題型1：垂徑定理的應(yīng)用
類型1-利用垂徑定理進(jìn)行證明
（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，A、B是上的兩個(gè)點(diǎn)，連接、點(diǎn)C，D是、上靠近圓心O的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、F是的三等分點(diǎn)，連接，，
(1)求證：
(2)連接，，請(qǐng)你判斷，的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）連接、，根據(jù)同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等得到，證明即可證得結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)M，連接，根據(jù)垂徑定理的推論和同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等得到，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)平行線的判定可作出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：連接、，則，
∵C、D為、三等分點(diǎn)，
∴，
∵E、F為的三等分點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
取的中點(diǎn)M，連接，則，
∴，，
∴，
∵為等腰三角形，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等、垂徑定理的推論、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．
類型2-利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算
（2022秋·遼寧大連·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的直徑，是的弦，，垂足為M，，求弦的長(zhǎng)．
【答案】8
【分析】由題意可得，，根據(jù)勾股定理可得，可得．
【詳解】解：
直徑，
．
，
．
，
，．
．
．
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理和勾股定理．
類型3-垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度米，拱高米．
(1)求圓弧所在的圓的半徑的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)洪水泛濫到跨度只有米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有米，即米時(shí)，是否要采取緊急措施？
【答案】(1)
(2)不需要采取緊急措施
【分析】（1）連接，利用表示出的長(zhǎng)，在中根據(jù)勾股定理求出的值即可；
（2）連接，在中，由勾股定理得出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，據(jù)此可得出結(jié)論．
【詳解】（1）連接，
由題意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）連接，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取緊急措施．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
類型4-利用垂徑定理作圖
（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．（保留作圖痕跡）
(1)在圖1中的圓上找到格點(diǎn)D，使得；
(2)在圖2中的圓上找到點(diǎn)E，使點(diǎn)E平分弦所對(duì)的?。?br>【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是找到滿足條件的格點(diǎn) ；
（2）根據(jù)垂徑定理，過(guò)點(diǎn)O和弦的中點(diǎn)作直線與相交，交點(diǎn)滿足要求．
【詳解】（1）滿足條件的點(diǎn)有、、，如圖1所示，
（2）過(guò)點(diǎn)O和弦的中點(diǎn)作直線與相交于點(diǎn)和點(diǎn)，據(jù)垂徑定理，則點(diǎn)和點(diǎn)滿足要求．
【點(diǎn)睛】此題通過(guò)作圖考查了圓周角定理和垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是正確作圖的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若平分，則B．若，則平分
C．若垂直平分，則圓心在上D．若圓心在上，則垂直平分
【答案】C
【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、垂直于弦的直徑平分弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)圓心，原說(shuō)法正確，符合題意；
D、若也是直徑，則原說(shuō)法不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時(shí)熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．
2．（2023秋·安徽合肥·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論判斷即可．
【詳解】解：∵是的直徑與弦交于點(diǎn)，，
根據(jù)垂徑定理及其推論可得，點(diǎn)B為劣弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴， ，
但不能證明，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及其推論，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理及其推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?br>3．（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，由，得到，根據(jù)垂徑定理得，，再在中和在中分別利用勾股定理求出，，然后討論：當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，為垂足，交與，連，，如圖，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
當(dāng)圓點(diǎn)在、之間，與之間的距離；
當(dāng)圓點(diǎn)不在、之間，與之間的距離；
所以與之間的距離為7或1．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，即垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约胺诸愑懻摰乃枷氲倪\(yùn)用．
4．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，直徑弦，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由垂徑定理得，由“等弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半”推知，由三角形內(nèi)角和定理求得，代入即可得到答案．
【詳解】在中，直徑弦，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
5．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩個(gè)同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
【答案】A
【分析】解決此題首先要弄清楚AB在什么時(shí)候最大，什么時(shí)候最小．當(dāng)A′B′與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)可知A′B′最??；當(dāng)AB經(jīng)過(guò)同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)AB最大，由此可以確定所以AB的取值范圍．
【詳解】解：如圖，當(dāng)AB與小圓相切時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
當(dāng)AB經(jīng)過(guò)同心圓的圓心時(shí)，弦AB最大且與小圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)AB=10，
所以AB的取值范圍是8≤AB≤10．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓中的有關(guān)性質(zhì)．利用垂徑定理可用同心圓的兩個(gè)半徑和與小圓相切的大圓的弦的一半構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解題這是常用的一種方法，也是解決本題的關(guān)鍵，注意臨界值．
6．（2021·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)珠海市斗門(mén)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（ ）
A．AB＝DCB．AB＜DCC．AB＜2DCD．AB＞2DC
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根據(jù)∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、BE，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，
又∵∠COD＝∠AOB，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD，
∴CD＝AE＝BE，
∵在△ABE中，AE＋BE＞AB，
∴2CD＞AB，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和圓心角定理，根據(jù)∠AOB＝2∠COD利用垂徑定理將角平分，從而根據(jù)圓心角定理得出答案是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)校考期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，若，，則（ ）
A．B．C．11D．15
【答案】D
【分析】連接，，根據(jù)，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，得到，，從而得到H、I分別是、的中點(diǎn)，利用中位線定理即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，連接，，
∵，，弧，弧的中點(diǎn)分別是、、、，
∴，，
∴H、I分別是、的中點(diǎn)，
∴
∵，，
∴，
∴，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中位線定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，根據(jù)垂徑定理得到，．
8．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，直徑過(guò)弦的中點(diǎn)G，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)垂徑定理的推論，得到，利用圓周角定理即可得解．
【詳解】解：∵直徑過(guò)弦的中點(diǎn)G，
∴，
∵，
∴的度數(shù)均為，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑，平分弦所對(duì)的弧，是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，一個(gè)縱截面為半圓的容器水平放置，然后向其中倒入部分液體，測(cè)得數(shù)據(jù)如圖（單位：cm），則液面寬度（ ）
A．8cmB．4cmC．D．
【答案】D
【分析】過(guò)圓心，作，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)圖示得出，勾股定理即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)圓心，作，則
在中，，，
∴，
∴,
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是弧的中點(diǎn)，弦，，且，則弧所在圓的半徑為（ ）
A．4B．5C．6D．10
【答案】B
【分析】設(shè)弧所在的圓的圓心為點(diǎn)O，連接，設(shè)圓O的半徑為r，可得點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)共線，，再由勾股定理得到關(guān)于r的方程，即可求解．
【詳解】解：如圖，設(shè)弧所在的圓的圓心為點(diǎn)O，連接，設(shè)圓O的半徑為r，
∵C是弧的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴點(diǎn)C，D，O三點(diǎn)共線，，
∵，，
∴，
解得：．
即弧所在圓的半徑為5．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，關(guān)鍵是定出圓心，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理列出關(guān)于半徑的方程．
11．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）為了測(cè)量圓形工件的直徑．
甲：如圖1，在工作臺(tái)上用邊長(zhǎng)相同的兩個(gè)立方體小木塊頂在圓形工件的兩側(cè)，測(cè)得兩木塊間的距離b和小木塊的邊長(zhǎng)a即可；
乙：如圖2，把兩個(gè)小木塊換成兩個(gè)相同的小圓柱，量得圓柱半徑n和兩個(gè)圓心之間的距離m即可．
下面的說(shuō)法正確的是（ ）
A．甲對(duì)乙不對(duì)B．甲不對(duì)乙對(duì)C．兩人都不對(duì)D．兩人都對(duì)
【答案】D
【分析】甲：如圖1，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，
根據(jù)圖形可知：，，利用垂直定理以及勾股定理即可作答；乙：如圖2，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，
根據(jù)圖形可知：，，同理利用垂直定理以及勾股定理即可作答．
【詳解】
甲：如圖1，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，
根據(jù)圖形可知：，，
∵，
∴，
設(shè)圓O的半徑為r，
∴，
在中，有：，
∴，
解方程即可求出r，即甲的說(shuō)法正確；
乙：如圖2，連接，，，過(guò)O點(diǎn)作于E點(diǎn)，交圓O點(diǎn)F，
根據(jù)圖形可知：，，
設(shè)圓O的半徑為r，
同理可得：，
解方程即可求出r，即乙的說(shuō)法正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理的知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，一條排水管的截面半徑dm，水面寬dm，則排水管中水的最大深度為（ ）
A．4dmB．3dmC．2dmD．1dm
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂徑定理求出，的值，即為所求．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
則：，，
∴，
∴排水管中水的最大深度為；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用．熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，水平放置的圓柱形輸油管道的截面半徑是，油面寬為，則截面上有油部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接、，過(guò)點(diǎn)O作，根據(jù)題意得出為等邊三角形，利用三角函數(shù)得出，結(jié)合圖形得出，，兩個(gè)面積作差即可得出結(jié)果．
【詳解】如圖，連接、，過(guò)點(diǎn)O作，
∵，
∴為等邊三角形，
∴， ．
∵，，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】題目主要考查不規(guī)則圖形的面積及等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，理解題意，作出圖形，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
14．（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高cm，底面直徑cm，球的最高點(diǎn)到瓶底面的距離為cm，則球的半徑為（ ）cm（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）．
A．7.5B．7C．6.5D．6
【答案】A
【分析】如詳解中圖所示，將題中主視圖做出來(lái)，用垂徑定理、勾股定理計(jì)算即可.
【詳解】如下圖所示，設(shè)球的半徑為rcm，
則OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG過(guò)圓心，且垂直于AD，
∴G為AD的中點(diǎn)，
則AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解方程得r=7.5，
則球的半徑為7.5cm．
故選擇：A
【點(diǎn)睛】本題考查了主視圖、垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，準(zhǔn)確做出立體圖形的主視圖是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與相切于點(diǎn)，且，則________．
【答案】##
【分析】連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)垂徑定理，得出，進(jìn)而得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)余弦的定義，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵直線與相切于點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、垂徑定理、銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正確作出輔助線．
16．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在以點(diǎn)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦切小圓于點(diǎn)，若，則圓環(huán)的面積是________．
【答案】
【分析】如圖，連接、，設(shè)，，由切線的性質(zhì)得，，由垂徑定理得，，由勾股定理得，，由即可求出圓環(huán)的面積．
【詳解】
如圖，連接、，設(shè)，，
大圓的弦切小圓于點(diǎn)，
，
，
，
在中，，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及圓與圓環(huán)的面積計(jì)算，掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，以為直徑作半圓，為的中點(diǎn)，連接，以為直徑作半圓，交于點(diǎn)．若，則圖中陰影部分的面積為 _____．
【答案】##
【分析】如圖，連接，根據(jù)求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵以為直徑作半圓，為的中點(diǎn)，
∴，，
∵是小圓的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積的計(jì)算，垂徑定理，垂徑定理的推論，直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求面積．垂徑定理的推論，可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論敘述為：一條直線①過(guò)圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧，在應(yīng)用垂徑定理解題時(shí)，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．
18．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測(cè)該水池的大小，觀測(cè)員在A，D兩點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿AD方向走到F點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．測(cè)得米，米，米，則所在圓的半徑為_(kāi)____________米，所在圓的半徑為_(kāi)_________米．
【答案】 5 ##
【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)Q， 根據(jù)圓的對(duì)稱性，可知∶ 所在圓的圓心、 所在圓的圓心都在上，設(shè)所在圓的圓心為O、 所在圓的圓心為，過(guò)作于點(diǎn)P，連接，，，則四邊形是矩形，得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求，利用勾股定理可求，在中，利用勾股定理得出，然后求解即可；證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，在和中，利用勾股定理可得出，求出，進(jìn)而求出即可．
【詳解】解∶過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)Q，
根據(jù)圓的對(duì)稱性，可知∶ 所在圓的圓心、 所在圓的圓心都在上，
設(shè)所在圓的圓心為O、 所在圓的圓心為，
過(guò)作于點(diǎn)P，連接，，，
則四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案為：5，．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是______寸．
【答案】
【分析】連接，依題意，得出，設(shè)半徑為，則，在中，，解方程即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵，，，為的半徑，
∴，
設(shè)半徑為，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴直徑為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
20．（2022秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，發(fā)明于唐，是一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，為半徑的圓，且圓心在水面上方．圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，若盛水桶P到水面AB的距離為2m，則的度數(shù)為_(kāi)________．
【答案】或
【分析】過(guò)點(diǎn)作半徑于，連接，根據(jù)垂徑定理得出，解得出，根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)，分類討論即可求解．
【詳解】過(guò)點(diǎn)作半徑于，連接，如圖，
∴
在中，
∴,則
∵到水面的距離為到
∴,
∴或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，垂徑定理，勾股定理，得出是解題的關(guān)鍵．
21．（2023秋·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是博物館展出的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期車輪實(shí)物，《周禮·考工記》記載：“…故兵車之輪六尺有六寸，田車之輪六尺有三寸…”據(jù)此，為驗(yàn)證博物館展出車輪類型，我們可以通過(guò)計(jì)算車輪的半徑推斷．如圖2所示，在車輪上取A、B兩點(diǎn)，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為．作弦的垂線，D為垂足，經(jīng)測(cè)量，，，則此車輪半徑為_(kāi)_____．通過(guò)單位換算（在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，一尺大約是左右），得到車輪直徑約為六尺六寸，可驗(yàn)證此車輪為兵車之輪．
【答案】75
【分析】由垂徑定理得，利用勾股定理得，解得．
【詳解】解：，，
，
由題意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即車輪半徑為．
故答案為：75．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．
22．（2023·天津和平·天津市第五十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，上的點(diǎn)，圓心均在格點(diǎn)上，
（1）_____________；
（2）若點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)，，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)，的位置是如何找到的（不要求證明）____________________．
【答案】 作直徑的垂直平分線交半圓于，連接，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直徑的垂直平分線交于，過(guò)作的垂線交于，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．
【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理確定圓心，連接，由勾股定理可求出的長(zhǎng)；
（2）作直徑的垂直平分線交半圓于，連接，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)， 最長(zhǎng)
【詳解】解：（1）如圖，
，
故答案為：；
（2）如圖，點(diǎn)，，即為所畫(huà)，
作直徑的垂直平分線交半圓于，連接則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直徑的垂直平分線交于，過(guò)作的垂線交于，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．
理由如下：
由作圖可得：，
∴，
∴，
∴，
∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，是的垂直平分線，
∴，，
∴，
∴當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．
故答案為：作直徑的垂直平分線交半圓于，連接則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，直徑的垂直平分線交于，過(guò)作的垂線交于，當(dāng)E，O，三點(diǎn)共線時(shí)，最長(zhǎng)，則點(diǎn)即為所求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心的確定，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理以及在網(wǎng)格中確定三角形外接圓圓心，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．
23．（2021秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在以AB為直徑的圓中，弦CD⊥AB，M是AB上一點(diǎn)，射線DM，CM分別交圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，求證EF⊥AB．
【答案】證明見(jiàn)解析．
【分析】利用垂徑定理和線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)證得∠C＝∠D，再根據(jù)圓周角定理和平行線的判定證明EF∥CD，即可得結(jié)論．
【詳解】證明：∵AB是直徑，CD⊥AB，
∴AB垂直平分CD，
∴MC＝MD，
∴∠C＝∠D，
∵∠C＝∠E，
∴∠E＝∠D，
∴CD∥EF，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理是解答的關(guān)鍵．
24．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB、CD為⊙O的兩條弦，AB∥CD，經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)E的直徑MN與CD交于F點(diǎn)，求證：CF＝DF
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)垂徑定理進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵E為AB中點(diǎn)，MN過(guò)圓心O，
∴MN⊥AB ，
∴∠MEB＝90°，
∵AB∥CD ，
∴∠MFD＝∠MEB＝90°，
即MN⊥CD ，
∴CF＝DF．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的運(yùn)用，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條?。?br>25．（2021春·福建廈門(mén)·九年級(jí)廈門(mén)海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，內(nèi)接于，且為直徑，為上一點(diǎn)且，求證：為等腰三角形．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角可得∠ACB=90°，然后證明OD⊥AC，根據(jù)垂徑定理可得，進(jìn)而可得結(jié)論．
【詳解】∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∴△ADC為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定，掌握垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．
26．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．
(1)求證：．
(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)小圓的半徑r為
【分析】（1）過(guò)O作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知E為和的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；
（2）連接，由條件可求得的長(zhǎng)，則可求得和的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，在中可求得的長(zhǎng)；
【詳解】（1）證明：過(guò)O作于點(diǎn)E，如圖1，
由垂徑定理可得
∴
∴
（2）解：連接，如圖2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圓的半徑r為．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．
27．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外接圓，，于點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)垂徑定理以及勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵是的外接圓，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，，
∴，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
28．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，，半徑，垂足為點(diǎn)．
(1)求的度數(shù)；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)，證明，即可得到．
(2)利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵是的直徑，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）由題意知圓的半徑為4，所以．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
29．（2022秋·吉林四平·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，是的一條弦，且于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)3
【分析】（1）由等邊對(duì)等角可得，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，最后根據(jù)等量代換即可解答；
（2）根據(jù)垂徑定理可得，設(shè)的半徑為r，則、結(jié)合可得，最后在中運(yùn)用勾股定理列式計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵是的直徑，且于點(diǎn)E，，
∴．
設(shè)的半徑為r，則，．
∵，
∴．
在中，，
∴，解得，
∴的半徑為3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理成為解答本題的關(guān)鍵．
30．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)連接AC，若AB＝10，CD＝4，求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接AC，運(yùn)用圓周角定理和垂徑定理可以判定AC⊥BC，OD⊥AC，證得結(jié)論；
（2）連接OC，構(gòu)造直角三角形：Rt△CDE和Rt△OCE，設(shè)DE=x，則OE=5-x．利用勾股定理列出方程，通過(guò)解方程求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度即可．
【詳解】（1）證明：如圖，連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∴；
（2）解：如圖，連接OC，連接AC，交OD于E，
由（1）可得，OD⊥AC，
∴AC=2AE=2CE．
∵AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴設(shè)DE＝x，則OE＝5﹣x．
在Rt△CDE中，．
在Rt△OCE中，，
∴，
解得．
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，垂徑定理以及勾股定理．根據(jù)勾股定理列出方程是關(guān)鍵．
31．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D在上，經(jīng)過(guò)圓心O的線段于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，已知半徑為5．
（1）若，，求的長(zhǎng)；
（2）若，且，求弦的長(zhǎng)；
【答案】（1）7；（2）8
【分析】（1）連接AO和DO，由垂徑定理得，再由勾股定理求出OF的長(zhǎng)，同理求出OE的長(zhǎng)，即可求出EF的長(zhǎng)；
（2）連接BO和DO，先由垂徑定理和勾股定理求出OE的長(zhǎng)，設(shè)，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的長(zhǎng)，即可求出AB的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）連接AO和DO，
∵，且EF過(guò)圓心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如圖，連接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進(jìn)行運(yùn)用求解．
32．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)，，．
(1)該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_____．
(2)求弧ABC的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理結(jié)合網(wǎng)格的性質(zhì)可得答案；
（2）借助網(wǎng)格求出圓心角度數(shù)和半徑，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：由垂徑定理可知，圓心是AB、BC中垂線的交點(diǎn)，
由網(wǎng)格可得該點(diǎn)P(2，0)，
故答案為：(2，0)；
（2）解：連接AC，
根據(jù)網(wǎng)格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，
∠AOP=∠PQC=90°，
由勾股定理得，
AP= =PC，
∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，
∴AP2+CP2=AC2，
∴∠APC=90°，
∴弧ABC的長(zhǎng)為，
答：弧ABC的長(zhǎng)為π．
【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算、垂徑定理，勾股定理及其逆定理等知識(shí)，掌握垂徑定理以及網(wǎng)格特征是確定圓心坐標(biāo)的關(guān)鍵，求出弧所在圓的半徑和相應(yīng)圓心角度數(shù)是求弧長(zhǎng)的前提．
33．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考一模）如圖，已知A，B，C均在⊙O上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺作圖．
(1)如圖1，若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，試畫(huà)出的平分線；
(2)若，點(diǎn)D在弦上，在圖2中畫(huà)出一個(gè)含角的直角三角形．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）連接并延長(zhǎng)與圓O交于點(diǎn)E，連接即為所求；
（2）連接并延長(zhǎng)交圓O于N，延長(zhǎng)交圓O于M，連接，，則即為所求；
【詳解】（1）解：如圖所示，連接并延長(zhǎng)與圓O交于點(diǎn)E，連接即為所求；
∵D是的中點(diǎn)，
∴，
∴，即平分；
（2）如圖所示，連接并延長(zhǎng)交圓O于N，延長(zhǎng)交圓O于M，連接，則即為所求；
∵，
∴，
∵是圓的直徑，
∴，
∴，
∴是含的直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓周角定理等等；解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)．
34．（2023·陜西西安·校考二模）【問(wèn)題提出】
（1）如圖①，在等腰直角中，，為等邊三角形，，則線段BD的長(zhǎng)為_(kāi)__________；
【問(wèn)題解決】
（2）如圖②，在等腰直角中，，以AC為直徑作半圓O，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)B、D之間的最大距離；
【問(wèn)題探究】
（3）一次手工制作課程中，老師要求小明和小麗組制作一種特殊的部件，部件的要求如圖③，部件是由直角以及弓形BDC組成，其中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，，這時(shí)候小明和小麗在討論這個(gè)部件，其中小麗說(shuō)點(diǎn)A到的最大距離是點(diǎn)A、D之間的距離，小明說(shuō)不對(duì)，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出點(diǎn)A到的最大距離．
【答案】（1）；（2）；（3）小明的說(shuō)法正確，見(jiàn)解析，
【分析】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)E，根據(jù)題意BD是AC的垂直平分線，通過(guò)解直角三角形解出BE與DE的長(zhǎng)，兩者相加即可解題．
（2）結(jié)合圖形，可知B，O，D三點(diǎn)共線時(shí)，BD有最大值，根據(jù)解直角三角形解出BO的長(zhǎng)，加上半圓的半徑，即可解答．
（3）作輔助線如圖，證明，即說(shuō)明小明的說(shuō)法正確；可知弓形的圓心在上，當(dāng)通過(guò)勾股定理求出半徑的長(zhǎng)度，再算出的長(zhǎng)，即可解答．
【詳解】解：（1）
如圖，連接BD交AC于點(diǎn)E ，
是等腰直角三角形，為等邊三角形，
，,
在與中，
，
，
，，
根據(jù)三線合一，可得垂直平分，
，
，
，
，，
．
（2）如圖②，連接BO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則此時(shí)BD最大．
在上取一點(diǎn)異于點(diǎn)D的點(diǎn)，連接、．
在中，，
，
，即．
最大
在等腰直角中，，O為AC的中點(diǎn)，
且．
．
．
點(diǎn)B、D之間的最大距離為．
（3）小明的說(shuō)法正確．
如圖③，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線AF，延長(zhǎng)DE交AF于點(diǎn)F．
點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，，
所在的圓的圓心O在直線DF上．
設(shè)圓O半徑為r，連接BO．
在中，，
且，
，得．
連接AO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為最大距離．
在中，，且，
小明的說(shuō)法正確．
在中，．
．
．
點(diǎn)A到的最大距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
35．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小明所在學(xué)習(xí)興趣小組在探究“如何測(cè)量環(huán)形花壇面積（陰影部分）”的方法，準(zhǔn)備了下列工具：①卷尺；②直木條（足夠長(zhǎng)）；③T型尺（EF所在的直線垂直平分線段CD）．
(1)在圖1中，請(qǐng)你用T形尺的原理畫(huà)出大圓圓心的示意圖（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）．
(2)如圖2，小明說(shuō)：“我只用一根直木條和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積，具體做法如下：將直木條放留到與小圓相切，用卷尺量出此時(shí)直木條與大圓兩交點(diǎn)G，H之間的距離，就可求出環(huán)形花壇的面積．”如果測(cè)得，請(qǐng)你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）直線的交點(diǎn)即為所求
（2）設(shè)切點(diǎn)為，連接，根據(jù)垂徑定理得出，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求，
（2）如圖所示，設(shè)切點(diǎn)為，連接，
∵是切線，
∴，
∴，
在中，，
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
36．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺按要求畫(huà)圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡（用虛線表示畫(huà)圖過(guò)程，實(shí)線表示畫(huà)圖結(jié)果）
(1)如圖，①在線段上找一點(diǎn)，使；
②過(guò)點(diǎn)作直線將四邊形的面積二等分；
(2)如圖，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過(guò)了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，，請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)圓的圓心．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）①在上取點(diǎn)，使為等腰直角三角形即可．
連接，，相交于點(diǎn)，作直線即可．
（2）設(shè)點(diǎn)下方圓所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，作線段，的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．
【詳解】（1）如圖，點(diǎn)即為所求．
如圖，直線即為所求．
（2）如圖，圓心即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理，熟練掌握等腰直角三角形、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
37．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖已知收線的圓片上有三點(diǎn)，，．
(1)作出這個(gè)圓片的圓心（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)連接，，，設(shè)是等腰三角形，底邊，腰，求該圓片的半徑．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；
（2）連接交于，連接，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，則，設(shè)半徑為，勾股定理得：，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：分別作的垂直平分線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，
（2）解：如圖，連接交于，連接，．
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)半徑為，
，
根據(jù)勾股定理得：，
，
答：圓片的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，作垂直平分線，垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
38．（2023秋·北京平谷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知劣弧，如何等分？下面給出兩種作圖方法，選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖，并補(bǔ)全證明過(guò)程．
方法一：①作射線、；
②作的平分線，與交于點(diǎn)C；
點(diǎn)C即為所求作．
證明：∵平分，
∴
∴___（_____）（填推理的依據(jù)）．
方法二：①連接；
②作線段的垂直平分線，直線與交于點(diǎn)C；
點(diǎn)C即為所求作．
證明：∵垂直平分弦，
∴直線經(jīng)過(guò)圓心O，
∴___（___）（填推理的依據(jù)）．
【答案】方法一：畫(huà)圖見(jiàn)解析，，，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；方法二：畫(huà)圖見(jiàn)解析，，，垂徑定理．
【分析】方法一：按照作圖語(yǔ)句提示作圖，再根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系進(jìn)行證明即可；
方法二：按照作圖語(yǔ)句提示作圖，再根據(jù)垂徑定理進(jìn)行證明即可；
【詳解】解：方法一：如圖，點(diǎn)C即為所求作．
證明：∵平分，
∴
∴（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等）．
方法二：如圖，點(diǎn)C即為所求作．
證明：∵垂直平分弦，
∴直線經(jīng)過(guò)圓心O，
∴（垂徑定理）．
【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)雜的作圖，平分弧的作圖，熟練的利用基本作圖解決復(fù)雜的作圖是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了角平分線的定義，線段的垂直平分線的性質(zhì)．
39．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，由小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．經(jīng)過(guò)A、、三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．（保留連線痕跡）
(1)在圖（1）中的上畫(huà)一點(diǎn)，使；
(2)在圖（2）中過(guò)A、、的圓上找一點(diǎn)，使平分．
【答案】(1)圖見(jiàn)詳解
(2)圖見(jiàn)詳解
【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，即可求得點(diǎn)；
（2）作線段的垂直平分線，交圓于點(diǎn)，連接即可．
【詳解】（1）解：找到格點(diǎn)，使得，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，如圖：
則點(diǎn)即為所求；
（2）解：連接，找到格點(diǎn)、，使得、，連接，交圓于點(diǎn)．連接，則即為所求，如圖：
【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，幾何作圖，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理，幾何作圖是解題的關(guān)鍵．
40．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)合肥壽春中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的圓的圓心在邊上．
(1)線段的長(zhǎng)等于__________；
(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的圓上，畫(huà)出一個(gè)點(diǎn)D，使其滿足的度數(shù)小于的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
(3)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出一個(gè)點(diǎn)P，使其滿足，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）______________________________________________．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）在直線上方的弧上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)C在內(nèi)，連接，，延長(zhǎng)，與交于E，根據(jù)外角的性質(zhì)可得大??；
（3）取圓與網(wǎng)格的交點(diǎn)，，連接與交于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)是圓心，與網(wǎng)格線相交于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與，的連線相交于點(diǎn)，連接，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：由勾股定理可得：；
故答案為：；
（2）如圖，點(diǎn)D即為所求；
連接，，延長(zhǎng)，與交于E，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，，連接與交于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)是圓心，
與網(wǎng)格線相交于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與點(diǎn)，的連線相交于點(diǎn)，連接，
則點(diǎn)滿足．
理由：第一步：連接得圓心，因?yàn)?，所以是直徑?br>第二步：點(diǎn)根據(jù)網(wǎng)格相似比，可以知道為的中點(diǎn)，所以是垂徑．
第三步：連接并延長(zhǎng)，交于，是半徑等于，所以，
，，
，又，，
，
，
，
，
又，，，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，外角的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
41．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示．
(1)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)都在圓上．畫(huà)出該圓的圓心E，并畫(huà)出的中點(diǎn)F；
(2)如圖，點(diǎn)O為網(wǎng)格點(diǎn)，和為的直徑，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，畫(huà)出點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)I，連接交于K，在上畫(huà)點(diǎn)Q，使得．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）如圖，連接、交于點(diǎn)E，由、可知、是直徑，
則交點(diǎn)E為該圓的圓心；在矩形中，連接、交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接
并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為的中點(diǎn)；
（2）如圖，連接交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交于I，則點(diǎn)I為點(diǎn)D關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，
連接交于K，可得，同理作點(diǎn)I關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)J，則
，是的中位線，所以，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，
，結(jié)合可得，所以是直徑，則，延長(zhǎng)交
于點(diǎn)，，可得，即為所求．
【詳解】（1）解：如圖所示，圓心E，的中點(diǎn)F即為所求；
（2）解：如圖所示，，即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，利用了圓周角定理的推論，垂徑定理的推論，矩形的性質(zhì)，作軸對(duì)稱圖形，軸
對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，將復(fù)雜作圖逐步轉(zhuǎn)化為基
本作圖是解題的關(guān)鍵．
42．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，由小正方形構(gòu)成的66網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．⊙O經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖(畫(huà)圖過(guò)程用虛線，結(jié)果用實(shí)線）．
(1)在圖1中畫(huà)出圓心點(diǎn)O；
(2)在圖2中的圓上畫(huà)一點(diǎn)E，使平分?。?br>(3)在圖3中的圓上畫(huà)一點(diǎn)M，使平分．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)，連接，則，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為O點(diǎn)；
（2）連接，則，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)P；
（3）連接并延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)M．
【詳解】（1）解：如圖，連接，交于一點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求作的圓心；
（2）解：連接，交于一點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)；
（3）解：連接并延長(zhǎng)，交于一點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，連接，
根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握垂徑定理．
43．（2022秋·吉林延邊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓心角相等，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：B．
題型2：弦、弧、圓心角之間的關(guān)系
類型-1 利用弦、弧、圓心角之間的關(guān)系求解
（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C都在上，B是的中點(diǎn)，，則等于________．
【答案】##80度
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出，然后根據(jù)圓心角、弧的關(guān)系即可求出答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵B是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧的的關(guān)系，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
類型-2 利用弦、弧、圓心角之間的關(guān)系證明
（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，C為弧上一點(diǎn)，于M，于N，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】連接,根據(jù)已知可證明，得，再根據(jù)相等的圓心角所對(duì)的弧相等，即可證明．
【詳解】證明：連接．
∵，，
∴．
∵，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查圓心角的性質(zhì)，三角形全等的證明，熟練掌握同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是半圓O的內(nèi)接四邊形，是直徑，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，求出的度數(shù)，連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而求出的度數(shù)，再利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形是半圓O的內(nèi)接四邊形，，
∴，
連接，
∵是直徑，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理．熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等弧所對(duì)的圓周角相等，是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·四川成都·九年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若弦長(zhǎng)等于半徑，則弦所對(duì)弧的度數(shù)是__________．
【答案】或
【分析】由于弦長(zhǎng)等于半徑，則可判斷由弦和經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩半徑組成等邊三角形，所以弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)是；由于弦所對(duì)弧有劣弧和優(yōu)弧，而弧的度數(shù)定義它所對(duì)的圓心角的度數(shù)，所以弦所對(duì)弧的度數(shù)是或．
【詳解】解：∵弦長(zhǎng)等于半徑，
∴由弦和經(jīng)過(guò)弦的端點(diǎn)的兩半徑組成等邊三角形，
∴弦所對(duì)弧的度數(shù)是或，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那它們所對(duì)應(yīng)的其余各組的量都分別相等的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．（2023春·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是______．
-
【答案】##34度
【分析】先由平角的定義求出的度數(shù)，由，根據(jù)相等的弧所對(duì)的圓心角相等可得，即可求解．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
4．（2022秋·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在扇形中，已知，，過(guò)弧的中點(diǎn)C作，，垂足分別為點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)__________．
【答案】##
【分析】用扇形的面積減去正方形的面積即可求出陰影部分的面積．
【詳解】解：連接，則：，
∵C為弧的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴四邊形為矩形，，
∴，
∴四邊形為正方形，
由勾股定理，得：，即：，
∴，
即：正方形的面積為，
∴陰影部分的面積；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分的面積．解題的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
5．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．分別求和的度數(shù)．
【答案】，
【分析】根據(jù)等弧對(duì)等弦，得出，根據(jù)等邊對(duì)等角即可求得的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)圓周角定理即可求的度數(shù)．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧與弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）如圖，的內(nèi)接四邊形為正方形，P為弧的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)連接，求證： ；（從“”、“”中選擇一個(gè)填入，并完成證明）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)或，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，則，由P為弧的中點(diǎn)，得到，則，即可得到結(jié)論；
（2）若填，可以證明，結(jié)論得證；若填，連接，由P為弧的中點(diǎn)得到，再證，得到，，則垂直平分，結(jié)論即可得證．
【詳解】（1）解：∵的內(nèi)接四邊形為正方形，
∴，
∴，
∵P為弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）若填，證明如下：
∵P為弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵的內(nèi)接四邊形為正方形，
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴；
若填，證明如下：
連接，
∵P為弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵的內(nèi)接四邊形為正方形，
∴，
∴，
∴,
又∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的判定等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C，D是圓O上的點(diǎn)，，，分別交，，OC于點(diǎn)N，M．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）由得到，推出，而，即可證明問(wèn)題；
（2）由條件可以證明，即可證明．
【詳解】（1），
，
，
，
；
（2），
，，
，
，
，，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，三角形全等，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·云南昆明·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，為的弦，，，的平分線交于點(diǎn)D．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)求四邊形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（2）由是直徑得，進(jìn)一步求出，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得結(jié)論；
（2）由，即可求得答案．
【詳解】（1）∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵是直徑，
∴，
在中，，
∴；
∵的平分線交于點(diǎn)D，
∴；
∴，
∴；
∴在等腰中，，
∴四邊形的面積

．
故四邊形的面積是．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及其推論，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，弧、弦、圓心角的關(guān)系；熟練掌握?qǐng)A周角定理及其推論是解題關(guān)鍵．
9．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑作交于，交于，連接．試判斷，，之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】，理由見(jiàn)解析
【分析】連接，．根據(jù)題意得出與都是等邊三角形，繼而得出，根據(jù)圓心角與弦的關(guān)系即可得證．
【詳解】解：．理由如下：如圖，連接，．
，，
與都是等邊三角形．
．
．
．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，連接，，構(gòu)造弦所對(duì)的圓心角是解此題的關(guān)鍵．
10．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，且，是的三等分點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】連接，，根據(jù)，是的三等分點(diǎn)，得出，得出，由，，得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，同理可得，即可得證．
【詳解】證明：如圖，連接，．
，是的三等分點(diǎn)，
．
，．
又，
．
，，
．
．
，，
．
．
同理可得．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了弧與弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握弧與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
題型3：圓周角定理及其推論
類型1-圓周角定理
（2023秋·廣西防城港·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的外接圓，，的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓周角的定義即可求解．
【詳解】解：在中，
∵是所對(duì)的圓周角，是所對(duì)的圓心角，
∴由圓周角定理可得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的定義，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．
類型2-同弧、等弧所對(duì)的圓周角
（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，若是的直徑，是的弦，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由是的直徑推出，再求出的度數(shù)，由圓周角定理即可推出的度數(shù)．
【詳解】解：∵是的直徑，
∴，
∴在中，
，
∵，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓周角定理及其推論．
類型3-90°的圓周角與直徑
（2023·廣東珠海·珠海市文園中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，是半圓的半徑，點(diǎn)，在半圓上，若，則的度數(shù)為_(kāi)________．
【答案】##度
【分析】根據(jù)是半圓的半徑，得出，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得出，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求解．
【詳解】解：∵是半圓的半徑，
∴
∵，
∴，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2022秋·寧夏吳忠·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，，是上的三點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓周角定理即可得到答案．
【詳解】解：，
，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握在同圓或等圓中，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．
2．（2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，，均在上，若，則的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論．
【詳解】解：與是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角，，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，利用同弧所對(duì)的圓周角相等可求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，，C、D為上兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】如圖：連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為可得，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，最后根據(jù)正弦的定義列式求解即可．
【詳解】解：如圖：連接
∵為的直徑，
∴
∵，
∴
∴,,解得：．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、正弦的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握“直徑所對(duì)的圓周角為”和“同弧所對(duì)的圓周角相等”是解答本題的關(guān)鍵．
5．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，等腰內(nèi)接于，點(diǎn)D是圓中優(yōu)孤上一點(diǎn)，連接，已知，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出，再由同弧所對(duì)的圓周角相等即可得解答．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考三模）如圖，點(diǎn)A是中優(yōu)弧的中點(diǎn)，，C為劣弧上一點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)弧中點(diǎn)的定義可得進(jìn)而得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可解答．
【詳解】解：∵點(diǎn)A是中優(yōu)弧的中點(diǎn)，
∴
∴，
∴，
∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A的內(nèi)角四邊形對(duì)角互補(bǔ)成為解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在足球訓(xùn)練中，小明帶球奔向?qū)Ψ角蜷T(mén)PQ，僅從射門(mén)角度大小考慮，小明將球傳給哪位球員射門(mén)較好（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，得出最大，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵，
∴最大，
∴小明將球傳給丁球員射門(mén)較好，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形外角的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·安徽合肥·一模）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，連接．若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是，可得，由，可得，進(jìn)而可得．
【詳解】解：連接，
∵是的直徑，
∴，
，
，
．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，，，，都是上的點(diǎn)，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖所示，連接、，
∵點(diǎn)、、、都是上的點(diǎn)，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)、、、都是上的點(diǎn)，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，最后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得結(jié)果．
【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)定理，根據(jù)內(nèi)心得到．
11．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀⒁粋€(gè)含角的直角三角板和一個(gè)量角器按如圖所示的方式放置，，其中點(diǎn)所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為，連接交于點(diǎn)，則圖中的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取的中點(diǎn)，連接，由已知得出為的直徑，，在上，進(jìn)而得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，
∵，其中點(diǎn)所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為，
∴為的直徑，，在上，
∵
∴
∵
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角所對(duì)的弦是直徑，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，外角的平分線交于點(diǎn)，射線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為_(kāi)_____°．
【答案】40
【分析】根據(jù)已知可得，由圓周角定理可得，進(jìn)而求出，再利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)以及平角的定義可得，繼而利用角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】∵，
∴，
∴
∴，
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案為：40．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一塊圓形飛鏢游戲板，是的直徑，弦，，假設(shè)飛鏢投中游戲板上的每一點(diǎn)是等可能的（沒(méi)有投中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，投中游戲板陰影部分（含陰影邊界）的概率是________．
【答案】
【分析】連接，，設(shè)的半徑為，先求出，再證明，利用扇形面積除以圓的面積即可得到概率．
【詳解】解：連接，，
∵，
∴，
設(shè)的半徑為，
∴，
∴弦，
∴，
∴，
∴投中游戲板陰影部分（含陰影邊界）的概率是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
14．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，四邊形是平行四邊形，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則_____度．
【答案】
【分析】根據(jù)四邊形是平行四邊形，，得四邊形是菱形，由，過(guò)點(diǎn)，可得是的垂直平分線，可求得，再由圓周角定理即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，
即四邊形是菱形，
∴，
∵，過(guò)點(diǎn)，
∴，，即，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與特殊四邊形的綜合，掌握平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖，量角器的刻度線的兩端，分別在軸正半軸與軸負(fù)半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)位于該量角器上刻度處．
（1）若點(diǎn)在靠近點(diǎn)處，連接，則______；
（2）當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最大時(shí)，______．
【答案】 83.5°
【分析】（1）取的中點(diǎn)，如圖，利用量角器的讀數(shù)得到，再根據(jù)圓周角定理的推論判斷點(diǎn)在以為直徑的圓上，即點(diǎn)和量角器在同一個(gè)圓上，則根據(jù)圓周角定理得到；
（2）當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最大，利用鄰補(bǔ)角計(jì)算出，然后根據(jù)圓周角定理得到．
【詳解】解：（1）取的中點(diǎn)，如圖，
根據(jù)題意得，
，
點(diǎn)在以為直徑的圓上，即點(diǎn)和量角器在同一個(gè)圓上，
；
（2）當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最大，
，
，
．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
16．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知、是的兩條弦，且、，分別連結(jié)、并延長(zhǎng)，兩線相交于點(diǎn)P，若，則的半徑為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】利用直角三角形的勾股定理求出長(zhǎng)，進(jìn)而求出長(zhǎng)，連接，則為直徑，即可求出半徑．
【詳解】解：是圓內(nèi)接四邊形，
，
，
，，
，
，
連接BC，則直徑，
所以半徑為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的勾股定理，直角所對(duì)的弦是直徑，作出圓的直徑是解題的關(guān)鍵．
17．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接．
(1)求證；
(2)若的度數(shù)為，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接，首先證明，即可求解；
（2）根據(jù)的度數(shù)為，可得到，根據(jù)，且，即可求解．
【詳解】（1）如圖：連接
是的直徑
，即
又
．
（2）的度數(shù)為
又，且
．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和圓心角，弧、弦的關(guān)系，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
18．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，內(nèi)接于半圓O，為直徑，的平分線交于點(diǎn)F，交半圓O于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，且交于點(diǎn)P，連接．
求證：
(1)；
(2)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的概念得出，根據(jù)圓周角得出，再等量代換即可得證；
（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90度及垂直的定義易證，再根據(jù)等角的余角相等得出，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證．
【詳解】（1）∵平分
∴
∵與都是所對(duì)的圓周角
∴
∴
（2）∵為直徑
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，且
∴
即
∴
∴
即點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角、等角的余角相等、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D，在中，弦與直徑交于點(diǎn)，弦的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的的切線交于點(diǎn)．連接，，，且．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)4
【分析】（1）由圓周角定理的推論和切線的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出，．再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可推出，由同弧所對(duì)圓周角相等即可得出，從而推出，即證明；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由正切的定義可求出，再結(jié)合勾股定理可求出，再利用由等積法可求出．又易證，即得出，即點(diǎn)是的中點(diǎn)．由等腰三角形的性質(zhì)可得出點(diǎn)是的中點(diǎn)，即得出是的中位線，從而可求出．
【詳解】（1）證明：是的直徑，是的切線，
．
，．
又，
，
．
，
，
；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
．
∵，
∴，
∴．
，，，
，
，即點(diǎn)是的中點(diǎn)．
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
是的中位線，
．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理的推論，切線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
題型4：與園有關(guān)的最值問(wèn)題
類型1-最長(zhǎng)弦問(wèn)題
（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的弦，，點(diǎn)B是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，則的最大值是 _____．
【答案】
【分析】根據(jù)中位線定理得到的長(zhǎng)最大時(shí)，最大，當(dāng)最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．
【詳解】解：點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
，
當(dāng)取得最大值時(shí)，就取得最大值，當(dāng)是直徑時(shí)，最大，
連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
是的直徑，
．
，，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及解直角三角形的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時(shí)候的值最大，難度不大．
類型2-定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最值問(wèn)題
（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）圖1是一種推磨工具模型，圖2是它的示意圖，已知，，，點(diǎn)A在中軸線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且．
（1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到時(shí)，與相切，則___________dm．
（2）在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的最短距離為_(kāi)__________dm．
【答案】
【分析】（1）根據(jù)，即可求解；
（2）當(dāng)B、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，的距離最短，即可求解．
【詳解】解：（1）連接，∵與相切，
∴，
∴，
∴


故答案為：；
（2）當(dāng)B、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，的距離最短，如圖，
∵，，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，圓的基本性質(zhì)，切線的性質(zhì)，掌握與圓有關(guān)的最值的求解方法是解題關(guān)鍵．
類型3-隱圓問(wèn)題
（2022秋·北京東城·九年級(jí)北京二中校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為_(kāi)_____．
【答案】##
【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，且時(shí)，長(zhǎng)度最小, 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，長(zhǎng)度最大，然后求得最大值與最小值的差即可求解．
【詳解】解：，，，
，
將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，，
點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
如圖，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，且時(shí)，長(zhǎng)度最小，
，
，
最小值為．
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，長(zhǎng)度最大，
則最大值為
長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、圓的基本認(rèn)識(shí)，確定點(diǎn)的軌跡是本題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C(-2，0)為圓心，1為半徑的圓C上，Q是AP的中點(diǎn)，則OQ長(zhǎng)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】聯(lián)立正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，連接BP，連接BC并延長(zhǎng)，交圓C于點(diǎn)D．根據(jù)已知條件可得，所求OQ長(zhǎng)的最大值，即求PB長(zhǎng)的最大值，即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，BP取得最大值，為BD的長(zhǎng)．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，由勾股定理可得BC=的長(zhǎng)，進(jìn)而可得BD=BC+CD的長(zhǎng)，即可得出答案．
【詳解】解：聯(lián)立正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)，
得，解得，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，?1），
連接BP，連接BC并延長(zhǎng)，交⊙C于點(diǎn)D．
由反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)，
∴OQ=PB，
∴所求OQ長(zhǎng)的最大值，即求PB長(zhǎng)的最大值，
則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，BP取得最大值，即為BD的長(zhǎng)．
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
則OE=1，BE=2，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴OC=2，CE=CO-OE=1，
由勾股定理得BC=，
∴BD=BC+CD=，
∴OQ=．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、中位線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意，四邊形為矩形，，所以當(dāng)最小時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得解．
【詳解】解：連接
∵四邊形為正方形，，為圓O直徑，
∴，
∵，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，，
則：，
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)A外一點(diǎn)與圓心和圓上一點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大或最小是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心的半徑為2，點(diǎn)G為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則的最大值與最小值和為（ ）
A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】連接．利用三角形的中位線定理證明，求出的最大和最小值，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，連接．
∵，
∴，
∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)點(diǎn)G在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值，
當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，的值最小，最小值，
∴的最大值為3.5，的最小值為1.5，
∴DP的最大值與最小值和為．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．
4．（2023春·安徽黃山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)P是矩形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】由可得點(diǎn)P在以中點(diǎn)O為圓心為直徑的圓上，連接交圓于一點(diǎn)即為最短距離點(diǎn)，即可得到答案；
【詳解】解：∵，
∴點(diǎn)P在以中點(diǎn)O為圓心為直徑的圓上，如圖所示，
∴連接交圓于一點(diǎn)即為最短距離點(diǎn)P，如圖所示，
∵，，
∴，，
根據(jù)勾股定理可得，
，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓上最短距離問(wèn)題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A外一點(diǎn)到圓上最短距離點(diǎn)為與圓心連線的交點(diǎn)．
5．（2023·山東泰安·校考一模）如圖，矩形中，，，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，則最小值是（ ）
A．2B．C．4D．3
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，等于，勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，此時(shí)最小，等于，
因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，?br>所以，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以的最小值為，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱求線段和最小值，熟練掌握矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，的面積為，點(diǎn)M，N分別在、線段上運(yùn)動(dòng)，則長(zhǎng)度的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，長(zhǎng)度的最小即為線段的長(zhǎng)度，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得出，再由等面積法確定，由圓的面積得出，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作，交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，長(zhǎng)度的最小即為線段的長(zhǎng)度，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵的面積為，設(shè)半徑為r，
∴
，
，
即長(zhǎng)度的最小值為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查圓與三角形綜合問(wèn)題，包括含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，圓的面積等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
7．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知為等腰直角三角形，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，并繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)同角的余角相等求出，然后證明全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，再利用勾股定理列式求出，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接、，
∵，旋轉(zhuǎn)角為，
，
，
在和中，
，
，
，
在等腰中，，
，
當(dāng)點(diǎn)在線段時(shí)，有最小值為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的認(rèn)識(shí)，三角形的三邊關(guān)系，作輔助線構(gòu)造成全等三角形是解題的關(guān)鍵．
8．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，P是平面上的一個(gè)點(diǎn)，連接，，已知始終為直角，則線段長(zhǎng)的最大值為（ ）
A．6B．C．D．5
【答案】C
【分析】首先證明點(diǎn)P在以為直徑的上，連接，，則：，得到當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)O在線段上時(shí)，最大，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，此時(shí)最大，利用勾股定理求出即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵始終為直角，
∴點(diǎn)P在以為直徑的上，
連接，，則：，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)O在線段上時(shí)，最大，如圖，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，此時(shí)最大，
在中，，
∴，
∴，
∴最大值為．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查求線段的最大值．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)在圓上，利用三點(diǎn)共線，確定點(diǎn)的位置．
9．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在中，弦，點(diǎn)為圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，為上一點(diǎn)，且，，則周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____．
【答案】##
【分析】設(shè)的周長(zhǎng)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)直徑時(shí)，最長(zhǎng)；求出，，所以，，則最大為．
【詳解】解：設(shè)的周長(zhǎng)為，
則，
，
，
點(diǎn)是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)直徑時(shí)，最長(zhǎng)，
，
，，
，
，
，，
最大為；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓的基本概念，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用已知條件將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為．
10．（2023春·北京豐臺(tái)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等邊中，E，F(xiàn)分別是邊，上一點(diǎn)，且，若，則 ________，的最小值為_(kāi)__________．
【答案】 ； ；
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得到，，結(jié)合，即可得到，從而得到，即可得到，
作的外接圓連接，交圓于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)，即可得到答案；
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
作的外接圓連接，交圓于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)，
∴，
∵，，，
∴，
∴，， ，
∵，
∴，，
∴的最小值為：，
故答案為： ，；
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，圓，特殊三角形三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線找到最小距離點(diǎn)．
11．（2023·廣東云浮·?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)P是平行四邊形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 ，則線段的最小值為_(kāi)______．
【答案】##
【分析】先由圓周角定理得到點(diǎn)P在以為直徑的圓上，取中點(diǎn)O，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)O、P、A共線時(shí)取等號(hào)，如圖，過(guò)A作交延長(zhǎng)線于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和銳角三角形函數(shù)定義求得，，進(jìn)而利用勾股定理求得即可求解．
【詳解】解：∵，
∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，取中點(diǎn)O，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)O、P、A共線時(shí)取等號(hào)，如圖，過(guò)A作交延長(zhǎng)線于E，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴在中，，
∴，又，
∴線段的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角、圓上的點(diǎn)與已知點(diǎn)的最短距離、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，得到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解答的關(guān)鍵．
12．（2023秋·廣東珠?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，其中，，為上的動(dòng)點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為_(kāi)_____．
【答案】##
【分析】如圖，連接，作于H．首先證明點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為直徑的，連接，當(dāng)點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，利用勾股定理求出即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，連接．作于H．
∵點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為以為直徑的，連接，
當(dāng)點(diǎn)Q在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，
在中，∵，
∴，
∴，,
在中，，
∴的最大值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡，學(xué)會(huì)構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題．
13．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，并且，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到邊距離的最小值是________．
【答案】
【分析】由題意得，點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，1為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)交于M，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到的距離最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而可求得．
【詳解】由題意得，點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心，1為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，延長(zhǎng)交于M，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到的距離最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、最短問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)P位置．
14．（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長(zhǎng)為2，E為邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），沿折疊正方形，使得點(diǎn)B落在，連接，若點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】##
【分析】根據(jù)折疊及正方形性質(zhì)得到，結(jié)合F為線段的中點(diǎn)，即可得到，從而得到F為以為直徑的圓上的點(diǎn)，連接 即可得到答案；
【詳解】解：連接，以為直徑，中點(diǎn)為圓心作圓，連接即可得到最小距離點(diǎn)，如圖所示，
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，沿折疊正方形，使得點(diǎn)B落在，
∴，
∵F為線段的中點(diǎn)，
∴，
∴F為以為直徑的圓上的點(diǎn)，連接交圓于一點(diǎn)即為最小距離點(diǎn)，
根據(jù)勾股定理可得，
，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓上動(dòng)點(diǎn)最小距離問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點(diǎn)F為圓上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，找到最小距離點(diǎn)．
15．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形和等邊三角形，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為，的中點(diǎn)，，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的最大值為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】由題可知：點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，連接，，則：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：連接，
∵等邊三角形和等邊三角形，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為，的中點(diǎn)，，
∴
∴，，
∵繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，
∴點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，
∵，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，
即：；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，以及借助圓，求線段的最值．解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上．
16．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B在第一象限，且，，若以為直徑的與相切于點(diǎn)O，與相切于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，連接，則線段的最小值是______．
【答案】##
【分析】連接根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到線段的最小值為的長(zhǎng)度，然后根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理求解即可．
【詳解】如圖所示，連接
∵
∴當(dāng)點(diǎn)C，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD的的長(zhǎng)度最小，為的長(zhǎng)度，
∵，，以為直徑的與相切于點(diǎn)O，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∴線段的最小值是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析出當(dāng)點(diǎn)C，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD的的長(zhǎng)度最小．
17．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)執(zhí)信中學(xué)?？计谀┤鐖D，以為圓心，半徑為的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，于，點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____________．
【答案】
【分析】連接，作，連接，由可知，點(diǎn)F在以為直徑的圓M上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)最小，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出，即可解答．
【詳解】解：連接，作，連接，
∵，
∴
在中，，
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴點(diǎn)F在以為直徑的圓M上移動(dòng)，則，
當(dāng)點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)最小，最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用的輔助線解決問(wèn)題．
20．
21．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題解決：
(1)如圖①，半圓的直徑，點(diǎn)是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的面積最大值是______．
(2)如圖②，在扇形中，，，點(diǎn)、分別在和上，且，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．連接、，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖③，四邊形中，，，，四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)四邊形的面積存在最大值，最大值為；
(3)四邊形的面積存在最大值，最大值是
【分析】（1）如圖1，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至半圓的中點(diǎn)時(shí)，底邊上的高最大，即，求出此時(shí)的面積即可；
（2）作，垂足為，延長(zhǎng)交弧于點(diǎn)，則此時(shí)的面積最大，可求出其值；而面積為定值，故可得此時(shí)四邊形的面積的最大值；
（3）連接，作的外接圓，過(guò)作于，根據(jù)已知條件，可得是等邊三角形，即、、共線時(shí)，的面積最大，進(jìn)而根據(jù)，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至半圓的中點(diǎn)時(shí)，底邊上的高最大，即，
此時(shí)的面積最大值，
∴，
故答案為：；
（2）解：四邊形的面積存在最大值，
作，垂足為，延長(zhǎng)交弧于點(diǎn)，則此時(shí)的面積最大，如圖2：
，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，，
∴在中，，，
，
四邊形面積為，
四邊形的面積存在最大值，最大值為；
（3）解：四邊形的面積存在最大值，
連接，作的外接圓，過(guò)作于，如圖：
，，
，
、、、四點(diǎn)共圓，即在上，
，，
是等邊三角形，有，
在中，，
，
當(dāng)為中點(diǎn)，即、、共線時(shí)，的面積最大，此時(shí)，為直徑，
，
，
，
，
，
即四邊形的面積存在最大值，最大值是．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了三角形的面積、軸對(duì)稱、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓的直徑最大等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決最值問(wèn)題．
18．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在中，，，求面積的最大值．
【答案】
【分析】作出的外接圓，連接，，當(dāng)?shù)倪吷系母呓?jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，面積最大，如圖，過(guò)點(diǎn)O作，并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，得出為等邊三角形，則，，求出，則由三角形面積公式可得出答案．
【詳解】解：作出的外接圓，連接，，當(dāng)?shù)倪吷系母呓?jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，面積最大，
如圖，過(guò)點(diǎn)O作，并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，
∵，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，圓周角定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
19．（2020秋·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：已知P是半徑為10cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)．解答下列問(wèn)題：
（1）用尺規(guī)作圖作出圓心O的位置．（要求：保留所有的作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
（2）用三角板分別畫(huà)出過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦AB和最短弦CD．
（3）已知OP=6cm，過(guò)點(diǎn)P的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有 條．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）8
【分析】（1）利用過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，進(jìn)而畫(huà)出即可；
（2）利用最長(zhǎng)弦AB即為直徑和最短弦CD，即為與AB垂直的弦，進(jìn)而得出答案；
（3）求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，注意長(zhǎng)度為17、18、19的分別有兩條．
【詳解】解：（1）如圖所示：點(diǎn)O即為所求；
（2）如圖所示：AB，CD即為所求；
（3）如圖：連接DO，
∵OP=6cm，DO=10cm，
∴在Rt△OPD中，DP==8cm，
∴CD=16cm，
∴過(guò)點(diǎn)P的弦中，長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有：8條．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及勾股定理和垂徑定理，注意長(zhǎng)度為整數(shù)的弦不要漏解．
20．（2022·河北保定·保定十三中校考二模）石家莊市水上公園南側(cè)新建的摩天輪吸引了附近市民的目光．據(jù)工作人員介紹，新建摩天輪直徑為100m，最低點(diǎn)距離地面1m，摩天輪的圓周上均勻地安裝了24個(gè)座艙（本題中將座艙視為圓周上的點(diǎn)），游客在距離地面最近的位置進(jìn)艙，運(yùn)行一圈時(shí)間恰好是13分14秒，寓意“一生一世”．小明從摩天輪的底部出發(fā)開(kāi)始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)1周．
(1)小明所在座艙到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度為 m；
(2)在小明進(jìn)座艙后間隔3個(gè)座艙小亮進(jìn)入座艙（如圖，此時(shí)小明和小亮分別位于P、Q兩點(diǎn)），
①求兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長(zhǎng)）；
②求此時(shí)兩人所在座艙距離地面的高度差；
(3)受周圍建筑物的影響，當(dāng)乘客與地面的距離不低于時(shí)，可視為最佳觀賞位置，求最佳觀賞時(shí)間有多長(zhǎng)（不足一分鐘按一分鐘記）．
【答案】(1)101
(2)①m；②25m
(3)5分鐘
【分析】（1）根據(jù)題意得出最高點(diǎn)是直徑加即可；
（2）①求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；
②求出的長(zhǎng)即可，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可；
（3）求出達(dá)到最佳觀賞位置時(shí)，座椅所處的位置，進(jìn)而求出所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，由圓心角所占周角的百分比，得出最佳觀賞時(shí)間占13分14秒的百分比，通過(guò)計(jì)算可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，由題意可知，，，
當(dāng)座椅轉(zhuǎn)到點(diǎn)時(shí)，距離地面最高，此時(shí)，
故答案為：101；
（2）①圓周上均勻的安裝24個(gè)座椅，因此每相鄰兩個(gè)座椅之間所對(duì)的圓心角為，
，
的長(zhǎng)為，
答：兩人所在座艙在摩天輪上的距離（弧的長(zhǎng)）為；
②由題意得，兩人所在座艙距離地面的高度差就是的長(zhǎng)，
在中，，，
，
，
即兩人所在座艙距離地面的高度差為；
（3）如圖，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的座椅為點(diǎn)、點(diǎn)，當(dāng)座椅在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀賞位置最佳，
此時(shí)，，
，
，
的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，
因此最佳觀賞位置所持續(xù)的時(shí)間為：13分14秒的，
，
答：最佳觀賞時(shí)間有多長(zhǎng)約有5分鐘．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式是正確計(jì)算的關(guān)鍵．

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