題型1：矩形的性質(zhì)
類型1-利用矩形性質(zhì)求解
（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片中，，，將沿折疊到位置，交于點(diǎn)F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
類型2-利用矩形性質(zhì)證明
（2023秋·云南曲靖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形中，對角線，交于點(diǎn)O，把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B剛好落在線段上的點(diǎn)E處，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)F處，交于點(diǎn)G．
(1)求證：為等腰三角形；
(2)試判斷與的關(guān)系，并說明理由．
類型3-矩形的折疊問題
25．（2023春·山西晉城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐
問題情境：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．矩形紙片中，，．
操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，展開后折痕交于點(diǎn)E．
(1)的度數(shù)為______．
(2)求線段的長度．
拓展延伸：
(3)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在上，展開后折痕交于點(diǎn)F，連接．請判斷的形狀并說明理由．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·湖南長沙·八年級(jí)長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)，已知，則的大小是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·重慶·九年級(jí)重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在矩形的邊上，過A作交矩形對角線于點(diǎn)G，，，，則長度是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為矩形，且，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)且，連接、，且，，連接，則的長為（ ）
A．10B．C．D．
4．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，矩形中，，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段上任意一點(diǎn)，且于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則等于（ ）
A．6B．5C．D．
5．（2022秋·廣東肇慶·八年級(jí)廣東肇慶中學(xué)?？计谀┮阎喝鐖D，折疊長方形的一邊，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)E處，已知，，則的長是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2023·黑龍江綏化·?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在的平分線上時(shí)， 的長為（ ）
A．或B．4或C．或D．或
7．（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為E．若，則____．
8．（2022秋·福建莆田·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線，，，上．若直線且間距相等，，，則的值為______．
9．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在矩形上或其對角線上運(yùn)動(dòng)，，則長為________．
10．（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，在矩形中，交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為_________
11．（2022春·北京東城·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，過矩形的對角線上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關(guān)系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）
12．（2023·河南周口·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，E為射線上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，若，則BE＝_____．
13．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕，把紙片展平，連接．
（1）圖中是__________三角形；
（2）繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕，把紙片展平，如圖2，則__________，設(shè)與交于點(diǎn)P，若直線交直線于點(diǎn)O，，，則__________．
14．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)在上，延長交于點(diǎn).
(1)求證：；
(2)連接，若，求的度數(shù)．
15．（2022秋·浙江金華·九年級(jí)校考期中）如圖，四邊形是矩形，，，是上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)．連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段．
(1)求點(diǎn)到的距離；
(2)當(dāng)時(shí)，若此時(shí)點(diǎn)恰好落在對角線上，求的長．
16．（2023·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考一模）已知矩形，將其繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形．
(1)如圖1，若點(diǎn)在上，連接．
①求證：平分；
②連接交于點(diǎn)，若，，求的長．
(2)如圖2，若點(diǎn)，，在同一條直線上，與交于點(diǎn)，，，求的長．
17．（2023·山東青島·?？家荒＃┮阎壕€段和矩形如圖①擺放（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合），點(diǎn)F在邊上，，．如圖②．從圖①的位置出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，速度為．點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，，，與相交于點(diǎn)Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問題：
(1)當(dāng)時(shí)，求t的值；
(2)設(shè)五邊形的面積為，求S與t的關(guān)系式；
(3)當(dāng)時(shí)，求線段的長；
(4)當(dāng)t為何值時(shí)，五邊形的周長最小，最小是多少？直接寫出答案即可．
18．（2023春·湖南長沙·八年級(jí)長沙縣湘郡未來實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中存在矩形，點(diǎn)、點(diǎn)，且、滿足：（實(shí)數(shù)．
(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)如圖1，作的角平分線交軸于，的中點(diǎn)為，作交軸于，求的值（用含式子表示）；
(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，將矩形向右推倒得到矩形，使與重合，落在軸上，現(xiàn)在將矩形沿射線以1個(gè)單位/秒平移，設(shè)平移時(shí)間為，用表示平移過程中矩形與矩形重合部分的面積．
19．（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知矩形的對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，連接，，，且．求證：．
20．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在五邊形中，四邊形是矩形，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．與交于點(diǎn)G，將直線繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)若，且，求線段的長．
21．（2023秋·四川眉山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：；
(2)求證：．
22．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在矩形中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)將沿翻折，使點(diǎn)B恰好落在對角線上的點(diǎn)F處，AE交于點(diǎn)G．
①如圖①，若，求證：F為的中點(diǎn)；
②如圖②，當(dāng)，時(shí)，求的長．
(2)根據(jù)②所得數(shù)據(jù)，將矩形沿翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為，使點(diǎn)E，，D三點(diǎn)在一條直線上，如圖③，求此時(shí)的長．
題型2：菱形的性質(zhì)
類型1 應(yīng)用菱形的性質(zhì)求解
（2022秋·吉林長春·九年級(jí)長春市解放大路學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在菱形中，的垂直平分線交于點(diǎn)為垂足，連接，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
類型2應(yīng)用菱形的性質(zhì)證明
（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┤鐖D，已知菱形，點(diǎn)F在的延長線上，點(diǎn)E在的延長線上，且滿足．求證：是等邊三角形．
綜合訓(xùn)練
1．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，為菱形的對角線，已知，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在菱形 中，，， 分別是邊 和 的中點(diǎn)， 于點(diǎn) ，則 的度數(shù)是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·廣東揭陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形中，交于，于，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·重慶·九年級(jí)校考期末）如圖，四邊形是菱形，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，，則的長度是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)為________．
6．（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中?？计谥校┤鐖D，在菱形中，與相交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為______．
7．（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，將沿方向平移，使點(diǎn)落在上，則平移的距離為________．
8．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形紙片中，，，將紙片沿對角線剪開，再將沿射線的方向平移得到，當(dāng)是直角三角形時(shí)，平移的距離為___．
9．（2023春·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在菱形中，，，G為邊上一動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)H，當(dāng)取得最小值時(shí)，__________．
10．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，對角線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，，則的長是______．
11．（2023·陜西西安·交大附中分校校考三模）如圖，菱形的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)．若菱形的面積為，則的值為________．
12．（2023春·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，菱形的邊長為，其中對角線的長為，則菱形的面積為_________．
13．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，扇形的半徑為6，圓心角為，則陰影部分的面積是______．
14．（2022·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，是菱形的對角線，．
(1)請用尺規(guī)作圖法，作的垂直平分線，垂足為E，交于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）條件下，連接，求的度數(shù)．
15．（2023秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，分別交邊于點(diǎn)，交對角線于點(diǎn).
(1)試判斷的形狀，并說明理由；
(2)若，，求及的長；
(3)若，求的值.
16．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？贾軠y）如圖，已知菱形中，對角線、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，則四邊形的周長為 ．
17．（2023·四川巴中·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形中，，，對角線，交于點(diǎn)O，平分，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)E，連接．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求的長．
18．（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線，交于點(diǎn)O，，，連接，交于點(diǎn)F．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，直接寫出菱形的面積．
19．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線交于點(diǎn)F，延長到點(diǎn)C，使，延長到點(diǎn)D，使，連接
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求菱形的面積．
20．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，連接，求證：．
21．（2023秋·廣東河源·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在菱形中，對角線，交于點(diǎn)，交延長線于，交延長線于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求AC的長．
22．（2023春·北京海淀·九年級(jí)人大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在射線上，且．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)點(diǎn)G為線段的中點(diǎn)，射線交于點(diǎn)H，若，求線段的長．
23．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)莆田第二十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，中，為的中點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)連接，若平分，求的長
24．（2023秋·云南曲靖·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，為菱形的一條對角線，以為直徑作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，G為邊上一點(diǎn)，且．
(1)求證：為的切線；
(2)若，，求的半徑．
題型3：正方形的判定
類型1-應(yīng)用正方形的性質(zhì)求解
（2023·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，在正方形中，點(diǎn)在對角線上，，，，分別為垂足，連結(jié)，，若，則（ ）
A．5B．C．D．
類型2-利用正方形的性質(zhì)證明
（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？贾軠y）如圖，在正方形中，是邊上點(diǎn)，（與、不重合），連接，將沿所在的直線折疊得到，延長交于，連接，作，與的延長線交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：；
(2)求證：平分．
類型3-正方形的重疊面積問題
（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，將邊長為4的正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到正方形，連接，在旋轉(zhuǎn)角從0°到180°的整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，的面積為____________．
類型4-正方形的折疊問題
（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且．將沿對折至，延長交邊于點(diǎn)G，連接、．
(1)求證：；
(2)求的面積；
(3)在的條件下，求周長的最小值．
綜合訓(xùn)練
1．（2022·陜西西安·西安市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列四邊形中，對稱軸條數(shù)最多的四邊形是（ ）
A．平行四邊形B．等腰梯形C．菱形D．正方形
2．（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預(yù)測）如圖，有六根長度相同的木條，小明先用四根木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先將該活動(dòng)學(xué)具調(diào)成圖1所示菱形，測得，對角線，接著將該活動(dòng)學(xué)具調(diào)成圖2所示正方形，最后用剩下的兩根木條搭成了如圖3所示的圖形，連接，則圖3中的面積為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·重慶江北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形中，，，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，P為線段上任意一點(diǎn)，分別以、為邊在同側(cè)作正方形、，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，E、F、H分別為正方形的邊、、上的點(diǎn)，連接，，且，平分交于點(diǎn)G．若，則的度數(shù)為（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
6．（2022秋·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，是上一點(diǎn)，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合，，則正方形的邊長為（ ）
A．B．C．5D．4
8．（2022秋·貴州黔東南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B．若，則的長為（ ）
A．B．C．D．2
9．（2022秋·山西朔州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．正方形的邊長為4．以C為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)F，若再以C為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是AB邊延長線上一點(diǎn)，BE＝2，F(xiàn)是AB邊上一點(diǎn)，將△CEF沿CF翻折，使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)G落在AD邊上，連接EG交折痕CF于點(diǎn)H，則FH的長是（ ）
A．B．C．1D．
11．（2022秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的面積為12，點(diǎn)E在邊上，且，連接將沿折疊，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為F，延長交于點(diǎn)G，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則的長為（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，，為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)點(diǎn)處，連接，則的長為（ ）
A．B．C．D．
13．（2022春·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，以正方形中邊為一邊向外作等邊，則__．
14．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖．已知正方形紙片的邊，點(diǎn)P在邊上，將沿折疊，點(diǎn)A的應(yīng)點(diǎn)為．
（1）若時(shí)，的長為______﹔
（2）若點(diǎn)到邊或的距離為1，則線段的長為______．
15．（2023·湖北孝感·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)課上，老師將如圖邊長為2的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，為半徑的扇形（鐵絲的粗細(xì)忽略不計(jì)），則所得扇形的面積是______．
16．（2023秋·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，若大正方形與小正方形的面積之差是20，則與的面積之和是_________
17．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形內(nèi)三個(gè)相鄰的正方形面積分別為4，3和2，則圖中陰影部分的面積為_______．
18．（2023秋·河北唐山·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，有一塊邊長為2的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在A點(diǎn)，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB延長線交于點(diǎn)E，則四邊形AECF的面積是___________．
19．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，當(dāng)最小時(shí)，的長是______．
20．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，折疊邊長為4cm的正方形紙片，折痕是，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，分別延長、交于點(diǎn)F、G，若點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，則______cm．
21．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形紙片的邊長為12，E是邊上一點(diǎn)，連接，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，折痕與交于點(diǎn)H，點(diǎn)F在上，若，則的長為_____．
22．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在正方形外，連接，過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)F．若．則下列結(jié)論：
①；
②；
③點(diǎn)B到直線的距離為；
④．
其中正確的結(jié)論是________.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）
23．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，與分別交于點(diǎn)M，N． 請你回答下列問題：
(1)求證：．
(2)直接寫出的長．
(3)求的面積．
24．（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)校考周測）如圖，正方形的頂點(diǎn)C在直線a上，且直線a于M，直線a于N．
(1)求證：
(2)若點(diǎn)B，D到a的距離分別是1，2，求正方形的面積．
25．（2023春·重慶·九年級(jí)重慶一中校考階段練習(xí)）如圖，正方形的對角線和交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是上的一點(diǎn)，．
(1)用直尺和圓規(guī)完成以下基本操作：過點(diǎn)B作的角平分線交和分別于點(diǎn)F和點(diǎn)G（保留作圖痕跡，不寫作法）：
(2)求證：．
證明：在正方形中，，
∵，平分
∴______①
∴
又∵
∴
∴______②
在和中，
∴
∴______④
∴
26．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？贾軠y）如圖，四邊形是正方形，是等腰三角形，，．連接，過B作于F，連接，．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)當(dāng)變化時(shí)，的大小會(huì)發(fā)生變化嗎?請說明理由；
(3)試用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
27．（2023秋·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點(diǎn)H．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在上時(shí)，求證：；
(2)將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線右側(cè)時(shí)，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明；
②當(dāng)時(shí)，若，請直接寫出線段的長．
28．（2022秋·四川廣安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知E是正方形的邊上的一點(diǎn)，延長到點(diǎn)F使，連接，．
(1)能通過旋轉(zhuǎn)得到嗎？說明理由．
(2)連接，過點(diǎn)D作垂直于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．若，，求的長．
29．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)A，D重合，點(diǎn)H在邊上，且不與點(diǎn)A，B重合，連接與交于點(diǎn)E.若，求證：
30．（2022秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，E、F分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)若平分，且正方形的面積為36，連接，點(diǎn)P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，垂足分別為G、H．則_____．
31．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在正方形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)P．
(1)求的度數(shù)；
(2)求證：；
(3)在邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請畫出圖形并給予證明；若不存在，請說明理由；
(4)如圖2，在邊長為4的正方形中，將線段沿射線平移，得到線段，連接，則直接寫出的最小值是 ．
題型4：特殊平行四邊形的判定
類型1-矩形的判定
（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)O，請你再添一個(gè)條件，使得平行四邊形是矩形，則下列條件符合的是( )
A．平分B． C． D．
25．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接，與交于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)若，求的長．
類型2-菱形的判定
（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙兩人分別用一張矩形紙做一個(gè)折菱形的游戲．甲沿折疊使得點(diǎn)落在上，沿折疊使得點(diǎn)落在上，甲說得到的四邊形為菱形；乙沿折疊使得與重合，再折出，，乙說得到的四邊形為菱形；下列說法正確的是（ ）
（2023春·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，矩形，延長至點(diǎn)E，使，連接，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)連接交于點(diǎn)G．當(dāng)，時(shí)，求的長．
類型3-正方形的判定
（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E、D、F分別在邊上，且，，下列四個(gè)判斷中，不正確的是（ ）
A．四邊形是平行四邊形
B．如果平分，那么四邊形是菱形
C．如果，那么四邊形是矩形
D．如果且，那么四邊形是正方形
（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問題情境：
如圖1，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到 （點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)）．延長交于點(diǎn)，連接，
猜想證明：
(1)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)如圖2，若、請猜想線段與的數(shù)最關(guān)系并加以證明，解決問題；
(3)如圖1，若的面積為72，，請直接寫出的長．
綜合訓(xùn)練
1．（2023秋·遼寧朝陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)，是矩形B．當(dāng)，是菱形
C．當(dāng)，是菱形D．當(dāng)，是正方形
2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，要使平行四邊形為矩形，則可添加下列哪個(gè)條件（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線的情況下，添加以下哪個(gè)條件，能使平行四邊形ABCD是矩形（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形EFGH，在下列條件中，能使四邊形EFGH為矩形的是（ ）
A．AB＝CDB．AB⊥CDC．AC⊥BDD．
5．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十六中學(xué)?？计谀┮阎倪呅蜛BCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形B．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形
C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形D．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形
6．（2023秋·貴州六盤水·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，對角線，相交于點(diǎn)O，若添加一個(gè)條件，使得一定為菱形，該條件是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋·四川南充·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)O的直線交AD于E交BC于F，連接AF、CE，下列選項(xiàng)可以使四邊形AFCE是菱形的為（ ）
A．OE＝OFB．AE＝CFC．EF⊥ACD．EF＝AC
8．（2021秋·山東菏澤·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形 ABCD 的對角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，那么下列條件中，能判斷平行四邊形 ABCD 是菱形的為 （ ）
A．AO＝COB．AO＝BOC．∠AOB＝90°D．∠BAD＝∠ABC
9．（2022春·上海楊浦·八年級(jí)?？计谀╉槾芜B接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形，那么與只需滿足（ ）
A．垂直B．相等C．互相平分D．互相平分且垂直
10．（2023·廣西防城港·?？家荒＃┤鐖D，在正方形中，對角線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，交于點(diǎn)G，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C． D．四邊形是菱形
11．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)E、F在對角線上，且，要使四邊形為菱形，現(xiàn)有甲、乙、丙三種方案：
甲：只需要滿足；
乙：只需要滿足；
丙：只需要滿足．
則正確的方案是（ ）
A．甲、乙、丙B．甲、丙C．甲、乙D．乙、丙
12．（2023秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，對角線，相交于點(diǎn)，添加下列條件，能使菱形成為正方形的是（ ）
A．B．C．D．平分
13．（2023秋·福建漳州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對角線，交于點(diǎn)O，要使該矩形成為正方形，則應(yīng)添加的條件是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形內(nèi)有一點(diǎn)，與分別平分和，點(diǎn)為矩形外一點(diǎn)，連接，，若，則添加下列條件不能判定四邊形是正方形的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022秋·遼寧遼陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）有下列四個(gè)條件：①；②；③；④；從中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使平行四邊形為正方形，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為錯(cuò)誤的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
16．（2023·湖南湘潭·湘潭縣云龍中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形添加一個(gè)條件_____使得它成為矩形．（任意添加一個(gè)符合題意的條件即可）
17．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）平行四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，若要使平行四邊形成為矩形，則需要添加的一個(gè)條件是___________．（只寫出一種情況即可）
18．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形是菱形，從①，②，③中選擇一個(gè)作為條件后，使四邊形成為正方形，則應(yīng)該選擇的是______．（僅填序號(hào)）
19．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加條件_____，則四邊形AEDF是矩形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是菱形；若添加條件_____，則四邊形AEDF是正方形．
20．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD是△ABC的中線，過點(diǎn)A作AEBC，過點(diǎn)B作BEAD交AE于點(diǎn)E．
(1)求證：∠E＝∠ADB．
(2)當(dāng)△ABC滿足 條件時(shí)，四邊形ADBE是矩形？請說明理由．
21．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)O.
(1)添加一個(gè)條件：_____，則可判定四邊形是矩形；
(2)若，，則與的周長之差為_____________.
22．（云南省楚雄州部分地區(qū)2022-2023學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量作業(yè)四（開學(xué)考）數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形中，是對角線，，且，于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是邊、的中點(diǎn)，連接、分別交于點(diǎn)G、H．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求的面積．
23．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，延長到E，使，連接，，，若．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)連接，若，，求的長．
24．（2023春·江蘇·八年級(jí)?？贾軠y）如圖，在中，是上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)平行于的直線分別與、的外角的平分線交于點(diǎn)、．
(1)與相等嗎？證明你的結(jié)論．
(2)試確定點(diǎn)的位置，使四邊形是矩形，并加以證明．
25．（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形．
(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(2)填空：
①當(dāng)且時(shí)，四邊形的周長等于______；
②當(dāng)時(shí)，四邊形的形狀為______．
26．（2023·廣東深圳·校考一模）如圖，已知中，是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接．
(1)下列條件：
①是邊的中點(diǎn)；
②是的角平分線；
③點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱．
請從中選擇一個(gè)能證明四邊形是菱形的條件，并寫出證明過程；
(2)若四邊形是菱形，且，，求的長．
27．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，且．
(1)求證：；
(2)不添加輔助線，請你補(bǔ)充一個(gè)條件，使得四邊形是菱形；并給予證明．
28．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知在中，，，，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、出發(fā)沿、方向向點(diǎn)A、C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．以、為邊作平行四邊形，連接，交于點(diǎn)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．
(1)求四邊形的最大面積．
(2)填空：
①當(dāng)______時(shí)，四邊形是矩形；
②當(dāng)______時(shí)，四邊形是菱形．
29．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？贾軠y）如圖，在四邊形中，，，對角線、交于點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，連接．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求的長．
30．（2023·黑龍江綏化·校考模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以秒的速度運(yùn)動(dòng)，、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．問：
(1)求為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？
(2)四邊形可能是矩形嗎？如果可能，求出的值；如果不可能，說明理由；
(3)四邊形可能是菱形嗎？如果可能，求出的值；如果不可能，說明理由．
31．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形的對角線交于點(diǎn)F，延長到點(diǎn)C，使，延長到點(diǎn)D，使，連接
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求菱形的面積．
32．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中， 是邊上的中線，分別過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)且交于點(diǎn)連接
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若 求菱形的面積．
33．（2023春·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，在四邊形中，，過對角線的中點(diǎn)O，作，分別交邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求四邊形的面積．
34．（2022秋·廣東東莞·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對稱圖形為．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)連接，若，．求的值；
35．（2023春·江蘇·八年級(jí)校考周測）如圖，矩形中，點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，的延長線交于Q．
(1)求證：；
(2)若厘米，厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請用t表示的長；并求t為何值時(shí)，四邊形是菱形．
36．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校考期中）如圖，平行四邊形中，，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)連接，若，，則的長為 ．
37．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？贾軠y）如圖，在四邊形中，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于點(diǎn)M、N，連接、．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若四邊形的周長為52，，求的長．
38．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，矩形中，，點(diǎn)M，N分別為上一點(diǎn)，且，連接．
(1)當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是菱形；
(2)填空：①當(dāng) 時(shí)，四邊形是矩形；②當(dāng) 時(shí)，以為對角線的正方形的面積為．
39．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，是的平分線，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)F．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)當(dāng)滿足條件 時(shí)，四邊形是正方形．
40．（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對角線相交于點(diǎn)O．
(1)若，求證：矩形是正方形；
(2)請?zhí)砑右粋€(gè)異于（1）的條件，使矩形成為正方形，不用說明理由．
41．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，是的兩條中位線．我們探究的問題是：這兩條中位線和三角形的兩條邊所圍成的四邊形的形狀與原三角形的邊或角有什么關(guān)系？建議按下列步驟探索：
(1)圍成的四邊形是否必定是平行四邊形？
(2)在什么條件下，圍成的四邊形是菱形？
(3)在什么條件下，圍成的四邊形是矩形？
(4)你還能發(fā)現(xiàn)其他什么結(jié)論嗎？
42．（2022春·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，垂足為點(diǎn)是外角的平分線，，垂足為點(diǎn)．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形為正方形？給出證明．
43．（2023秋·山東棗莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，過點(diǎn)C的直線，D為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交直線與E，垂足為F，連接，．
(1)求證：；
(2)當(dāng)D在中點(diǎn)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？說明理由；
(3)在滿足（2）的條件下，當(dāng)滿足______條件時(shí)，四邊形是正方形（直接填寫答案）．
題型5：中點(diǎn)四邊形
（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．
(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)四邊形的對角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；
(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請寫出一種．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·湖南長沙·八年級(jí)長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，對角線與相交于點(diǎn)，已知，則的大小是（ ）
題型5：中點(diǎn)四邊形
（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、，順次連接、、、，得到四邊形即四邊形的中點(diǎn)四邊形．
(1)四邊形的形狀是______，請證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)四邊形的對角線滿足______條件時(shí)，四邊形是菱形；
(3)你學(xué)過的哪種特殊的平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形？請寫出一種．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，且，下列結(jié)論：①四邊形是菱形；②；③若，則；④；其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到四邊形，使四邊形為正方形，應(yīng)添加的條件分別是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
3．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是( )
A．平行四邊形B．對角線相等的四邊形
C．矩形D．對角線互相垂直的四邊
4．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形中，E、F、G、H分別是、、、的中點(diǎn)，若中點(diǎn)四邊形是菱形，那么原四邊形滿足什么條件（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·廣東佛山·校考一模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的是（ ）
A．不一定是平行四邊形B．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它為菱形
C．一定是軸對稱圖形D．不一定是中心對稱圖形
7．（2022春·全國·八年級(jí)校考期末）如圖，四邊形中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊、、、的中點(diǎn)．若四邊形為菱形，則對角線、應(yīng)滿足條件_______．
8．（2022秋·福建漳州·九年級(jí)漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，E，F(xiàn)、G、H分別是邊，、、的中點(diǎn)，請你添加一個(gè)條件，使四邊形為菱形，應(yīng)添加的條件是_____________．
9．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形的對角線的長為10cm，順次連接各邊中點(diǎn)E、F、G、H得四邊形，則四邊形的周長為______cm．
10．（2022秋·貴州貴陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)，G，H分別是各邊的中點(diǎn)，連接，，，．試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
題型5：特殊平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題
（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖,在矩形ABCD中，，，動(dòng)點(diǎn)M以的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以的速度從點(diǎn)D出發(fā),沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（）．
(1)當(dāng)為何值時(shí)，的面積等于矩形面積的？
(2)是否存在某一時(shí)刻,使得以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由．
綜合訓(xùn)練
1．（2022春·湖南永州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在梯形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿邊，以1厘米/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿邊，以3厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．已知P、Q兩點(diǎn)分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問：
(1)t為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？
(2)在某個(gè)時(shí)刻，四邊形可能是菱形嗎？為什么？
(3)t為何值時(shí)，四邊形是等腰梯形？
2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的兩邊分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接，，．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．
(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為______，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為______（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)請判斷四邊形的面積是否會(huì)隨時(shí)間t的變化而變化，并說明理由；
(3)若以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，請直接寫出t的值．
3．（2023春·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)E，，，點(diǎn)C為射線上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)為8，連接，過點(diǎn)C作軸，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)B．
(1)請直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(3)點(diǎn)F在，上運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)從點(diǎn)C出發(fā)，沿路線向點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)問為t（秒），連接EF，EB
①當(dāng)時(shí)，請直接寫出的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；
②請直接寫出的面積為9時(shí)t的值；
4．（2022秋·四川眉山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)連接、、，求當(dāng)為何值時(shí)，的面積為？
(2)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t使得是以為一腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．
5．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段向點(diǎn)B以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段向點(diǎn)A以的速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以、為鄰邊作平行四邊形．設(shè)平行四邊形與重疊部分的圖形面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)當(dāng)點(diǎn)E落在線段上時(shí)，求t的值；
(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
(3)當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求t的值．
6．（2022秋·江西撫州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，平分，過點(diǎn)作的平行線交的延長線于點(diǎn)，連接．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)如果，的長單位：米）是的兩根，求的長以及菱形的面積；
7．（2022秋·山東青島·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B移動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合），一直到達(dá)點(diǎn)B為止；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿向點(diǎn)D移動(dòng)（不與點(diǎn)C，D重合）．運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t秒．
(1)若點(diǎn)P，Q均以的速度移動(dòng)，則___________；___________．（用含t的代數(shù)式表示）
(2)在（1）的條件下，t為何值時(shí)，P，Q間的距離為？
(3)若點(diǎn)P為的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度移動(dòng)，經(jīng)過多長時(shí)間，使為等腰三角形？
(4)若點(diǎn)P，Q均以的速度移動(dòng)，經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形為菱形？
8．（2022秋·山東聊城·八年級(jí)?？计谀┮阎叫沃校?，．動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位速度從點(diǎn)出發(fā)沿線段方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以每秒8個(gè)單位速度從點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊方向順時(shí)針作折線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為__ 秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；
(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長度；
(3)連接，當(dāng)和全等時(shí)，求的值．
9．（2022秋·吉林白城·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知正方形中，邊長為，點(diǎn)在邊上，．點(diǎn)在線段上以/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．
(1) ， ．（用含的代數(shù)式表示）
(2)若以、、為頂點(diǎn)的三角形和以、、為頂點(diǎn)的三角形全等，求的值．
10．（2022秋·吉林長春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，是的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，以、為鄰邊作．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．
(1)的長是______．
(2)當(dāng)與的斜邊垂直時(shí)，求的值．
(3)當(dāng)是軸對稱圖形時(shí)，求的值．
(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)．當(dāng)與的某一條直角邊垂直時(shí)，直接寫出的值．

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