一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．計(jì)算的結(jié)果等于（ ）
A．B．C．D．
3．若命題“存在，使”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．萊洛三角形以機(jī)械學(xué)家萊洛的名字命名，這種三角形應(yīng)用非常廣泛，不僅用于建筑和商品的外包裝設(shè)計(jì)，還用于工業(yè)生產(chǎn)中．萊洛三角形的畫法是：先畫正三角形，然后分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)長(zhǎng)為半徑畫圓弧得到的三角形．如圖，若萊洛三角形的面積是，則弓形的周長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．6D．
5．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
6．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，若對(duì)任意的正數(shù)a，b，總有，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則m的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.）
9．下列說法正確的是（ ）
A．若實(shí)數(shù)，滿足，則
B．函數(shù)的最小值為
C．已知，其中為第三象限角，則
D．若函數(shù)，則對(duì)任意，有
10．下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)
B．若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．的單調(diào)遞增區(qū)間為
D．若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
11．群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對(duì)任意的a，，有；②對(duì)任意的a，b，，有；③存在，使得對(duì)任意的，有，e稱為單位元；④對(duì)任意的，存在，使，稱a與b互為逆元.則稱G關(guān)于“”新構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法不正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．自然數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則 ．
13．若函數(shù)，則不等式的解集為 ．
14．不等式在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。
15．已知命題，使得，當(dāng)命題為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值集合為．
(1)求集合；
(2)設(shè)非空集合，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)求在區(qū)間上的最值．
17．已知定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.
(1)求的解析式；
(2)判斷并用定義證明的單調(diào)性；
(3)解不等式.
18．已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．
(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍；
(2)設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)m取值范圍．
19．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的 （縱坐標(biāo)變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.
（3）對(duì)于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，，試確定的值，并求的值.
數(shù)學(xué)答案
1．C
【分析】求出函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)的范圍，再根據(jù)充要條件的定義判斷即可．
【詳解】若函數(shù)的定義域?yàn)镽，
則當(dāng)，，符合要求；
當(dāng)時(shí)，有，解得，
綜上所述，，
故“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的充要條件.
故選：C.
2．B
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式，逆用兩角和的正弦公式求值即可.
【詳解】.
故選：B
3．B
【分析】根據(jù)特稱量詞命題的真假結(jié)合判別式求解，即得答案.
【詳解】由題意知命題“存在，使”是真命題，
即有實(shí)數(shù)解，
故，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B
4．A
【分析】設(shè)，利用萊洛三角形的面積求出R的值，即可求得答案.
【詳解】設(shè)，則以點(diǎn)分別為圓心，圓弧所對(duì)的每個(gè)扇形面積均為，
等邊的面積，
所以萊洛三角形的面積是，
則．，弓形的周長(zhǎng)為．
故選：A
5．C
【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，并判斷在上函數(shù)值符號(hào)，即可確定圖象.
【詳解】由解析式，知的定義域?yàn)椋?br>，
所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，BD不合題意，
當(dāng)時(shí)，，，
則，
所以在上，
結(jié)合各項(xiàng)函數(shù)圖象知，A選項(xiàng)不合題意，C選項(xiàng)滿足要求.
故選：C
6．C
【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及解析式判斷單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.
【詳解】由解析式知，在上是增函數(shù)，
且，，
所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為．
故選：C
7．B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：函數(shù)為定義域在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，
因?yàn)椋瑒t，
可得，即，且，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：B.
8．D
【分析】由三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)y=fx的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值，進(jìn)而求得的最小值.
【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以且，
解得，即，
令，可得的最小值為.
故選：D.
9．AD
【分析】對(duì)于A，利用基本不等式和冪的性質(zhì)可得恒成立；對(duì)于B，利用基本不等式求最值時(shí)，需要查驗(yàn)等號(hào)是否成立，而，故該函數(shù)取不到最小值為；對(duì)于C，注意到利用題設(shè)條件推得，求得，利用誘導(dǎo)公式即可求得，可判斷C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，利用作差比較法推得，由即可推出.
【詳解】對(duì)于A，由可得，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，故必有成立，故A正確；
對(duì)于B，由，可得，故，
因，故函數(shù)取不到最小值為，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由題意，則，
因，可得，
故，
而，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因，，
則由
，
因，則，即得,
即,
因，故得.故D正確.
故選：AD.
10．ABD
【分析】根據(jù)可判斷A；利用奇函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和函數(shù)圖象的平移可判斷B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；通過畫函數(shù)圖象可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，
所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，設(shè)，則，
由，得或，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象下圖所示，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象下圖所示，
則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，
所以，故D正確.
故選：ABD.
11．ABC
【分析】反例判斷A，B，C是否滿足④，對(duì)于D，對(duì)所有的，設(shè)，求出，依次看是否滿足要求.
【詳解】A：由且，使，但，不存在，使，故A錯(cuò)誤；
B：由且，都有，但，不存在，使，故B錯(cuò)誤；
C：由且，使，但，不存在，使，故C錯(cuò)誤；
D：對(duì)所有的，可設(shè)，
則，
①滿足加法結(jié)合律，即，有；
②，使得，有；
③，設(shè)，使，正確.
故選：ABC.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于D，對(duì)所有的，，求出.
12．/
【分析】根據(jù)終邊的點(diǎn)求三角函數(shù)值，即可求目標(biāo)式的值.
【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，
∴，，，
∴.
故答案為.
13．
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再把不等式化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及解析式判斷時(shí)的單調(diào)性，最后利用奇偶性、單調(diào)性解不等式.
【詳解】由，且定義域?yàn)镽，則為偶函數(shù)．
則，
由，可得，又，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知、在上單調(diào)遞增．
所以，時(shí)單調(diào)遞增，
所以，得，或，解得或．
所以解集為
故
14．
【分析】變形得到在上有解，換元后得到函數(shù)的最小值，從而得到.
【詳解】，
其中，
故在上有解，
令，則，
其中在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，
最小值為，
故，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故
15．(1)
(2)．
【分析】（1）由題意可得方程有解，根據(jù)即可求解.
（2）由題意得，列出不等式組求解即可.
【詳解】（1）由題意可得方程有解，
所以，即，
解得，
所以．
（2）因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，
又因?yàn)闉榉强占希遥?br>所以解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16．(1)；
(2)答案見解析；
(3)最小值為0，最大值為2.
【分析】（1）先利用三角變換公式把化成的形式，利用求函數(shù)周期．
（2）整體換元法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（3）整體換元法求函數(shù)的值域．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由，所以函數(shù)的最小正周期為．
（2）由得：．
由得：．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．
（3）因?yàn)?，所以?br>所以，函數(shù)在上的最小值為0，最大值為2．
17．(1)
(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析
(3)
【分析】（1）由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，再結(jié)合代入計(jì)算即可得；
（2）借助單調(diào)性的定義證明即可；
（3）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由題意可得為奇函數(shù)，
，即，
又，故，
即，此時(shí)有，
故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
故；
（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：
令，
則
，
由，則，，，
故，即在上單調(diào)遞增；
（3）由題意可得為奇函數(shù)，
則得，
又在上單調(diào)遞增，則有，解得，
故不等式的解集為.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)，代入計(jì)算可得；
（2）根據(jù)單調(diào)性得，分離參數(shù)求最值即可.
（3）因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，等價(jià)于，先求的最小值，再分類討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，使的最小值滿足小于等于1的條件，求解即可.
【詳解】（1）由題意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上單調(diào)遞增，
所以不等式恒成立等價(jià)于，
即恒成立.
設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（3）因?yàn)閷?duì)任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
又的對(duì)稱軸為，，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，
所以；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，
所以，
綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
19．（1）； （2）； （3），.
【詳解】（1）利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期，奇偶性求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；
（3）由方程，得到，根據(jù)，求得，
設(shè)，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.
（1）由題意，函數(shù)
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，可得，
又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，
所以，因?yàn)?，所以，所以函?shù)，
令，解得，
可函數(shù)的遞減區(qū)間為，
再結(jié)合，可得函數(shù)的減區(qū)間為.
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最小值為，
故函數(shù)的值域.
（3）由方程，即，即，
因?yàn)?，可得?br>設(shè)，其中，即，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有5個(gè)解，即，
其中，
即
解得
所以.
解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的關(guān)鍵是首先正確的將已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解析式和圖象，然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性），進(jìn)而加深理解函數(shù)的極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)及有界函數(shù)等概念.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
C
C
B
D
AD
ABD
題號(hào)
11









答案
ABC









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