題型一　數(shù)形結合法研究函數(shù)零點
例1 (2024·南昌模擬節(jié)選)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)2＋bex(a，b∈R)，若a＝0時，函數(shù)y＝f(x)有3個零點，求b的取值范圍.
解　函數(shù)y＝f(x)有3個零點，即關于x的方程f(x)＝0有3個根，
由g′(x)x＋1.(1)求f(x)的單調區(qū)間；
解　∵f(x)＝(2a＋1)x2－2x2ln x－4，∴f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝4x(a－ln x).∵當0ea時，f′(x)ln 2.求證：p是q的充要條件.要求：先證充分性，再證必要性.
證明　先證充分性.由(1)知，當x＝ea時，f(x)取得最大值，即f(x)的最大值為f(ea)＝e2a－4.由f(x)有兩個零點，得e2a－4>0，解得a>ln 2.∴a>ln 2.再證必要性.∵a>ln 2，∴e2a>4.∴f(ea)＝e2a－4>0.∵a>ln 2>0，?x>0，ex>x＋1，∴e2a>2a＋1>2a.
∴?x1∈(e－a，ea)，使f(x1)＝0；∵f(ea＋1)＝－e2a＋2－4ln 2時，f(x)有兩個零點.
利用函數(shù)性質研究函數(shù)的零點，主要是根據(jù)函數(shù)單調性、奇偶性、最值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)形結合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.
當x∈(0，1)時，f′(x)＞0；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0，所以f(x)≤f(1)＝－1＜0，所以f(x)不存在零點；
當x∈(0，1)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，所以f(x)max＝f(1)＝a－1＜0，所以f(x)不存在零點；
(ⅰ)當a＝1時，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，因為f(1)＝a－1＝0，所以函數(shù)f(x)恰有一個零點；
因為f(1)＝a－1＞0，
即0＜a＜1滿足條件.綜上，若f(x)恰有一個零點，則a的取值范圍為(0，＋∞).
題型三　構造函數(shù)法研究函數(shù)零點
例3 已知函數(shù)f(x)＝ex－1＋ax(a∈R).(1)當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍；
解　由題意，得f′(x)＝ex＋a.若a≥－1，則當x∈[0，＋∞)時，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，∴當x∈[0，＋∞)時，f(x)≥f(0)＝0，符合題意；若a1時，h(a)>h(1)＝e－2>0，即g(ea)＝ea－2a>0，∴g(x)在(1，ea)上有一個零點.∴當a>1時，a＝x－ln x有兩個不同的實數(shù)解.綜上，a的取值范圍為(1，＋∞).
得ex＝ea(ln x＋a)，∴xex＝xea(ln x＋a)，即xex＝ea＋ln x(ln x＋a).令u(x)＝xex，則有u(x)＝u(a＋ln x).當x>0時，u′(x)＝(x＋1)ex>0，∴u(x)＝xex在(0，＋∞)上單調遞增，∴x＝a＋ln x，即a＝x－ln x.下同法一.
涉及函數(shù)的零點(方程的根)問題，主要利用導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關系，從而求得參數(shù)的取值范圍.
解　曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點，
當0＜x＜e時，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)單調遞增；當x＞e時，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)單調遞減，
故a的取值范圍為(1，e)∪(e，＋∞).
微點突破　 隱零點問題
在研究函數(shù)單調性時，常常會遇到f′(x)零點不可求的情形，此時可先論證f′(x)有零點，再虛設零點，最后運用零點代換，化簡函數(shù)極值的策略來解決問題，這是隱零點問題常用的處理方法.隱零點的零點代換處理策略被廣泛應用于零點討論、不等式證明、求最值等各種題型中，是零點不可求問題中一個必備的基本處理方法，真題中也十分常見.
例 (2024·青島質檢)設函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.(1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù)；
當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點；
所以f′(x)在(0，＋∞)單調遞增，
故當a>0時，f′(x)存在唯一零點.
證明　由(1)，可設f′(x)在(0，＋∞)的唯一零點為x0，當x∈(0，x0)時，f′(x)0.故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，所以當x＝x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0).
記h(x)＝g′(x)＝ex－2x－1?h′(x)＝ex－2，當x∈(0，ln 2)時，h′(x)0，故h(x)即g′(x)在(0，ln 2)上單調遞減，在(ln 2，＋∞)上單調遞增，又g′(0)＝0，g′(ln 2)＝1－2ln 20恒成立，所以h(x)＝ex＋x在R上單調遞增，所以x＋ln a＝ln(x＋1)，x＞－1，所以要使F(x)有兩個零點，只需ln a＝ln(x＋1)－x有兩個實根.
故函數(shù)M(x)的單調遞增區(qū)間為(－1，0)，單調遞減區(qū)間為(0，＋∞).故函數(shù)M(x)在x＝0處取得極大值，也是最大值，且M(x)max＝M(0)＝0.易知當x→－1時，M(x)→－∞；當x→＋∞時，M(x)→－∞.故要使ln a＝ln(x＋1)－x有兩個實根，只需ln a

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