
4．（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形中，，，圓B半徑為1，圓A與圓B外切，則點(diǎn)C、D與圓A的位置關(guān)系是（）
A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi)B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外
C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi)D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外
類型2-利用點(diǎn)與圓的位置求半徑
（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，cm，cm，以C為圓心，r為半徑作，若A，B兩點(diǎn)中只有一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)，則半徑r的取值范圍是______.
綜合訓(xùn)練
1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的半徑為，如果點(diǎn)P到圓O的距離為，那么點(diǎn)P與的位置關(guān)系為（）
A．點(diǎn)在圓外B．點(diǎn)在圓上C．點(diǎn)在圓內(nèi)D．不能確定
2．（2022·陜西西安·一模）如果的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)和的位置關(guān)系是（）
A．點(diǎn)在內(nèi)B．點(diǎn)在上C．點(diǎn)在外D．不能確定
3．（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，，以點(diǎn)D為圓心作，其半徑長(zhǎng)為r，要使點(diǎn)A恰在外，點(diǎn)B在內(nèi)，則r的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知的直徑為5cm，線段cm，那么點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（）
A．點(diǎn)A在外B．點(diǎn)A在上C．點(diǎn)A在內(nèi)D．不能確定
5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P到圓上的最大距離為5，最小距離為1，則此圓的半徑為（）
A．3B．4或6C．2或3D．6
6．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)P到圓O的距離為6，若點(diǎn)P在圓O外，則圓O的半徑r滿足（）
A．B．C．D．
7．（2022秋·河北秦皇島·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值是（）
A．2B．3C．4D．5
8．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在一平面內(nèi)，若的半徑為2，點(diǎn)P在外，則的長(zhǎng)度可能是（）
A．0B．1C．2D．3
9．（2023秋·山東臨沂·九年級(jí)臨沂實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎狝B＝12 cm，過(guò)A，B兩點(diǎn)畫半徑為8 cm的圓，則能畫的圓的個(gè)數(shù)為( )
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．無(wú)數(shù)個(gè)
10．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是數(shù)軸上一定點(diǎn)，點(diǎn)是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)為，點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為，作以為圓心，為半徑的，若點(diǎn)在外，則的值可能是（）.
A．B．C．D．
11．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A是外一點(diǎn)，且，則的半徑可能是（）
A．2B．3C．4D．1
12．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）在中，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，半徑為5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P在________（填“圓內(nèi)”，“圓外”或“圓上”）
13．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某海域以點(diǎn)A為圓心、為半徑的圓形區(qū)域?yàn)槎喟到傅奈ｋU(xiǎn)區(qū)，但漁業(yè)資源豐富，漁船要從點(diǎn)B處前往A處進(jìn)行捕魚，B、A兩點(diǎn)之間的距離是，如果漁船始終保持的航速行駛，那么在什么時(shí)段內(nèi)，漁船是安全的？漁船何時(shí)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域？
題型2：直線與圓的位置關(guān)系
類型-1 直線與圓的位置關(guān)系判斷
（2023·江西吉安·?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)的半徑為，若點(diǎn)在直線上，且，則直線與的位置關(guān)系為（）
A．相交B．相切C．相離D．相交或相切
類型-2 由直線與圓的位置關(guān)系確定半徑
（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點(diǎn)O在邊AB上，且BO＝2OA．以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（）
A．6B．10C．15D．16
類型3- 與圖形平移有關(guān)的計(jì)算
（2021·江蘇泰州·?？家荒＃┤鐖D，直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣3，﹣4)，若將⊙A沿y軸方向平移，平移后，使⊙A上只有3個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為2，則平移后點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____．
綜合訓(xùn)練
1．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的半徑為5，直線l為所在平面內(nèi)的一條直線，若點(diǎn)O到直線l的距離為3，則直線l與的位置關(guān)系是（）
A．直線l與相交B．直線l與相切
C．直線l與相離D．不能確定
2．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，圓心的坐標(biāo)為，與軸相切于原點(diǎn)，若將圓沿軸向右移動(dòng)，當(dāng)與該直線相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）
A．2B．3C．4D．5
3．（2022秋·重慶大足·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的半徑是一元二次方程的一個(gè)根，圓心到直線的距離，則直線與的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．平行
4．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，以點(diǎn)C為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作圓，則與的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．相切或相離
5．（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知圓O的半徑為3，點(diǎn)O到某條直線的距離為，則這條直線可以是（）
A．B．C．D．
6．（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓（）
A．與x軸相離，與y軸相切B．與x軸相離，與y軸相交
C．與x軸相切，與y軸相交D．與x軸相切，與y軸相離
7．（2022秋·遼寧盤錦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以點(diǎn)C為圓心，以3cm的長(zhǎng)為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相切C．相離D．相切或相離
8．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，的半徑為2，下列說(shuō)法正確的是（）
A．與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)
B．與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)
C．與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)
D．與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)
9．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知和直線相交，圓心到直線的距離為，則的半徑可能為（）
A．B．C．D．
10．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P到直線l的距離為3，以點(diǎn)P為圓心、以下列長(zhǎng)度為半徑畫圓，能使直線l與⊙P相交的是（）
A．1B．2C．3D．4
11．（2021秋·山東德州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為（）
A．1或5B．1或3C．3或5D．1
12．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
13．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，半徑，直線，垂足為H，且l交于A，B兩點(diǎn)，，將直線l沿所在直線向下平移，若l恰好與相切時(shí)，則平移的距離為（）
A．B．C．D．
14．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線與x軸、y 軸分別相交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，圓心P的坐標(biāo)為（2，0）．⊙P與y軸相切于點(diǎn)O，若將⊙P沿x軸向左移動(dòng)，當(dāng)⊙P與該直線相交時(shí)，橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）
A．5B．6C．7D．8
15．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移( )
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
16．（2022秋·湖北鄂州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）中，，，，以為圓心所作的圓與邊僅一個(gè)交點(diǎn)，則半徑為______．
17．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在Rt△ABC中，，，，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊所在直線相離，則r的取值范圍為________；若與邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍為________．
18．（2022秋·河北秦皇島·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，，，以為圓心，為半徑作，與線段有交點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍是______．
19．（2022春·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)O在邊上，且，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個(gè)公共點(diǎn)，那么半徑r取值范圍是______.
20．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為5，圓心O到直線l的距離為d，若與直線l有公共點(diǎn)，則d的取值范圍____．
21．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）已知，P是OA上的一點(diǎn)，cm，以r為半徑作⊙P，若cm，則⊙P與的位置關(guān)系是_____，若⊙P與相離，則r滿足的條件是_____．
22．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，為邊上的中線，，以點(diǎn)為圓心，r為半徑作．如果與中線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么的半徑r的取值范圍為_______．
23．（2022秋·黑龍江雙鴨山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直線l上有相距7cm的兩點(diǎn)A和O（點(diǎn)A在點(diǎn)O的右側(cè)），以O(shè)為圓心作半徑為1cm的圓，過(guò)點(diǎn)A作直線AB⊥l．將⊙O以2cm/s的速度向右移動(dòng)（點(diǎn)O始終在直線l上），則⊙O與直線AB在_____秒時(shí)相切．
24．（2022秋·貴州遵義·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)以的速度在邊上沿的方向運(yùn)動(dòng)．以為圓心作半徑為的圓，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與三邊所在直線首次相切和第三次相切的時(shí)間間隔為__________秒．
25．（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，半徑為1cm的⊙的圓心在直線上，且與點(diǎn)的距離為8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向運(yùn)動(dòng)，那么_________秒后⊙與直線相切.
26．（2022秋·福建南平·九年級(jí)順昌縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)，，半徑為的圓的圓心P在直線上，且與點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)以的速度由A向B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為________ 時(shí)，與直線相切．
27．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的半徑OC=10cm，直線l⊥OC，垂足為H，且l交⊙O于A，B兩點(diǎn)，AB=16cm，則l沿OC所在直線向下平移_________cm時(shí)與⊙O相切．
28．（2018秋·江蘇·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓心O恰好為正方形ABCD的中心，已知AB=10，⊙O的半徑為1，現(xiàn)將⊙O在正方形內(nèi)部沿某一方向平移，當(dāng)它與正方形ABCD的某條邊相切時(shí)停止平移，設(shè)此時(shí)的平移的距離為d，則d的取值范圍是_______．
29．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，求平移的距離．
30．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求的值；
（2）將該直線向上平移個(gè)單位，若平移后得到的直線與半徑為6的相離（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），試求的取值范圍.
題型3：切線的性質(zhì)與判定
類型1-切線的性質(zhì)
（2023春·重慶永川·九年級(jí)重慶市永川萱花中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，是的切線，為切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
類型2-切線長(zhǎng)定理
（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等．
【問(wèn)題解決】如圖，現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為的正方形空地，在邊取一點(diǎn)，以長(zhǎng)為直徑，在這個(gè)正方形的空地內(nèi)建一個(gè)半圓形兒童游樂場(chǎng)，過(guò)點(diǎn)劃出一條與這個(gè)半圓相切的分割線，正方形位于分割線右下方的部分作為娛樂區(qū)，娛樂區(qū)的最大面積等于（）
A．B．C．D．
類型3-切線的判定
例1：（2022秋·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心、的長(zhǎng)為半徑的與相切于點(diǎn)A，與相交于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
例2：（2023春·北京順義·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，與相切于A點(diǎn)，B，C是上的另外兩點(diǎn)，連接，，
(1)求證：是的切線；
(2)若，的半徑為5，，求的長(zhǎng)．
綜合訓(xùn)練
1．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)A，連接，若，則的度數(shù)是（）
A．65°B．60°C．55°D．50°
2．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，，分別與相切于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交于點(diǎn)．若，則長(zhǎng)為（）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·山東·統(tǒng)考一模）．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓與邊相切于點(diǎn)，與，分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
4．（2023秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P為外一點(diǎn)，分別切于點(diǎn)A、B，是的直徑，若，，則的周長(zhǎng)為（）
A．8B．C．20D．
5．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖是個(gè)一不倒的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿，分別相切于點(diǎn)A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若，則的度數(shù)為（）．
A．B．C．D．
6．（2023秋·青海西寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，為的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接交于點(diǎn)，交弦于點(diǎn)．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）
A．B．
C．D．是等邊三角形
7．（2023春·重慶云陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，P為外一點(diǎn)，、分別切于A、B兩點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)D，連接，若，則為（）度．
A．28B．30C．31D．34
8．（2022秋·廣東汕尾·九年級(jí)華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校校考階段練習(xí)）為外一點(diǎn)，、分別切于點(diǎn)、，切于點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)、，若，則的周長(zhǎng)為（）
A．6B．8C．10D．12
9．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，它的周長(zhǎng)為22，若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D三點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）
A．6B．8C．4D．3
10．（2023秋·四川南充·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，以為直徑作．與相切于點(diǎn)E，若，則的半徑長(zhǎng)為（）
A．B．C．8D．2
11．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，木工用角尺的短邊緊靠于點(diǎn)A，長(zhǎng)邊與相切于點(diǎn)B，角尺的直角頂點(diǎn)為C．已知，，則的半徑為 _____．
12．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考一模）將一把直尺，一塊含有的直角三角板和一張光盤如圖擺放，已知點(diǎn)A為三角板角與直尺的交點(diǎn)，點(diǎn)B為直尺與光盤的交點(diǎn)，，則光盤直徑是______.
13．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，，C為上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D．
(1)求證：平分；
(2)若，求的長(zhǎng)．
14．（2023·北京海淀·人大附中?？家荒＃┤鐖D，是的外接圓，是的直徑，交于點(diǎn)E，直線與相切于點(diǎn)A，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，．
(1)求證：；
(2)若，，求AF的長(zhǎng)．
15．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是半圓O的直徑，，點(diǎn)D是線段延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線垂直于射線于點(diǎn)D，在直線上選取一點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)D的上方），使，將射線繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．
(1)若，求點(diǎn)C與點(diǎn)O之間距離的最小值；
(2)當(dāng)射線與相切于點(diǎn)C時(shí)，求劣弧的長(zhǎng)度；
16．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，．O為邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作半圓，分別于與邊交于點(diǎn)D、E，連接．
(1)______°；
(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)過(guò)點(diǎn)E作半圓O的切線，當(dāng)切線與邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F．求證：．
17．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，是邊上的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作．
(1)尺規(guī)作圖：求作，使得與直線相切；（保留作圖痕跡）
(2)求（1）中的半徑．
18．（2023春·江蘇徐州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與相切于，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
(1)求證：是的平分線．
(2)若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．
19．（2022·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，弦與交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如果，，D為的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求的長(zhǎng)．
20．（2023·陜西西安·高新一中?？既＃┤鐖D，已知的邊所在的直線是的切線，切點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)圓心并與圓交于點(diǎn)、，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)若的半徑是，，求的長(zhǎng)．
21．（2023·陜西西安·校考一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，為的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)的切線于點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，的直徑為，求的長(zhǎng)．
22．（2023春·北京豐臺(tái)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且是的切線，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)連接，若，求的長(zhǎng)．
23．（2023·安徽亳州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，是的弦，半徑，垂足為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．
(1)若，，求的長(zhǎng)；
(2)求證：．
24．（2023·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？家荒＃┮阎喝鐖D，是的切線，A為切點(diǎn)．
(1)過(guò)點(diǎn)P作的另一條切線，且B為切點(diǎn)．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）的情況下，連接，的半徑為2，，求的長(zhǎng)．
25．（2023春·江西南昌·九年級(jí)南昌市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，直線與相切于點(diǎn)A，直線與相切于點(diǎn)，點(diǎn)（異于點(diǎn)）在上，點(diǎn)在上，且，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
(1)求證：是的切線；
(2)求證：．
26．（2023秋·天津河西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，是⊙O的切線，，為切點(diǎn)，是⊙O的直徑．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，，求⊙O的半徑．
27．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，是的切線，，為切點(diǎn)，是的直徑，連接、，交于點(diǎn)．
求證：
(1)；
(2)．
28．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，是的直徑，E為上的一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．且．
(1)求證：為的切線；
(2)若，，則________．
29．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以的邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與邊交于點(diǎn)E，D為的下半圓弧的中點(diǎn)，連接交于F，若．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求陰影部分的面積．
30．（2023·新疆烏魯木齊·烏魯木齊八一中學(xué)校考一模）如圖，在中，，以的中點(diǎn)O為圓心，為直徑的圓交于D，E是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于F．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
31．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┤鐖D，內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)A作平行線，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接、．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
32．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)在直徑上（點(diǎn)與A，兩點(diǎn)不重合），，點(diǎn)在上滿足，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的值．
33．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長(zhǎng)到，連接，．
(1)求證：是的切線；
(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)等于________．
34．（2023春·江西宜春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為10，對(duì)角線交于點(diǎn)P，以邊為直徑畫交于點(diǎn)F．
(1)過(guò)點(diǎn)P作，垂足為E，求證：是的切線；
(2)若，求弦的長(zhǎng)．
35．（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)D為斜邊的中點(diǎn)，以為直徑作，分別與，邊交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，過(guò)點(diǎn)F作，垂足為G．
(1)求證：是的切線；
(2)已知的半徑為，若，求的長(zhǎng)．
36．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）如圖，內(nèi)接于，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．是外一點(diǎn)，連接，，于點(diǎn)．已知，，．
(1)求證：是的切線．
(2)求的長(zhǎng)．
37．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，以為直徑作交的中點(diǎn)于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
(1)求證：為的切線．
(2)求的長(zhǎng)．
38．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求證：是的切線；
(3)若，求的半徑和的長(zhǎng)．
題型4：三角形的外接圓
類型1-三角形外心的確定與坐標(biāo)
例1：（2022·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，O為銳角三角形ABC的外心，四邊形OCDE為正方形，其中E點(diǎn)在△ABC的外部，則O也是下列哪個(gè)三角形的外心（）
A．△AED的外心B．△AEB的外心C．△ACD的外心D．△BCD的外心
例2：（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）
A．（1，3）B．（3，1）C．（2，3）D．（3，2）
例3：（2023春·河北張家口·九年級(jí)張家口市第五中學(xué)?？计谀┤鐖D，，O為中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段上（不與點(diǎn)O，B重合）．將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形，，分別切優(yōu)弧于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P，Q在異側(cè)，連接．
(1)求證：；
(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）；
(3)若的外心在扇形的內(nèi)部，求的取值范圍（直接寫出答案）．
類型2-計(jì)算外接圓半徑
（2022·河南焦作·統(tǒng)考一模）一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為12，另外兩邊長(zhǎng)是一元二次方程的兩根，則這個(gè)三角形外接圓的半徑是（）
A．B．5C．D．8
綜合訓(xùn)練
1．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州市豐潭中學(xué)?？计谥校┲苯侨切蔚耐庑脑冢? ）
A．直角頂點(diǎn)B．直角三角形內(nèi)C．直角三角形外D．斜邊中點(diǎn)
2．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為r，則的面積為（）
A．B．C．D．
3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，，則外接圓面積的最小值為( )
A．B．C．D．
4．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則外接圓半徑的長(zhǎng)為（）.
A．B．C．D．
5．（2023秋·河北張家口·九年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，．則的外心坐標(biāo)為 _____．
6．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)?？计谀┰O(shè)為的外心，若，則的度數(shù)為______．
7．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C、D、E、F在小正方形的頂點(diǎn)上，則外接圓的圓心是點(diǎn)____________，弧的長(zhǎng)是____________．
8．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)．
（1）△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為___________，外接圓⊙P的半徑是___________．
（2）以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的得到△A1B1C1，請(qǐng)?jiān)趛軸左側(cè)畫出△A1B1C1；點(diǎn)P(a，b)為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)P在△A1B1C1內(nèi)部的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為___________．
9．（2022秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖為5×5的網(wǎng)格圖，A，B，C，D，O均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)O是__________（填字母序號(hào)）
A． △ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的內(nèi)心 D．△ABC的內(nèi)心
10．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎粋€(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為和，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑為_____________．
11．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，線段，C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊和等邊連接，外接于，則半徑的最小值為______．
12．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢第三寄宿中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，，，，四個(gè)格點(diǎn)．
(1)直接寫出的度數(shù)為：____________；在平面內(nèi)僅用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)畫出的外接圓；
(2)請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作出（1）中弧的中點(diǎn)E和的高；
(3)請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺在上找一點(diǎn)，使．
13．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在中，，，D是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．設(shè)．
(1)求證：；
(2)求長(zhǎng)度的最小值；
(3)用含α的代數(shù)式表示；
(4)若的外心在該三角形的內(nèi)部時(shí)，，直接寫出m，n的值．
14．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在小正方形的格點(diǎn)上．
(1)請(qǐng)找出的外接圓的圓心O，并標(biāo)明圓心O的位置；
(2)請(qǐng)以圓心O為位似中心，在點(diǎn)O的下方畫出邊放大2倍后的線段．
15．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)在圖中作出的外接圓；
(2)（1）中所作圓的圓心坐標(biāo)為___________，位于圓上在第一象限內(nèi)的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有___________個(gè)；
(3)在軸的正半軸上有一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是___________．
16．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上．D在邊AB格點(diǎn)上．
(1)請(qǐng)找出的外心O；
(2)請(qǐng)用無(wú)刻度直尺在邊上找出所有使得與相似的點(diǎn)E．
17．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形為圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角線、交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，且，．
求證：
(1)；
(2)A為的外心（即外接圓的圓心）．
18．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中．
(1)外接圓的圓心坐標(biāo)是；
(2)外接圓的半徑是；
(3)已知與（點(diǎn)D、E、F都是格點(diǎn)）成位似圖形，則位似中心M的坐標(biāo)是；
(4)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中的空白處畫一個(gè)格點(diǎn)，使，且相似比為．
19．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，．
(1)求作的外接圓；（要求，尺規(guī)作圖，不寫作法．保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，的平分線交于點(diǎn)．連接．若，，求的長(zhǎng)．
20．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．
(1)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△；
(2)在（1）的條件下，求邊掃過(guò)的面積；
(3)直接寫出外接圓的圓心坐標(biāo)：．
21．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市景范中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
(1)若的外接圓的圓心為M，則圓心M的坐標(biāo)為________；
(2)的外接圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是________；
(3)的外接圓的弧的長(zhǎng)是________．
22．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)桐鄉(xiāng)市第七中學(xué)校考期中）如圖，已知正．
(1)請(qǐng)用直尺與圓規(guī)作正的外接圓，并保留作圖痕跡；
(2)若點(diǎn)P是正的外接圓上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），求的度數(shù)．
23．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)校考期中）如圖，已知給定等邊及邊上點(diǎn)D．
(1)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，D的（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論）．
(2)若，求的長(zhǎng)．（說(shuō)明：O為（1）小題所作圓的圓心）
24．（2023秋·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段，在線段的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以、為邊作等邊三角形和等邊三角形，外接，
(1)的外接圓的圓心是的________（外心或內(nèi)心）；點(diǎn)的位置是否發(fā)生改變________（變或不變）．
(2)若，為直角三角形時(shí)，求的值．
(3)點(diǎn)在的內(nèi)部，直接寫出的取值范圍．
(4)求半徑的最小值．
25．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期末）在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)．
(1)若為的外接圓，請(qǐng)寫出圓心P的坐標(biāo)，并說(shuō)明點(diǎn)D與的位置關(guān)系．
(2)連接，，則_________．
26．（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在88的方格中，已知的各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上
(1)如圖，請(qǐng)僅用一把無(wú)刻度的直尺按要求作圖（請(qǐng)直接用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作圖，不要求寫作法）．找出外接圓的圓心．
(2)若，試求的半徑．
題型5：三角形的內(nèi)切圓
類型1-三角形內(nèi)心的確定
（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？家荒＃┬∮晖瑢W(xué)要找到到三角形的內(nèi)心，根據(jù)下列各圖中圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到此點(diǎn)的是（）
A．B．
C．D．
類型2-計(jì)算內(nèi)切圓半徑
（2023秋·陜西延安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，是的內(nèi)切圓，分別切邊于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．
(1)求的半徑．
(2)若Q是的外心，連接，求的長(zhǎng)度．
類型3-三角形內(nèi)心的性質(zhì)
例1：（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切圓圓O與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，則的度數(shù)是（）
A．B．C．D．
例2：（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知O是的內(nèi)心，連接，，．若內(nèi)切圓的半徑為2，的周長(zhǎng)為12，求的面積．
類型4-三角形內(nèi)心與外心的綜合
56．（2022秋·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，與的角平分線相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的外接圓于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；
(2)證明：點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上；
(3)若，，求內(nèi)心與外心之間的距離．
綜合訓(xùn)練
1．（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，可成功確定三角形內(nèi)心的是（）
A．B．
C．D．
2．（2023·甘肅隴南·校考一模）如圖，與的的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，若，則的半徑為（）
A．5B．4C．3D．2
3．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為M，N，Q，已知，，，則的半徑為（）
A．B．C．1D．2
4．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D所示，點(diǎn)為的內(nèi)心，，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且．甲、乙、丙三人有如下判斷：
甲：；
乙：四邊形的面積是定值；
丙：當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值．
則下列說(shuō)法正確的是( )
A．只有甲正確B．只有丙錯(cuò)誤
C．乙、丙都正確D．甲、乙、丙都正確
5．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）以下列三邊長(zhǎng)度作出的三角形中，其內(nèi)切圓半徑最小的是（）
A．8，8，8B．4，10，10C．5，9，10D．6，8，10
6．（2023秋·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)I為的內(nèi)心，，，，將平移使其頂點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）
A．6B．5.5C．5D．4
7．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，I為的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)I作，分別交于D、E，則的周長(zhǎng)為（）
A．12B．14C．16D．24
8．（2023秋·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)從四塊全等的等腰直角三角形紙板上裁下四塊不同的紙板（陰影部分），使得陰影面積盡可能大，他們的具體裁法如下：
甲同學(xué)：如圖1所示裁下一個(gè)正方形，面積記為；
乙同學(xué)：如圖2所示裁下一個(gè)正方形，面積記為；
丙同學(xué)：如圖3所示裁下一個(gè)半圓，使半圓的直徑在等腰的直角邊上，面積記為；
丁同學(xué)：如圖所示裁下一個(gè)內(nèi)切圓，面積記為；
則下列判斷正確的是（）
①；②；③在，，，中，最小
A．①②B．②③C．①③D．①②③
9．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O是的內(nèi)心，也是的外心．若，則的度數(shù)（）
A．B．C．D．
10．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)I為三角形的內(nèi)心，若為，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
11．（2023秋·河北衡水·九年級(jí)衡水桃城中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，，，，I為的內(nèi)心，，，則的周長(zhǎng)為（）
A．6B．5C．4.8D．4
12．（2023秋·河北張家口·八年級(jí)張家口市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，點(diǎn)為三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，度，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且．甲、乙、丙三位同學(xué)有如下判斷：
甲：度；
乙：四邊形的面積是不變的；
丙：當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最小值．
其中正確的是（）
A．只有丙正確B．只有甲、乙正確C．只有乙、丙正確D．甲、乙、丙都正確
13．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，截三邊所得的弦長(zhǎng)相等，若，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
14．（2021秋·貴州黔西·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，的內(nèi)切圓與兩直角邊、分別相切于點(diǎn)D、E，過(guò)劣?。ú话ǘ它c(diǎn)D、E）上任一點(diǎn)P作的切線，與、分別交于點(diǎn)M、N，，，則的周長(zhǎng)為______．
15．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，是邊E上的高，分別是的內(nèi)切圓，則與的面積比為_____________．
16．（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，已知，，，是的內(nèi)切圓，點(diǎn)E、F、D分別為切點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______．
17．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，圓O是的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)．若，則__________．
18．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，是的內(nèi)切圓，，則的大小是____________．
20．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)I為的內(nèi)心，點(diǎn)O為的外心，若，則______．
21．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)校考一模）如圖，在中，，，，于D，E為邊上的點(diǎn)；再作，使得，，解答：
(1)當(dāng)時(shí)，證明：；
(2)求線段的最小值；
(3)若的內(nèi)心在的外部，直接寫出的范圍．
22．（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，在中，，，請(qǐng)你利用自己所學(xué)知識(shí)解決下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)你利用尺規(guī)作出的外接圓，圓心記作O（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）
(2)的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的差為__________．（不必作出內(nèi)切圓，直接寫出答案）
23．（2023秋·河北滄州·九年級(jí)?？计谀╅喿x材料：如圖，的周長(zhǎng)為，面積為，內(nèi)切圓☉的半徑為，探究與，之間的關(guān)系．
解：連接、、．
∵，
，
，
∴，
∴
解決問(wèn)題：
(1)利用探究的結(jié)論，計(jì)算邊長(zhǎng)分別為5，12，13的三角形內(nèi)切圓半徑．
(2)如圖，若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)，且面積為，各邊長(zhǎng)分別為，，，，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式．
(3)若一個(gè)邊形(為不小于3的整數(shù))存在內(nèi)切圓，且面積為，各邊長(zhǎng)分別為，，，，…，，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式(不需說(shuō)明理由)．
24．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，為半徑作，點(diǎn)．請(qǐng)用無(wú)刻度直尺完成下列畫圖：
(1)畫的平分線交于點(diǎn)；
(2)將弦繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的線段；
(3)畫的內(nèi)心，并直接寫出內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)．
25．（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谀┮阎鐖D，點(diǎn)為扇形弧上一動(dòng)點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作，，的內(nèi)心為，設(shè)，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．

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