一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 據(jù)教育部統(tǒng)計(jì)，2024屆全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模達(dá)1179萬人，將數(shù)字11790000用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對于A，，A錯(cuò)誤；
對于B，，B錯(cuò)誤；
對于C，，C錯(cuò)誤；
對于D，，D正確.
故選：D.
3. 小剛同學(xué)一周的跳繩訓(xùn)練成績（單位：次/分鐘）如下：156，158，158，160，162，165，169.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A. 160，162B. 158，162
C. 160，160D. 158，160
【答案】D
【解析】因在156，158，158，160，162，165，169這組數(shù)據(jù)中，158出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，故眾數(shù)是158；
根據(jù)中位數(shù)的定義知，按照從小到大排列的七個(gè)數(shù)據(jù)中，第四個(gè)數(shù)160為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
故選：D.
4. 某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊搭成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置上的小立方塊個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題意可知從前方看第一排有3個(gè)正方體，且從左到右依次有2個(gè)、1個(gè)，第二排有1個(gè)正方體在左側(cè)，故A正確.
故選：A.
5. 已知點(diǎn)，，，都在反比例函數(shù)（）的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得，
即反比例函數(shù)的解析式是，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，，，
即.
故選：B.
6. 如圖，在矩形中，，，是上不與和重合的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)分別作和的垂線，垂足為，，則的值為（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】如圖，連接，
四邊形為矩形，，，
，，
，，
，解得.
故選：B.
7. 如圖，在中，，，，在和上分別截取，，使，分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線交于點(diǎn)H，連接，分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線交于點(diǎn)K，則的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖所示，設(shè)直線分別交直線于，作，垂足為R，
根據(jù)題意易知分別為的角平分線，線段的垂直平分線，
所以，所以為正三角形，
則，所以，
而，則，
易證，故，
易知，故，解得.
故選：C.
8. 如圖，拋物線，頂點(diǎn)為A，拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為B，連接AB，C為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），過點(diǎn)C作交y軸于點(diǎn)D，連接AD交拋物線于點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】拋物線的頂點(diǎn)，由，得，即點(diǎn)，
設(shè)直線方程為，由，解得，則直線，
設(shè)點(diǎn)，由，設(shè)直線方程為，
由，得，由，得，即點(diǎn)，直線，
設(shè)直線的方程為，則，解得，
即直線，由，解得，
即點(diǎn)，
顯然，由，得，則，因此點(diǎn)，
由，得，因此，解得，
所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 小明周六從家出發(fā)沿一條路勻速步行去圖書館查閱資料，資料查閱完畢后沿原路勻速返回，速度與來時(shí)相同，途中遇到同學(xué)小亮，交談一段時(shí)間后以相同速度繼續(xù)行進(jìn)，直至返回家中，如圖是小明離家距離y（km）與時(shí)間x（h）的關(guān)系，則（ ）
A. 小明家與圖書館的距離為2km
B. 小明的勻速步行速度是3km/h
C. 小明在圖書館查閱資料的時(shí)間為1.5h
D. 小明與小亮交談的時(shí)間為0.4h
【答案】AD
【解析】對于A：由圖象可知小明家與圖書館的距離為2km，故A正確；
對于B：因?yàn)樾∶餮匾粭l路勻速步行去圖書館查閱資料，
所以小明的勻速步行速度是，故B錯(cuò)誤；
對于C：小明返回的路上走后遇到小亮，
則走所需的時(shí)間為，
所以小明在圖書館查閱資料的時(shí)間為，故C錯(cuò)誤；
對于D：走所需的時(shí)間為，
所以小明與小亮交談的時(shí)間為，故D正確.
故選：AD.
10. 如圖，點(diǎn)B在線段AD上，分別以線段AB和線段BD為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，連接AE，AE與BC相交于點(diǎn)G，連接CD，CD與AE，BE分別相交于點(diǎn)F，H，連接BF，GH，則（ ）
A. B. FB平分
C. D.
【答案】ABD
【解析】因和都是正三角形，
故，
則，即，
由可得，故D正確；
由可得，，因，
由可得，，則有，
故為正三角形，則，故，即A正確；
如圖，分別作，垂足分別是，
由上知，，故，由角平分線的性質(zhì)定理，可得FB平分，
故B正確；
對于C項(xiàng)，假設(shè)，則，故，
而在中，，故，
產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，即C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
11. 如圖1，在中，，，動點(diǎn)D從點(diǎn)A開始沿AB邊以每秒0.5個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)E從點(diǎn)B開始沿BC邊以相同速度運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)，另一點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，連接DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF，CF，設(shè)時(shí)間為t（s），為y，y關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示，則（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，B.
C. DE有最小值，最小值為2D. 有最小值，最小值為
【答案】BD
【解析】設(shè)，則，
則（*），
由圖2知，函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，整理得，，
解得或（舍去），故B正確；
由B項(xiàng)知，，當(dāng)時(shí)，，即，故A錯(cuò)誤；
對于C，由題意易得，，由可得，
當(dāng)時(shí)，，即有最小值，最小值為，故C錯(cuò)誤；
對于D，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立直角坐標(biāo)系.
則，因F為DE中點(diǎn)，故，
于是
，
結(jié)合此式特點(diǎn)，設(shè)，則，作出圖形如下.
作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，
則點(diǎn)即為使取得最小值的點(diǎn).
(理由：可在直線上任取點(diǎn)，利用對稱性特點(diǎn)，
即可證明，即得)，
此時(shí)，即的最小值為.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在平面直角坐標(biāo)系中有五個(gè)點(diǎn)，分別是，，，，，從中任選一個(gè)點(diǎn)，選到的這個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是______.
【答案】
【解析】五個(gè)點(diǎn)中在第一象限的點(diǎn)有A和D兩個(gè)，
從中任選一個(gè)點(diǎn)共有5種等可能結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限有2種結(jié)果，
所以從中任選一個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是.
13. 在中，，，的周長為14，則AB邊上的高為________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意可設(shè)，所以，
可得，
又，利用勾股定理可得；可得；
所以，即；
設(shè)AB邊上的高為，由三角形面積可得，
解得.
14. 如圖，在矩形紙片中，，，為中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，為邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好也為，則________.
【答案】
【解析】由題設(shè)，
過作，交于，交于，過作，
則，則，故，
所以，故，故，
設(shè)，則，故，
故.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 先化簡再求值：
（1）求的值，其中；
（2）求值，其中.
解：（1）
.
即代入可得.
（2）
.
即代入可得.
16. 某超市銷售兩種品牌的牛奶，購買3箱種品牌的牛奶和2箱種品牌的牛奶共需285元；購買2箱種品牌的牛奶和5箱種品牌的牛奶共需410元.
（1）求種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是多少元？
（2）若某公司購買兩種品牌的牛奶共20箱，且種品牌牛奶的數(shù)量至少比種品牌牛奶的數(shù)量多6箱，又不超過種品牌牛奶的3倍，購買兩種品牌的牛奶各多少箱才能使總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用為多少元？
解：（1）設(shè)種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是元，
則，故.
故種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是元、元.
（2）設(shè)購買品牌的牛奶箱，則購買品牌的牛奶箱，
此時(shí)總費(fèi)用，
而，故，而為整數(shù)，
故可為中的某個(gè)數(shù)，
故的最小費(fèi)用為（元），
此時(shí)購買兩種品牌的牛奶分別為箱、箱.
17. 如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，，連接并延長交于點(diǎn)，連接，，垂足為.
（1）求證：；
（2）求的長.
解：（1）是的直徑，，，
又，.
（2）在中，，，
又，則，，
又，，
在中，設(shè)，則，故，
又，，，即，解得，
，
在中，，即，解得，
即.
18.
已知拋物線（），根據(jù)以上材料解答下列問題：
（1）若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求m的值；
（2）在（1）的條件下，B，C為該拋物線上兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)為D，若點(diǎn)，求直線BC的表達(dá)式；以下是解決問題的一種思路，僅供大家參考：設(shè)直線BC的表達(dá)式為：，，則有①，②.①-②得：，兩邊同除以，得；
（3）該拋物線上兩點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF的表達(dá)式為：（）.
(ⅰ).請說明線段EF的中點(diǎn)在一條定直線上；
(ⅱ).將ⅰ中的定直線繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線，當(dāng)時(shí)，該拋物線與只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.
解：（1）因經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，.
（2）時(shí)，，設(shè)直線BC的表達(dá)式為：，
，
則①，②.
由①-②：，
兩邊同除以，則，
因線段BC的中點(diǎn)為，則，即，
則，將點(diǎn)代入解得，，故直線BC的表達(dá)式為：.
（3）（i）由消去，整理得，，
依題意，設(shè)，的中點(diǎn)為，
則，，即線段EF的中點(diǎn)在定直線上.
(ⅱ)如圖，將定直線繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線，
則點(diǎn)轉(zhuǎn)到了點(diǎn)，則，
設(shè)點(diǎn)，，則
，即，，
設(shè)，則得，
解得，即得；
因拋物線的對稱軸為，
故該函數(shù)在時(shí)，隨著的增大而增大，且時(shí)，，
時(shí)，，
要使拋物線與只有一個(gè)交點(diǎn)，可分以下種情況討論：
①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在直線下方時(shí)，如上圖可得，，解得；
②拋物線頂點(diǎn)在直線上，如上圖，即時(shí)，由，解得或，
因，故符合題意；
③拋物線與直線相切，且切點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，如上圖，
由，消去，可得，
由解得，，
代入方程可得，解得，符合題意；
④如上圖，拋物線頂點(diǎn)在直線上方，但在內(nèi)只有一個(gè)交點(diǎn)，須使，
又，解得.
綜上可得m的取值范圍為：或或.
19. 在中，，.
（1）如圖1，在中，，，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，連接BF.若，求線段BF的長；
（2）如圖2，在中，，，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，連接DF，求的值；
（3）如圖3，在中，，，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，連接BD，DF，求的值.
解：（1）在中，，.
若，則，，
如圖1，在中，，由，得，
，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，則，中，.
（2）在中，，，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，
連接，則為等邊三角形，如圖所示，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，
，，則為等邊三角形，，
又，則三點(diǎn)共線，，，
則，，則，
中，，，為中點(diǎn)，連接，
則有，為等邊三角形，，
，，所以為直角三角形，，
不妨設(shè)，則，，
，所以.
（3）在中，，，
中，，，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，如圖所示，
由（2）同理可得為等邊三角形，三點(diǎn)共線，，
由，有，又，則有，得，
不妨設(shè)，則，
，，所以.閱讀材料：直線（）上任意兩點(diǎn)Mx1，y1，Nx2，y2，，線段MN的中點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)及k可用公式：，；計(jì)算.例如：直線上兩點(diǎn)，，則，，即線段MN的中點(diǎn)，.

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