1．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
2．（ ）
A．B．C．D．
3．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
4．工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開后形成一個中心角為的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為，內(nèi)圓半徑為，某同學(xué)準(zhǔn)備用布料制作這樣一個扇面，若不計損耗，則需要布料（ ）
A．B．C．D．
5．已知函數(shù)則的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點，.作于于，設(shè)，則下列不等式中可以直接表示的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù)
B．為增函數(shù)
C．的值域為
D．對，方程有兩個根
11．如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點分別為，為線段的中點，射線與單位圓交于點，則（ ）
A．
B．
C．點的坐標(biāo)為
D．點的坐標(biāo)為
12．通常我們把一個以集合作為元素的集合稱為族.若以集合的子集為元素的族，滿足下列三個條件：（1）和在中；（2）中的有限個元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多個元素取并后得到的集合在中，則稱族為集合上的一個拓?fù)?已知全集為的非空真子集，且，則（ ）
A．族為集合上的一個拓?fù)?br>B．族為集合上的一個拓?fù)?br>C．族為集合上的一個拓?fù)?br>D．若族為集合上的一個拓?fù)?，將的每個元素的補(bǔ)集放在一起構(gòu)成族，則也是集合上的一個拓?fù)?br>三、填空題（本大題共4小題）
13．已知為第二象限角，若，則的值為 .
14．定義域為的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則的值為 .
15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為 .
16．已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共6小題）
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍.
18．已知函數(shù)的最大值為3，最小值為1.
(1)求和的值；
(2)把的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.
19．已知函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求實數(shù)的值；
(2)解不等式.
20．如圖所示，在等腰直角中，為線段的中點，點分別在線段上運動，且，設(shè).

(1)設(shè)，求的取值范圍及；
(2)求面積的最小值.
21．中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明：某種紅茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用可以產(chǎn)生最佳口感，現(xiàn)在室溫下，某實驗小組為探究剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)：
設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：
①；
②；
③.
(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并利用前的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；
(2)根據(jù)（1）中所求的函數(shù)模型，求剛泡好的紅茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間.
參考數(shù)據(jù).
22．已知函數(shù).
(1)若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
(2)設(shè)函數(shù)，記的最大值為.
（i）當(dāng)時，求的最小值；
（ii）證明：對.
答案
1．【正確答案】B
【分析】由對數(shù)函數(shù)定義域以及分式型函數(shù)的定義域即可得解.
【詳解】由題意，解得或，
所以函數(shù)的定義域為.
故選：B.
2．【正確答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角差的正弦公式可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】
.
故選：C.
3．【正確答案】A
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題易求.
【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知，
命題“”的否定是.
故選：A
4．【正確答案】C
【分析】利用扇形的面積公式可求出扇環(huán)的面積，即可得解.
【詳解】由題意可知，扇環(huán)的面積為.
故選：C.
5．【正確答案】C
【分析】結(jié)合冪函數(shù)知識，畫出的圖象，將該圖象沿軸對稱即可.
【詳解】結(jié)合題意可得：當(dāng)時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增.
故函數(shù),圖象如圖所示:
要得到，只需將的圖象沿軸對稱即可得到.
故選：C.
6．【正確答案】B
【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意.
故選：B.
7．【正確答案】D
【分析】根據(jù)條件和幾何圖形，用表示出，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
在中，，
又，所以，
在中，，故，
得到，
所以，
所以，即，
故選：D.
8．【正確答案】A
【分析】由題意首先得函數(shù)在區(qū)間上的兩個零點只能是，由此即可進(jìn)一步列出不等式組求解.
【詳解】由題意
，
當(dāng)時，，
若函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個零點，
則這兩個零點只能是，
則當(dāng)時，，解得.
故選：A.
9．【正確答案】BC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊驗證，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，錯誤；
對于B，因為，所以，又，所以，正確；
對于C，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，正確；
對于D，取，滿足，而，錯誤.
故選：BC
10．【正確答案】ACD
【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】因為，易知定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，
又，即為奇函數(shù)，所以選項A正確，
對于選項B，因為定義域為，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，而，所以選項B錯誤，
因為在定義域上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以的增區(qū)間為，
又易知，當(dāng)時，的值域為，當(dāng)時，的值域為，
所以對，方程有兩個根，即選項C和D均正確，
故選：ACD.
11．【正確答案】ABC
【分析】由角的定義求解可判斷A；由圓的性質(zhì)及角的定義求解可判斷B；由三角函數(shù)定義求解可判斷C；由中點坐標(biāo)公式及三角函數(shù)定義，結(jié)合角的變換、兩角和與差的余弦公式求解可判斷D.
【詳解】對于A：因為，，所以，正確；
對于B：依題意為線段的中點，則，則，
又，所以，正確；
對于C：為線段的中點，射線與單位圓交于點，則為的中點，
所以，
又，所以點的坐標(biāo)為，正確；
對于D：
，
，
所以點的坐標(biāo)為，錯誤.
故選：ABC
12．【正確答案】ABD
【分析】對于ABC，直接由拓?fù)涞亩x驗證即可；對于D，不妨設(shè)族為集合上的一個拓?fù)?，則由定義可知，，由此即可進(jìn)一步求解.
【詳解】對于A， 首先滿足條件（1），
其次，中的有限個元素取交后得到的集合為或，都在中，滿足條件（2），
再次，中的任意多個元素取并后得到的集合為或，都在中，滿足條件（3），故A正確；
對于B，首先滿足條件（1），
其次，中的有限個元素取交后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（2），
再次，中的任意多個元素取并后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（3），故B正確；
對于C，不妨設(shè)，則，不在中，故C錯誤；
對于D，由題意不妨設(shè)族為集合上的一個拓?fù)洌?br>由條件（2）可知中的有限個元素取交后得到的集合都在，
且由條件（3）可知中的任意多個元素取并后得到的集合都在，
所以不妨設(shè)，
則，且，
首先滿足條件（1），
其次，中的有限個元素取交后得到的集合都在中，滿足條件（2），
再次，中的任意多個元素取并后得到的集合都在中，滿足條件（3），故D正確.
故選：ABD.
關(guān)鍵點點睛：判斷D選項的關(guān)鍵是首先得到，由此即可順利得解.
13．【正確答案】/
【分析】先根據(jù)同角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再根據(jù)正切公式求解即可.
【詳解】因為為第二象限角，且，所以，
所以.
故
14．【正確答案】1
【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)以及周期性代入即可求解.
【詳解】由題意.
故1.
15．【正確答案】0
【分析】由題意利用輔助角公式，化簡，結(jié)合圖象關(guān)于直線對稱可求得的值，即可求得a的值，進(jìn)而求得答案.
【詳解】由題意得函數(shù)，
顯然，，
又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故,
則，故，則，故.
故0
16．【正確答案】
【分析】由題意首先得，，進(jìn)一步有，由此即可順利得解.
【詳解】由題意設(shè)，則函數(shù)的零點即為方程的根，
在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)的圖象以及直線如圖所示：
若函數(shù)有三個零點，（不妨設(shè)為），
則方程的根有三個根，且，
所以，
且，
因為在單調(diào)遞增，所以，即，
所以，
令，，解得，令，，解得，
所以.
故答案為.
關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，由此即可順利得解.
17．【正確答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解不等式確定集合A，根據(jù)集合的交集以及并集運算，即可求得答那；
（2）由題意可得?，列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.
【詳解】（1）解可得，
故可知，
當(dāng)時，，
所以，；
（2）因為是的充分不必要條件，
所以?，則，
解得.
18．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意列出方程組即可得解.
（2）首先得表達(dá)式，進(jìn)一步整體代入列出不等式組即可求解.
【詳解】（1）因為，由題意可得，解得.
（2）由（1）得，所以，
由，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
19．【正確答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由偶函數(shù)的定義得恒等式，由此即可得解.
（2）由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性等價變形即可求解.
【詳解】（1）設(shè)的定義域為，
因為為偶函數(shù)，所以，都有，
即對都成立，
等價于對都成立，
整理得都成立，
所以，解得.
所以的值為1.
（2）由題意，
移項得，
所以，
所以，
整理得，即，
解得，
所以不等式的解集為.
20．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件得，即可得，在中，利用即可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)條件得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為為等腰直角三角形，為線段的中點，
所以.
因為點在線段上運動，所以，
因為，所以，
所以.
（2）因為，所以，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以面積的最小值為.

21．【正確答案】(1)應(yīng)選擇模型②，理由見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中描述的函數(shù)模型特點選擇相應(yīng)的函數(shù)模型，待定系數(shù)即可求解.
（2）由指對互換、對數(shù)運算性質(zhì)解方程即可求解.
【詳解】（1）選擇②作為函數(shù)模型.
對于模型①，當(dāng)時，函數(shù)無意義，故而排除；
對于模型③，由表中數(shù)據(jù)可知當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值減小，故而排除；
對于模型②，所給函數(shù)單調(diào)遞減，且符合茶水溫度不低于室溫的要求；
故應(yīng)選擇模型②.
將前的數(shù)據(jù)帶入，得，解得，
所以所求函數(shù)解析式為.
（2）由（1）中模型可得，即，所以，
即
所以剛泡好的紅茶放置能達(dá)到最佳飲用口感.
22．【正確答案】(1)或
(2)（i）2;（ii）證明見解析
【分析】（1）利用對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即可求得的取值范圍；
（2）對于（i）表示出再根據(jù)的大小討論即可；對于（ii）先討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系并表示出，再對表達(dá)式中的絕對值大小進(jìn)行討論.
【詳解】（1）由，可得的對稱軸，
要使為單調(diào)函數(shù)，則或，
解得或.
（2）（i）當(dāng)時，，
則
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；
當(dāng)時，；
所以的最小值為2.
（ii）下面根據(jù)對稱軸對進(jìn)行討論：
當(dāng)時，，
①若，顯然，
②若，則.
當(dāng)時，，則，
①若，顯然，
②若，則.
當(dāng)時，，
則.
①若，顯然
②若，記，則，
當(dāng)時，，則，所以；
當(dāng)時，，則，所以；
當(dāng)時，易知恒成立，
下面再討論與的大小關(guān)系：
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
綜上所述，.
關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于對二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，同時對中的絕對值問題進(jìn)行討論.時間
0
1
2
3
4
5
水溫
95.00
88.00
81.70
76.05
70.93
66.30

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