1．已知下列隨機(jī)變量：
①10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任選3件，取到次品的件數(shù)X；
②一位射擊選手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，該射擊選手在一次射擊中的得分X；
③一天內(nèi)的溫度X；
④在體育彩票的抽獎中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.
其中X是離散型隨機(jī)變量的是( )
A.①②③ B．①②④
C.②③④ D．③④
2．若隨機(jī)變量X的分布列為
則X的均值E(X)等于( )
A.2a＋b B．a(chǎn)＋2b
C.2 D．3
3．已知P(X＝i)＝ eq \f(i,6)(i＝1，2，3)，隨機(jī)變量Y＝2X－1，則P(Y≥3)＝( )
A. eq \f(1,6) B． eq \f(5,6)
C. eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
4．已知隨機(jī)變量X的分布列是
則E(2X＋a)等于( )
A. eq \f(5,3) B． eq \f(7,3)
C. eq \f(7,2) D． eq \f(23,6)
5．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球．設(shè)X為取出的4個球中紅球的個數(shù)，則P(X＝2)＝________．
6．隨機(jī)變量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范圍是________．
7．某大學(xué)志愿者協(xié)會有10名同學(xué)，成員構(gòu)成如表，表中部分?jǐn)?shù)據(jù)不清楚，只知道從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取1名同學(xué)，該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)的概率為 eq \f(2,5)，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)參加社會公益活動(每名同學(xué)被選到的可能性相同).
(1)求m，n的值；
(2)求選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生的概率；
(3)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且 eq \i\su(i＝1,4,p)i＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是( )
A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
2．(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下：
則當(dāng)a在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時( )
A.E(X)增大
B.E(X)減小
C.D(X)先增大后減小
D.D(X)先減小后增大
3．馬老師從課本上抄錄的一個隨機(jī)變量X的分布列如下表：
盡管“！”與“？”處無法完全看清，但能肯定兩個“？”處的數(shù)值相同，據(jù)此，E(X)＝________．
4．某公司的員工中，日生產(chǎn)件數(shù)為95的有3人，日生產(chǎn)件數(shù)為55的有2人，從這5人中任意抽取2人，則這2人的日生產(chǎn)件數(shù)之和X的方差為________．
5．某學(xué)校組織知識競賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學(xué)需要先選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，只有答對當(dāng)前的問題才有資格從下一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答．A類問題中的每個問題回答正確得10分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分，C類問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分，已知小康同學(xué)能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，能正確回答C類問題的概率為0.4，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
(1)若小康按照CBA的順序答題，記X為小康的累計(jì)得分，求X的分布列．
(2)相比較小康自選的CBA的答題順序，小康的朋友小樂認(rèn)為按照ABC的順序答題累計(jì)得分期望更大，小樂的判斷正確嗎？并說明理由．
6．一位同學(xué)分別參加了三所大學(xué)的招生筆試(各校試題各不相同)，如果該同學(xué)通過各校筆試的概率分別為 eq \f(3,4)， eq \f(2,3)， eq \f(1,2)，且該同學(xué)參加三所大學(xué)的筆試通過與否互不影響．
(1)求該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率；
(2)設(shè)該同學(xué)通過筆試的大學(xué)所數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考答案
【A級 基礎(chǔ)鞏固】
1．解析：①中，X的可能取值為0，1，2，符合要求；
②中，X的可能取值為0，1，符合要求；
③中，一天的溫度變化是連續(xù)的，所以X不是離散型隨機(jī)變量；
④中，在體育彩票的抽獎中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)是離散且隨機(jī)的，符合要求．
答案：B
2．解析：E(X)＝1×a＋2×2b＋3×a＝4(a＋b)，
由分布列的性質(zhì)可知2a＋2b＝1，
所以E(X)＝2.
答案：C
3．解析：由題意可知P(Y≥3)＝P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ eq \f(2,6)＋ eq \f(3,6)＝ eq \f(5,6).
答案：B
4．解析：由分布列的性質(zhì)可得 eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＋a＝1，
解得a＝ eq \f(1,6)，
所以E(X)＝1× eq \f(1,2)＋2× eq \f(1,3)＋3× eq \f(1,6)＝ eq \f(5,3)，
因此E(2X＋a)＝E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2X＋\f(1,6)))＝2E(X)＋ eq \f(1,6)＝2× eq \f(5,3)＋ eq \f(1,6)＝ eq \f(7,2).
答案：C
5．解析：由題意可知P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(1,1)C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,4)＋C eq \\al(2,3)C eq \\al(2,2),C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,6))＝ eq \f(3,10).
答案： eq \f(3,10)
6．解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝ eq \f(1,3)，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝ eq \f(2,3).
又a＝ eq \f(1,3)－d，c＝ eq \f(1,3)＋d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，
得0≤ eq \f(1,3)－d≤ eq \f(2,3)，0≤ eq \f(1,3)＋d≤ eq \f(2,3)，
∴－ eq \f(1,3)≤d≤ eq \f(1,3).
答案： eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
7．解：(1)∵該名同學(xué)的專業(yè)為數(shù)學(xué)的概率為 eq \f(2,5)，
∴ eq \f(1＋m,10)＝ eq \f(2,5)，解得m＝3，
∵m＋n＋6＝10，∴n＝1.
(2)設(shè)事件A為“選出的3名同學(xué)恰為專業(yè)互不相同的男生”，則P(A)＝ eq \f(C eq \\al(1,3)C eq \\al(2,3)＋1,C eq \\al(3,10))＝ eq \f(1,12).
(3)由題意可知，這10名學(xué)生中是女生或?qū)I(yè)為數(shù)學(xué)的人數(shù)為7，X所有可能取值為0，1，2，3，
P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(3,3),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(1,120)，P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,7)C eq \\al(2,3),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(7,40)，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,7)C eq \\al(1,3),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(21,40)，P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,7),C eq \\al(3,10))＝ eq \f(7,24)，
故X的分布列為
故E(X)＝0× eq \f(1,120)＋1× eq \f(7,40)＋2× eq \f(21,40)＋3× eq \f(7,24)＝ eq \f(21,10)，
D(X)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(1,120)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(7,40)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(21,40)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(21,10))) eq \s\up12(2)× eq \f(7,24)＝ eq \f(49,100).
INCLUDEPICTURE "B組.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大樣\\人教數(shù)學(xué)\\B組.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B級 能力提升】
1．解析：X的可能取值為1，2，3，4，依據(jù)四個選項(xiàng)中的p1，p2，p3，p4的值，四種情形的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都為2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，標(biāo)準(zhǔn)差為 eq \r(D(X)).
A中的方差D(X)＝0.65；
B中的方差D(X)＝1.85；
C中的方差D(X)＝1.05；
D中的方差D(X)＝1.45.
可知B的情形對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大．
答案：B
2．解析：由隨機(jī)變量X的分布列得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤b－a≤1，,0≤b≤1，,0≤a≤1，,b－a＋b＋a＝1，))解得b＝0.5，0≤a≤0.5，
∴E(X)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.
故當(dāng)a在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時，E(X)增大．
D(X)＝(－2a－0.5)2(0.5－a)＋(0.5－2a)2×0.5＋(1.5－2a)2a＝－4a2＋2a＋ eq \f(1,4)＝－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,2)，
所以當(dāng)a∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))時，D(X)單調(diào)遞增，
當(dāng)a∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))時，D(X)單調(diào)遞減．
答案：AC
3．解析：設(shè)P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，
則2a＋b＝1.
于是E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
答案：2
4．解析：由題意，可得X的可能取值為190，150，110，
且P(X＝190)＝ eq \f(C eq \\al(0,2)C eq \\al(2,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(3,10)，P(X＝150)＝ eq \f(C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(3,5)，
P(X＝110)＝ eq \f(C eq \\al(2,2)C eq \\al(0,3),C eq \\al(2,5))＝ eq \f(1,10)，
則E(X)＝190× eq \f(3,10)＋150× eq \f(3,5)＋110× eq \f(1,10)＝158，所以方差D(X)＝322× eq \f(3,10)＋(－8)2× eq \f(3,5)＋(－48)2× eq \f(1,10)＝576.
答案：576
5．解：(1)由題意可知，X的所有可能取值為0，30，50，60，
P(X＝0)＝1－0.4＝0.6，
P(X＝30)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，
P(X＝50)＝0.4×0.6×(1－0.8)＝0.048，
P(X＝60)＝0.4×0.6×0.8＝0.192.
故X的分布列為
(2)由(1)可知E(X)＝0×0.6＋30×0.16＋50×0.048＋60×0.192＝18.72.
若按照ABC順序答題，記Y為小樂答題的累計(jì)得分，
則Y所有可能取值為0，10，30，60，
P(Y＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(Y＝10)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(Y＝30)＝0.8×0.6×(1－0.4)＝0.288，
P(Y＝60)＝0.8×0.6×0.4＝0.192，
故E(Y)＝0×0.2＋10×0.32＋30×0.288＋60×0.192＝23.36，E(X)＜E(Y)，
則小樂的判斷正確．
6．解：(1)設(shè)該同學(xué)通過三所大學(xué)筆試的事件分別為A，B，C，
該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率P＝1－P( eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))
＝1－P( eq \x\t(A))P( eq \x\t(B))P( eq \x\t(C))＝1－ eq \f(1,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(23,24)，所以該同學(xué)至少通過一所大學(xué)筆試的概率為 eq \f(23,24).
(2)由條件可知X＝0，1，2，3，
P(X＝0)＝P( eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,24)，
P(X＝1)＝P(A eq \x\t(B) eq \x\t(C))＋P( eq \x\t(A)B eq \x\t(C))＋P( eq \x\t(A) eq \x\t(B)C)＝ eq \f(3,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，
P(X＝2)＝P(AB eq \x\t(C))＋P(A eq \x\t(B)C)＋P( eq \x\t(A)BC)＝ eq \f(3,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(3,4)× eq \f(1,3)× eq \f(1,2)＋ eq \f(1,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(11,24)，
P(X＝3)＝P(ABC)＝ eq \f(3,4)× eq \f(2,3)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，
X的分布列為
E(X)＝0× eq \f(1,24)＋1× eq \f(1,4)＋2× eq \f(11,24)＋3× eq \f(1,4)＝
X
1
2
3
P
a
2b
a
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
a
X
－1
0
1
P
a
b
c
專業(yè)
性別
中文
英語
數(shù)學(xué)
體育
男
n
1
m
1
女
1
1
1
1
X
0
1
2
P
b－a
b
a
X
1
2
3
P
？
！
？
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,120)
eq \f(7,40)
eq \f(21,40)
eq \f(7,24)
X
0
30
50
60
P
0.6
0.16
0.048
0.192
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,24)
eq \f(1,4)
eq \f(11,24)
eq \f(1,4)

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