一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．
C．D．
2．若是方程的解，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，公差，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．函數(shù)的大致圖象為（ ）
A．B．
C．D．
5．某人參加抽獎游戲，現(xiàn)有三疊外形、大小、圖案均相同的卡片，分別有10張、15張、20張，若每疊中有2張中獎卡片，則隨機選擇一疊卡片抽取，中獎的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）.
A．B．
C．D．
7．在平面直角坐標(biāo)系中，以軸非負(fù)半軸為始邊作角和角，，它們的終邊分別與單位圓交于點，，設(shè)線段的中點的縱坐標(biāo)為，若，則角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知偶函數(shù)定義域為，且對于任意的，都有，當(dāng)時，，若方程有且只有6個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是偶函數(shù)B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．最大值為2D．其圖象關(guān)于點對稱
10．若函數(shù)在處取得極大值，則（ ）
A．，或
B．的解集為
C．當(dāng)時，
D．
11．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．若，則函數(shù)的最小正周期為
C．關(guān)于方程在區(qū)間上最多有4個不相等的實數(shù)解
D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，則的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知f(x)是定義在上的奇函數(shù)，且．若，則 ； ．
13．已知，，，則 .
14．已知曲線在點處的切線與曲線相切，則 ；若無極值點，則的取值范圍是 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，分別求函數(shù)取得最大值和最小值時的值；
(2)設(shè)的內(nèi)角，，的對應(yīng)邊分別是，，，且，，，求的面積．
16．如圖，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面與平面交于.
(1)求證：；
(2)若，求二面角的余弦值.
17．某試點高校?？歼^程中筆試通過后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).2022年報考該試點高校的學(xué)生的筆試成績近似服從正態(tài)分布.其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計總體.
(1)假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績高于該校預(yù)期的平均成績，求該校預(yù)期的平均成績大約是多少?
(2)若筆試成績高于76.5進(jìn)入面試，若從報考該試點高校的學(xué)生中隨機抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機變量的期望.
(3)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、設(shè)這4名學(xué)生中通過面試的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：若，則：；；.
18．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求k的值；
(3)設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，，求m的最小值.
19．定義：已知橢圓，把圓稱為該橢圓的協(xié)同圓.設(shè)橢圓的協(xié)同圓為圓(為坐標(biāo)系原點)，試解決下列問題：
（1）寫出協(xié)同圓圓的方程；
（2）設(shè)直線是圓的任意一條切線，且交橢圓于兩點，求的值；
（3）設(shè)是橢圓上的兩個動點，且，過點作，交直線于點，求證：點總在某個定圓上，并寫出該定圓的方程.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】由題意可得：，
，
所以.
故選：D.
2．【正確答案】C
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性原理即可求出解的區(qū)間.
【詳解】因為函數(shù)在定義上單調(diào)遞增，
又，，
所以函數(shù)的零點所在區(qū)間是，即．
故選：C.
3．【正確答案】C
【分析】根據(jù)題設(shè)寫出等差數(shù)列通項公式得，利用單調(diào)性得時，時，即有時最小，進(jìn)而求最小值.
【詳解】由題設(shè)，令，可得，
又，故時，時，
所以時最小，即最小為.
故選：C
4．【正確答案】C
【詳解】解：由題可知，的定義域為，
，
∴fx是偶函數(shù)，排除A，B，
又，排除D，
故選：C．
5．【正確答案】C
【詳解】記事件在第疊卡片中抽獎，，事件中獎，
則，．
由全概率公式可得
．
故選:C.
6．【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組，即可求解.
【詳解】因為，所以，
又因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以解得，所以，
所以可得，解得.
故選:B.
7．【正確答案】B
【詳解】由題意可得，，
則
，
由可得，即，
解得，
即，
又，則時，.
故選：B
8．【正確答案】C
【詳解】因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，
又是偶函數(shù)，所以，所以是以為周期的周期函數(shù).
令，則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，
當(dāng)時，作出與的圖象，
由圖可知，與的圖象有兩個交點，不合題意.
當(dāng)時，作出與的圖象，
因為方程有且只有6個實數(shù)根，
即方程在0,+∞上有且只有3個實數(shù)根，
即與的圖象在0,+∞上有且只有3個交點，
由圖可得，，解得.
綜上，.
故選：C.
9．【正確答案】AD
【分析】
首先根據(jù)輔助角公式化簡函數(shù)，然后根據(jù)選項，依次判斷函數(shù)的性質(zhì).
【詳解】
，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故A正確；
時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯誤；
函數(shù)的最大值是，故C錯誤；
當(dāng)時，，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確.
故選：AD
10．【正確答案】BCD
【詳解】A選項，由題，則，
因在處取得極大值，則或.
當(dāng)時，，令；.
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，不合題意；
當(dāng)時，，令；.
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極大值，滿足題意；
則，故A錯誤；
B選項，由A可知，，則.
故B正確；
C選項，當(dāng)，則，則，由A分析，在0,1上單調(diào)遞增，
則，故C正確；
D選項，令，由A可知，.
則
，
又，則，故D正確.
故選：BCD
11．【正確答案】ABD
【分析】對A：利用對稱性直接求得；
對B：根據(jù)對稱中心與對稱軸可得周期表達(dá)式，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)求出函數(shù)的最小正周期，即可判斷；
對C：先判斷出周期，結(jié)合周期越大，的根的個數(shù)越少，解出在區(qū)間上最多有3個不相等的實數(shù)根，即可判斷；
對D：由題意分析，建立關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍.
【詳解】函數(shù)滿足.
對A：因為，所以，故A正確；
對B：因為，所以函數(shù)的一條對稱軸方程為.
又為一個對稱中心，由正弦圖像和性質(zhì)可知，函數(shù)的最小正周期滿足，即.
又在區(qū)間上單調(diào)，故，即，故，故B正確；
對C：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，
可得，所以周期，
又周期越大，的根的個數(shù)越少.
當(dāng)時，，又，，得.
所以在區(qū)間上有3個不相等的實數(shù)根：，或，或，
故至多3個不同的實數(shù)解，故C錯誤；
對D：函數(shù)在區(qū)間上恰有5個零點，所以，
所以，解得，且滿足，即，
即，所以，故D正確.
故選ABD.
12．【正確答案】
【詳解】由，得函數(shù)f(x)關(guān)于直線對稱，
又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f(x)是周期的函數(shù)，
所以，
故，.
13．【正確答案】
【詳解】因，，，
故，，
故，，
則
.
故
14．【正確答案】 0或 ； .
【詳解】
,
所以切線為,即,
又因為與相切，
所以只有一個解，
當(dāng),,只有一個解符合題意，
當(dāng)a不為零時，符合題意，
所以或；
無極值點，
則無零點，
無根，
或,
解得或,
所以.
故答案為或；.
15．【正確答案】(1)最大值0，此時；最小值，此時；
(2)或.
【詳解】（1），
，
因為，有，所以，
的最大值0，此時，
的最小值，此時；
（2），所以，由為三角形內(nèi)角得，
因為，，由余弦定理得，解得或，
由，得或.
16．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，
又因為平面與平面交于，平面，所以；
（2）取中點，連接，，，因為，，
所以是等邊三角形，由三線合一得：，
又因為是等腰直角三角形，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
故三線兩兩垂直，
如圖以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因為且由（1）知，
所以四邊形為平行四邊形，可得，
所以，設(shè)平面的一個法向量為，
則，取，則，
又平面的一個法向量可取，所以，
設(shè)二面角的大小為，由題意為銳角，所以，
所以二面角的余弦值為.
17．【正確答案】(1)分；
(2)5；
(3)分布列詳見解析；
【詳解】（1）由，
又的近似值為76.5，的近似值為5.5，
所以該校預(yù)期的平均成績大約是（分）
（2）由，可得，
即從所有報考該試點高校的學(xué)生中隨機抽取1人，
該學(xué)生筆試成績高于76.5的概率為
所以隨機變量服從二項分布，故
（3）X的可能取值為，
，
，
，
，
，
所以X的分布列為
所以
18．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）當(dāng)時，，，
所以，所以切線的斜率為，
又因為，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）因為，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
又因為，與不符；
當(dāng)時，由得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，所以，
設(shè)，
則，
由，可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以有唯一解，且.
（3）由（2）知當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，.
所以當(dāng)且時，，
則.
取（），所以，
所以，，，
所以.
所以
所以
于是對于任意正整數(shù)n，，
只需，又因為，所以，
則m的最小值為.
19．【正確答案】（1）；（2）；（3）證明見詳解，定圓的方程為.
【分析】（1）由協(xié)同圓的定義，結(jié)合橢圓方程的參數(shù)寫出協(xié)同圓圓的方程；
（2）討論直線的斜率存在和不存在兩種情況：斜率不存在時，直接求出交點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；斜率存在時，設(shè)聯(lián)立橢圓方程，由切線的性質(zhì)確定判別式符號，應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求；
（3）設(shè)，則，討論有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在，分別求，，，由等面積法求，即可證結(jié)論，并寫出定圓方程.
【詳解】（1）由橢圓，知，
根據(jù)協(xié)同圓的定義，可得該橢圓的協(xié)同圓為圓；
（2）設(shè)，則，
直線為圓的切線，分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論：
①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線，
若，由解得此時.
若，同理得：；
②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，
由得，有，又直線是圓的切線，故，可得，
∴，則而，
∴，即.
綜上，恒有；
（3）是橢圓上的兩個動點且，設(shè)，則，
直線：有一條直線的斜率不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況討論，
若直線的斜率不存在，即點在軸上，則點在軸上，有，
∴，，且，
由，解得，
若直線的斜率都存在，設(shè)，則,
由得有；同理，得.
于是，，
由，可得，
因此，總有，即點在圓心為坐標(biāo)原點，半徑為的圓上,
∴該定圓的方程為圓.
【關(guān)鍵點撥】研究直線與曲線相交關(guān)系注意討論直線的斜率是否存在，求出交點坐標(biāo)或聯(lián)立橢圓、直線方程，根據(jù)判斷判別式的符號、根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合題設(shè)已知條件列方程求定值或定曲線.
X
0
1
2
3
4
P

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