1．?dāng)?shù)據(jù)1,2,3,4,5,6的60%分位數(shù)為( )
A．3 B．3．5
C．3．6D．4
2．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為 eq \(x,\s\up6(－))，方差為s2，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為( )
A．eq \(x,\s\up6(－))和s2B．2eq \(x,\s\up6(－))＋3和4s2
C．2eq \(x,\s\up6(－))＋3和s2D．2eq \(x,\s\up6(－))＋3和4s2＋12s＋9
3．為了反映各行業(yè)對(duì)倉儲(chǔ)物流業(yè)務(wù)需求變化的情況，以及重要商品庫存變化的動(dòng)向，中國物流與采購聯(lián)合會(huì)和中儲(chǔ)發(fā)展股份有限公司通過聯(lián)合調(diào)查，制定了中國倉儲(chǔ)指數(shù)．由2019年1月至2020年7月的調(diào)查數(shù)據(jù)得出的中國倉儲(chǔ)指數(shù)，繪制出如下折線圖．
根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是( )
A．2019年各月的倉儲(chǔ)指數(shù)最大值是在3月份
B．2020年1月至7月的倉儲(chǔ)指數(shù)的中位數(shù)為55
C．2020年1月與4月的倉儲(chǔ)指數(shù)的平均數(shù)為52
D．2019年1月至4月的倉儲(chǔ)指數(shù)相對(duì)于2020年1月至4月，波動(dòng)性更大
4．已知樣本甲：x1，x2，x3，…，xn與樣本乙：y1，y2，y3，…，yn，滿足yi＝2xeq \\al(3,i)＋1(i＝1,2，…，n)，則下列敘述中一定正確的是( )
A．樣本乙的極差等于樣本甲的極差
B．樣本乙的眾數(shù)大于樣本甲的眾數(shù)
C．若某個(gè)xi為樣本甲的中位數(shù)，則yi是樣本乙的中位數(shù)
D．若某個(gè)xi為樣本甲的平均數(shù)，則yi是樣本乙的平均數(shù)
5．已知樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，樣本y1，y2，…，ym的平均數(shù)為y(x≠y)，若樣本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均數(shù)z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜eq \f(1,2)，則n，m(n，m∈N*)的大小關(guān)系為( )
A．n＝mB．n≥m
C．n＜mD．n＞m
6．(多選)甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表：
下列結(jié)論中，正確的是( )
A．甲、乙兩班學(xué)生成績的平均水平相同
B．乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)為優(yōu)秀)
C．甲班的成績波動(dòng)情況比乙班的成績波動(dòng)大
D．甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)
7．(多選)某籃球愛好者在一次籃球訓(xùn)練中，需進(jìn)行五輪投籃，每輪投籃5次．統(tǒng)計(jì)各輪投進(jìn)球的個(gè)數(shù)，獲知其前四輪投中的個(gè)數(shù)分別為2,3,4,4，則第五輪結(jié)束后，下列數(shù)字特征有可能發(fā)生的是( )
A．平均數(shù)為3，極差是3
B．中位數(shù)是3，極差是3
C．平均數(shù)為3，方差是0．8
D．中位數(shù)是3，方差是0．56
8．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________，方差為_________．
9．某經(jīng)銷商從外地一水殖廠購進(jìn)一批小龍蝦，并隨機(jī)抽取40只進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按重量分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖：
(1)估計(jì)這批小龍蝦重量的第10百分位數(shù)與第90百分位數(shù)；
(2)該經(jīng)銷商將這批小龍蝦分成三個(gè)等級(jí)，如表：
試估計(jì)這批小龍蝦劃為幾等品比較合理？
10．(多選)2020年2月8日，在韓國首爾舉行的四大洲花樣滑冰錦標(biāo)賽雙人自由滑比賽中，中國組合隋文靜/韓聰以總分217．51分拿下四大洲賽冠軍，這也是他們第六次獲得四大洲冠軍．中國另一對(duì)組合彭程/金楊以213．29分摘得銀牌．花樣滑冰錦標(biāo)賽有9位評(píng)委進(jìn)行評(píng)分，首先這9位評(píng)委給出某對(duì)選手的原始分?jǐn)?shù)，評(píng)定該隊(duì)選手的成績時(shí)從9個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分，則7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，可能變化的數(shù)字特征是( )
A．中位數(shù)B．平均數(shù)
C．方差D．極差
11．(多選)隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，如圖是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面四種說法正確的是( )
A．1月至8月空氣質(zhì)量合格天數(shù)超過20天的月份有5個(gè)
B．第二季度與第一季度相比，空氣質(zhì)量合格天數(shù)的比重下降了
C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月
D．6月的空氣質(zhì)量最差
12．某快遞網(wǎng)點(diǎn)收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是重量不超過1 kg的包裹收費(fèi)10元，重量超過1 kg的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg計(jì)算)需要再收費(fèi)5元．該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．
(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)；
(2)該快遞網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為工作人員的工資和網(wǎng)點(diǎn)的利潤，剩余的作為其他費(fèi)用．已知該網(wǎng)點(diǎn)有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)每天的利潤有多少元？
13．記樣本x1，x2，…，xm的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，樣本y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq \(y,\s\up6(－))(eq \(x,\s\up6(－))≠eq \(y,\s\up6(－)))．若樣本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(3,4)eq \(y,\s\up6(－))，則eq \f(m,n)的值為( )
A．3B．4
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,3)
14．某校有高中生2 000人，其中男女生比例約為5∶4，為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，抽收了樣本量為n的樣本，得到如圖所示的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．方案二：采用分層隨機(jī)抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計(jì)算得到男生樣本的均值為170，方差為16，女生樣本的均值為160，方差為20．
(1)根據(jù)圖表信息，求n，q并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，估計(jì)該校高中生的身高均值；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值為代表)
(2)計(jì)算方案二中總樣本的均值及方差；
(3)計(jì)算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體均值的估計(jì)合適嗎？為什么？
課時(shí)過關(guān)檢測(六十五)
用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體【解析版】
1．?dāng)?shù)據(jù)1,2,3,4,5,6的60%分位數(shù)為( )
A．3 B．3．5
C．3．6D．4
解析：D 由6×60%＝3．6，所以數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6的60%分位數(shù)是第四個(gè)數(shù)，故選D．
2．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為 eq \(x,\s\up6(－))，方差為s2，則2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均數(shù)和方差分別為( )
A．eq \(x,\s\up6(－))和s2B．2eq \(x,\s\up6(－))＋3和4s2
C．2eq \(x,\s\up6(－))＋3和s2D．2eq \(x,\s\up6(－))＋3和4s2＋12s＋9
解析：B 原數(shù)據(jù)乘以2加上3得到一組新數(shù)據(jù)，則由平均數(shù)、方差的性質(zhì)可知得到的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是2eq \(x,\s\up6(－))＋3和4s2．
3．為了反映各行業(yè)對(duì)倉儲(chǔ)物流業(yè)務(wù)需求變化的情況，以及重要商品庫存變化的動(dòng)向，中國物流與采購聯(lián)合會(huì)和中儲(chǔ)發(fā)展股份有限公司通過聯(lián)合調(diào)查，制定了中國倉儲(chǔ)指數(shù)．由2019年1月至2020年7月的調(diào)查數(shù)據(jù)得出的中國倉儲(chǔ)指數(shù)，繪制出如下折線圖．
根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是( )
A．2019年各月的倉儲(chǔ)指數(shù)最大值是在3月份
B．2020年1月至7月的倉儲(chǔ)指數(shù)的中位數(shù)為55
C．2020年1月與4月的倉儲(chǔ)指數(shù)的平均數(shù)為52
D．2019年1月至4月的倉儲(chǔ)指數(shù)相對(duì)于2020年1月至4月，波動(dòng)性更大
解析：D 2019年各月的倉儲(chǔ)指數(shù)最大值是在11月份，所以A錯(cuò)誤；由題圖可知，2020年1月至7月的倉儲(chǔ)指數(shù)的中位數(shù)約為53，所以B錯(cuò)誤；2020年1月與4月的倉儲(chǔ)指數(shù)的平均數(shù)約為eq \f(51＋55,2)＝53，所以C錯(cuò)誤；由題圖可知，2019年1月至4月的倉儲(chǔ)指數(shù)比2020年1月至4月的倉儲(chǔ)指數(shù)波動(dòng)更大，故選D．
4．已知樣本甲：x1，x2，x3，…，xn與樣本乙：y1，y2，y3，…，yn，滿足yi＝2xeq \\al(3,i)＋1(i＝1,2，…，n)，則下列敘述中一定正確的是( )
A．樣本乙的極差等于樣本甲的極差
B．樣本乙的眾數(shù)大于樣本甲的眾數(shù)
C．若某個(gè)xi為樣本甲的中位數(shù)，則yi是樣本乙的中位數(shù)
D．若某個(gè)xi為樣本甲的平均數(shù)，則yi是樣本乙的平均數(shù)
解析：C ∵yi＝2xeq \\al(3,i)＋1，∴yi關(guān)于xi單調(diào)遞增，甲樣本極差為xn－x1，乙樣本極差為yn－y1＝2(xeq \\al(3,n)－xeq \\al(3,1))＝2(xn－x1)(xeq \\al(2,n)＋xnx1＋xeq \\al(2,1))，兩個(gè)數(shù)據(jù)大小關(guān)系不定，∴樣本乙的極差不一定等于樣本甲的極差，A錯(cuò)誤；樣本乙的眾數(shù)不一定大于樣本甲的眾數(shù)，B錯(cuò)誤；若xi為樣本甲的平均數(shù)，yi不一定是樣本乙的平均數(shù)，D錯(cuò)誤；若xi為樣本甲的中位數(shù)時(shí)，則yi一定是樣本乙的中位數(shù)，C正確．
5．已知樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，樣本y1，y2，…，ym的平均數(shù)為y(x≠y)，若樣本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均數(shù)z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜eq \f(1,2)，則n，m(n，m∈N*)的大小關(guān)系為( )
A．n＝mB．n≥m
C．n＜mD．n＞m
解析：C 由題意得z＝eq \f(1,n＋m)(nx＋my)＝eq \f(n,n＋m)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(n,n＋m)))y，∴a＝eq \f(n,n＋m)，∵0＜a＜eq \f(1,2)，∴0＜eq \f(n,n＋m)＜eq \f(1,2)，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，∴n＜m．故選C．
6．(多選)甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表：
下列結(jié)論中，正確的是( )
A．甲、乙兩班學(xué)生成績的平均水平相同
B．乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)(每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)為優(yōu)秀)
C．甲班的成績波動(dòng)情況比乙班的成績波動(dòng)大
D．甲班成績的眾數(shù)小于乙班成績的眾數(shù)
解析：ABC 甲、乙兩班成績的平均數(shù)都是135，故兩班成績的平均水平相同，∴A正確；seq \\al(2,甲)＝191＞110＝seq \\al(2,乙)，∴甲班成績不如乙班穩(wěn)定，即甲班成績波動(dòng)較大，∴C正確；甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班成績的中位數(shù)為149，乙班成績的中位數(shù)為151，從而易知乙班每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個(gè)的人數(shù)要多于甲班，∴B正確；由題表看不出兩班學(xué)生成績的眾數(shù)，∴D錯(cuò)誤．
7．(多選)某籃球愛好者在一次籃球訓(xùn)練中，需進(jìn)行五輪投籃，每輪投籃5次．統(tǒng)計(jì)各輪投進(jìn)球的個(gè)數(shù)，獲知其前四輪投中的個(gè)數(shù)分別為2,3,4,4，則第五輪結(jié)束后，下列數(shù)字特征有可能發(fā)生的是( )
A．平均數(shù)為3，極差是3
B．中位數(shù)是3，極差是3
C．平均數(shù)為3，方差是0．8
D．中位數(shù)是3，方差是0．56
解析：BCD 2＋3＋4＋4＝13，①若平均數(shù)為3，則第五輪投中的個(gè)數(shù)為2，所以極差為4－2＝2，方差為eq \f(1,5)×[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0．8，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；
②若中位數(shù)為3，則第五輪投中的個(gè)數(shù)為0或1或2或3，
當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為0時(shí)，極差為4，平均數(shù)為2．6，方差為eq \f(1,5)×[(0－2．6)2＋(2－2．6)2＋(3－2．6)2＋(4－2．6)2×2]＝2．24；
當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為1時(shí)，極差為3，平均數(shù)為2．8，方差為eq \f(1,5)×[(1－2．8)2＋(2－2．8)2＋(3－2．8)2＋(4－2．8)2×2]＝1．36；
當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為2時(shí)，極差為2，方差為0．8；
當(dāng)投中的個(gè)數(shù)為3時(shí)，極差為2，平均數(shù)為3．2，方差為eq \f(1,5)×[(2－3．2)2＋(3－3．2)2×2＋(4－3．2)2×2]＝0．56，即選項(xiàng)B和D均正確．故選B、C、D．
8．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________，方差為_________．
解析：∵－1,0,4，x,7,14的中位數(shù)為5，∴eq \f(4＋x,2)＝5，∴x＝6，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq \f(－1＋0＋4＋6＋7＋14,6)＝5，這組數(shù)據(jù)的方差是eq \f(1,6)×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝eq \f(74,3)．
答案：5 eq \f(74,3)
9．某經(jīng)銷商從外地一水殖廠購進(jìn)一批小龍蝦，并隨機(jī)抽取40只進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按重量分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖：
(1)估計(jì)這批小龍蝦重量的第10百分位數(shù)與第90百分位數(shù)；
(2)該經(jīng)銷商將這批小龍蝦分成三個(gè)等級(jí)，如表：
試估計(jì)這批小龍蝦劃為幾等品比較合理？
解：(1)因?yàn)?0×10% ＝4，所以第10百分位數(shù)為第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的平均數(shù)，在[5,15)范圍內(nèi)約為eq \f(5＋15,2)＝10．
因?yàn)?0×90%＝36，所以第90百分位數(shù)為第36項(xiàng)與第37項(xiàng)的平均數(shù)，在[35,55]范圍內(nèi)，約為eq \f(35＋55,2)＝45，
所以估計(jì)這批小龍蝦重量的第10百分位數(shù)為10，第90百分位數(shù)為45．
(2)由(1)知，這批小龍蝦重量集中在[10,45]范圍內(nèi)，所以劃為二等品比較合理．
10．(多選)2020年2月8日，在韓國首爾舉行的四大洲花樣滑冰錦標(biāo)賽雙人自由滑比賽中，中國組合隋文靜/韓聰以總分217．51分拿下四大洲賽冠軍，這也是他們第六次獲得四大洲冠軍．中國另一對(duì)組合彭程/金楊以213．29分摘得銀牌．花樣滑冰錦標(biāo)賽有9位評(píng)委進(jìn)行評(píng)分，首先這9位評(píng)委給出某對(duì)選手的原始分?jǐn)?shù)，評(píng)定該隊(duì)選手的成績時(shí)從9個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分，則7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，可能變化的數(shù)字特征是( )
A．中位數(shù)B．平均數(shù)
C．方差D．極差
解析：BCD 因?yàn)?個(gè)有效評(píng)分是9個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，所以中位數(shù)不變，平均數(shù)、方差、極差可能發(fā)生變化，所以可能變化的數(shù)字特征是平均數(shù)、方差、極差，故選B、C、D．
11．(多選)隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，如圖是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測情況，圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面四種說法正確的是( )
A．1月至8月空氣質(zhì)量合格天數(shù)超過20天的月份有5個(gè)
B．第二季度與第一季度相比，空氣質(zhì)量合格天數(shù)的比重下降了
C．8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月
D．6月的空氣質(zhì)量最差
解析：ABC 1月至8月空氣質(zhì)量合格天數(shù)超過20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5個(gè)，所以A是正確的；第一季度合格天數(shù)的比重為eq \f(22＋26＋19,31＋29＋31)≈0．736 3，第二季度合格天數(shù)的比重為eq \f(19＋13＋25,30＋31＋30)≈0．626 4，所以第二季度與第一季度相比，空氣質(zhì)量合格的天數(shù)的比重下降了，所以B是正確的；8月空氣質(zhì)量合格天氣達(dá)到30天，是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月，所以C是正確的；5月空氣質(zhì)量合格天氣只有13天，5月份的空氣質(zhì)量最差，所以D是錯(cuò)誤的，故選A、B、C．
12．某快遞網(wǎng)點(diǎn)收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是重量不超過1 kg的包裹收費(fèi)10元，重量超過1 kg的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg計(jì)算)需要再收費(fèi)5元．該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．
(1)求這60天每天包裹數(shù)量的平均數(shù)和中位數(shù)；
(2)該快遞網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為工作人員的工資和網(wǎng)點(diǎn)的利潤，剩余的作為其他費(fèi)用．已知該網(wǎng)點(diǎn)有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)每天的利潤有多少元？
解：(1)每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為0．1×50＋0．1×150＋0．5×250＋0．2×350＋0．1×450＝260(件)，
因?yàn)閇0,200)的頻率為0．2，[200,300)的頻率為0．5，
中位數(shù)為200＋ eq \f(0.5－0.2,0.5)×100＝260(件)，
所以該網(wǎng)點(diǎn)每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件．
(2)由(1)可知平均每天的攬件數(shù)為260件，
利潤為260×5－3×100＝1 000(元)，
所以該網(wǎng)點(diǎn)平均每天的利潤有1 000元．
13．記樣本x1，x2，…，xm的平均數(shù)為eq \(x,\s\up6(－))，樣本y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq \(y,\s\up6(－))(eq \(x,\s\up6(－))≠eq \(y,\s\up6(－)))．若樣本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均數(shù)為eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,4)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(3,4)eq \(y,\s\up6(－))，則eq \f(m,n)的值為( )
A．3B．4
C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,3)
解析：D 由題意知x1＋x2＋…＋xm＝meq \(x,\s\up6(－))，y1＋y2＋…＋yn＝neq \(y,\s\up6(－))，eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(?x1＋x2＋…＋xm?＋?y1＋y2＋…＋yn?,m＋n)＝eq \f(m\(x,\s\up6(－))＋n\(y,\s\up6(－)),m＋n)＝eq \f(m\(x,\s\up6(－)),m＋n)＋eq \f(n\(y,\s\up6(－)),m＋n)＝eq \f(1,4)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(3,4)eq \(y,\s\up6(－))，所以eq \f(m,m＋n)＝eq \f(1,4)，eq \f(n,m＋n)＝eq \f(3,4)，可得3m＝n，所以eq \f(m,n)＝eq \f(1,3)．
14．某校有高中生2 000人，其中男女生比例約為5∶4，為了獲得該校全體高中生的身高信息，采取了以下兩種方案：方案一：采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，抽收了樣本量為n的樣本，得到如圖所示的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．方案二：采用分層隨機(jī)抽樣方法，抽取了男、女生樣本量均為25的樣本，計(jì)算得到男生樣本的均值為170，方差為16，女生樣本的均值為160，方差為20．
(1)根據(jù)圖表信息，求n，q并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，估計(jì)該校高中生的身高均值；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值為代表)
(2)計(jì)算方案二中總樣本的均值及方差；
(3)計(jì)算兩種方案總樣本均值的差，并說明用方案二總樣本的均值作為總體均值的估計(jì)合適嗎？為什么？
解：(1)因?yàn)樯砀咴趨^(qū)間[185,195]的頻率為0．008×10＝0．08，頻數(shù)為4，
所以樣本量n＝eq \f(4,0.08)＝50，m＝0．008×10×50＝4，p＝0．04×10×50＝20，q＝50－4－20－6－4＝16，
所以身高在[165,175)的頻率為eq \f(16,50)＝0．32，小矩形的高為0．032，
所以身高在[175,185)的頻率為eq \f(6,50)＝0．12，小矩形的高為0．012，
由此補(bǔ)全頻率分布直方圖：
由頻率分布直方圖可知樣本的身高均值為(150×0．008＋160×0．04＋170×0．032＋180×0．012＋190×0．008)×10＝167．2，
所以由樣本估計(jì)總體可知，估計(jì)該校高中生的身高均值為167．2．
(2)把男生樣本記為x1，x2，x3，…，x25，其均值為eq \(x,\s\up6(－))，方差為seq \\al(2,x)，
把女生樣本記為y1，y2，y3，…，y25，其均值為eq \(y,\s\up6(－))，方差為seq \\al(2,y)，
總體樣本均值記為eq \(z,\s\up6(－))，方差記為s2，
所以eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(25,25＋25)eq \(x,\s\up6(－))＋eq \f(25,25＋25)eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(25×170＋25×160,50)＝165，
s2＝eq \f(1,50)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(25[s\\al(2,x)＋?\(x,\s\up6(－))－\(z,\s\up6(－))?2]＋25[s\\al(2,y)＋?\(y,\s\up6(－))－\(z,\s\up6(－))?2]))＝eq \f(1,50){25[16＋(170－165)2]＋25[20＋(160－165)2]}＝43．
(3)兩種方案總樣本均值的差為167．2－165＝2．2，所以用方案二總體樣本均值作為總體均值的估計(jì)不合適，原因是沒有進(jìn)行等比例的分層隨機(jī)抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不同，因此代表性較差．
班級(jí)
參加人數(shù)
中位數(shù)
方差
平均數(shù)
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
等級(jí)
三等品
二等品
一等品
重量/克
[5,25)
[25,45)
[45,55]
身高(單
位：cm)
[145，
155)
[155，
165)
[165，
175)
[175，
185)
[185，
195]
頻數(shù)
m
p
q
6
4
班級(jí)
參加人數(shù)
中位數(shù)
方差
平均數(shù)
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135
等級(jí)
三等品
二等品
一等品
重量/克
[5,25)
[25,45)
[45,55]
身高(單
位：cm)
[145，
155)
[155，
165)
[165，
175)
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185)
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頻數(shù)
m
p
q
6
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