一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4}，集合B＝{1，4，6}，則（?UA）∩B＝（ ）
A．{3，6}B．{1，4，6}C．{1，6}D．{4，6}
2．（5分）函數(shù)f(x)=2x?3+1x?2的定義域為（ ）
A．(23，2)∪(2，+∞)B．(?∞，23)∪(2，+∞)
C．[32，3]D．[32，2)∪(2，+∞)
3．（5分）若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍是（ ）
A．（π6，π3）
B．（2π3，7π6）
C．[2π3，7π6]
D．[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z）
4．（5分）設a＝30.1，b=sinπ3，c＝lg0.13，則（ ）
A．c＞b＞aB．a(chǎn)＞b＞cC．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b
5．（5分）已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（a，1﹣a），且csα=45，則實數(shù)a的值是（ ）
A．4或47B．47C．﹣4D．﹣4或47
6．（5分）已知“?x∈R，使不等式x2﹣4x﹣a﹣1＜0成立”是假命題，則a的取值范圍為（ ）
A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣5，+∞）D．[﹣5，+∞）
7．（5分）max{f（x），g（x）}表示f（x）與g（x）中的較大者，設h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，則函數(shù)h（x）的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
8．（5分）已知函數(shù)f(x)=x2+4x?1，x≤012x?2，x＞0，若函數(shù)y＝f（x）的圖象與函數(shù)y＝k的圖象有2個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．（﹣5，+∞）B．（﹣5，﹣2]
C．（﹣5，﹣2]∪（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，兩個正確答案選對一個得3分，三個正確答案選對一個得2分，有選錯的得0分.）
（多選）9．（6分）下列說法正確的是（ ）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要條件
B．若不等式ax2+2x+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則a+c＝2
C．當x＞3時，x+4x?1的最小值是5
D．函數(shù)y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）過定點（1，2）
（多選）10．（6分）下列說法正確的有（ ）
A．565°角是第三象限角
B．銳角都是第一象限角
C．若θ為第二象限角，則θ2為第二象限或第三象限角
D．若一扇形面積為π，弧長為π，則其圓心角為π2
（多選）11．（6分）用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[﹣1.1]＝﹣2，[1.6]＝1．已知f（x）＝x+[x]，則（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）為奇函數(shù)
C．f（x）為R上的增函數(shù)
D．y＝f（x）與y=52x?1圖象所有交點的橫坐標之和為4
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．（5分）在0°﹣360°的范圍內(nèi)，與﹣571°終邊相同的角是 ．
13．（5分）已知函數(shù)f(x)=x2+2，x＜1，1?f(x?2)，x≥1，則f（1）＝ ．
14．（5分）若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．如果實數(shù)t滿足f（lnt）+f（ln1t）＜2f（1）時，那么t的取值范圍是 ．
四、解答題：（本小題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．（13分）求值：
（1）(23)?2+(5?π)0?(3116)0.5；
（2）lg327?lg32?lg23?6lg63?lg2?lg5；
（3）sin（﹣1395°）cs1110°+cs（﹣1020°）sin750°．
16．（15分）已知冪函數(shù)f(x)=(m2?3m+3)xm2+2m?4為定義域上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集；
（3）當a≥0時，解關于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2xf（x）＞0．
17．（15分）已知函數(shù)f(x)=?2x+a2x+1是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷并用定義證明f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（3）若對于任意的實數(shù)t，不等式f（t2﹣25）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
18．（17分）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛．
（1）設從2021年底起經(jīng)過x年后新能源汽車保有量為y輛，用y＝a?bx（a＞0，b＞0且b≠1）的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢，求出新能源汽車保有量y關于x的函數(shù)關系式；
（2）2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降2%，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）
19．（17分）列奧納多?達?芬奇（Lenard da Vinci，1452﹣1519）是意大利文藝復興三杰之一．他曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達式φ(x)=acs?xa，其中a為懸鏈線系數(shù)，cshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達式為cs?x=ex+e?x2，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為sin?x=ex?e?x2．
（1）證明：cs2x﹣sin2x＝1；（提示：csh2x＝（cshx）2）
（2）求不等式：sinh（2x﹣1）+sinh（x﹣2）＞0的解集；
（3）函數(shù)f（x）＝2csh（2x）﹣2msinh（x）的圖象在區(qū)間（0，+∞）有零點，求實數(shù)m的最小值．
答案與試題解析
一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）
1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4}，集合B＝{1，4，6}，則（?UA）∩B＝（ ）
A．{3，6}B．{1，4，6}C．{1，6}D．{4，6}
【分析】由集合交集、補集運算即可求解．
解：因為U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，
所以?UA＝{1，3，5，6}，
又因為B＝{1，4，6}，
所以（?UA）∩B＝{1，6}．
故選：C．
【點評】本題考查了集合的定義與運算問題，是基礎題．
2．（5分）函數(shù)f(x)=2x?3+1x?2的定義域為（ ）
A．(23，2)∪(2，+∞)B．(?∞，23)∪(2，+∞)
C．[32，3]D．[32，2)∪(2，+∞)
【分析】根據(jù)解析式及根式、分式的性質(zhì)求定義域．
解：由題設2x?3≥0x?2≠0?x≥32x≠2，
所以x≥32且x≠2，
故函數(shù)定義域為[32，2)∪(2，+∞)．
故選：D．
【點評】本題主要考查了函數(shù)定義域的求解，屬于基礎題．
3．（5分）若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍是（ ）
A．（π6，π3）
B．（2π3，7π6）
C．[2π3，7π6]
D．[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z）
【分析】先求出角α在一個周期內(nèi)的范圍，由此能求出角α的取值范圍．
解：角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，
則角α在一個周期內(nèi)的范圍是[2π3，7π6]，
則角α的取值范圍是[2kπ+2π3，2kπ+7π6]（k∈Z），
故選：D．
【點評】本題考查角的取值范圍的求法，考查終邊相同的角的定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
4．（5分）設a＝30.1，b=sinπ3，c＝lg0.13，則（ ）
A．c＞b＞aB．a(chǎn)＞b＞cC．b＞a＞cD．a(chǎn)＞c＞b
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
解：a＝30.1＞30＝1，0＜b=sinπ3=32＜1，c＝lg0.13＜lg0.11＝0，
故a＞b＞c．
故選：B．
【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．
5．（5分）已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（a，1﹣a），且csα=45，則實數(shù)a的值是（ ）
A．4或47B．47C．﹣4D．﹣4或47
【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義建立方程，求解即可．
解：由題及任意角的三角函數(shù)的定義可得：aa2+(1?a)2=45，且a＞0，
所以7a2﹣32a+16＝0，解得a=47或a＝4．
故選：A．
【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．
6．（5分）已知“?x∈R，使不等式x2﹣4x﹣a﹣1＜0成立”是假命題，則a的取值范圍為（ ）
A．（﹣∞，﹣5]B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣5，+∞）D．[﹣5，+∞）
【分析】先寫出命題的否定，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．
解：“?x∈R，使不等式x2﹣4x﹣a﹣1＜0成立”是假命題，
則命題的否定為：?x∈R，不等式x2﹣4x﹣a﹣1≥0恒成立是真命題，
∴Δ＝16+4（a+1）≤0，∴a≤﹣5，
∴a的取值范圍為（﹣∞，﹣5]．
故選：A．
【點評】本題考查了一元二次不等式恒成立求參數(shù)的范圍問題，屬于基礎題．
7．（5分）max{f（x），g（x）}表示f（x）與g（x）中的較大者，設h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，則函數(shù)h（x）的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】由已知作出函數(shù)h（x）的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．
解：因為h（x）＝max{|x+1|，﹣x2+2x+3}，
作出h（x）的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當x＝﹣1時，h（x）取得最小值0．
故選：C．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于基礎題．
8．（5分）已知函數(shù)f(x)=x2+4x?1，x≤012x?2，x＞0，若函數(shù)y＝f（x）的圖象與函數(shù)y＝k的圖象有2個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．（﹣5，+∞）B．（﹣5，﹣2]
C．（﹣5，﹣2]∪（﹣1，+∞）D．（1，+∞）
【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．
解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：
由圖象可知，若函數(shù)y＝f（x）的圖象與函數(shù)y＝k的圖象有2個交點，則﹣5＜k≤﹣2或k＞﹣1，
即實數(shù)k的取值范圍是（﹣5，﹣2]∪（﹣1，+∞）．
故選：C．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的零點與方程根的關系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．
二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，兩個正確答案選對一個得3分，三個正確答案選對一個得2分，有選錯的得0分.）
（多選）9．（6分）下列說法正確的是（ ）
A．“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要條件
B．若不等式ax2+2x+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則a+c＝2
C．當x＞3時，x+4x?1的最小值是5
D．函數(shù)y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）過定點（1，2）
【分析】利用不等式性質(zhì)判斷A；利用一元二次不等式的解法判斷B；利用基本不等式判斷C；利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D．
解：對于A，“a＞b”是“a2＞b2”的不充分不必要條件，故A錯誤；
對于B，∵不等式ax2+2x+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，
∴﹣1和2是方程ax2+2x+c＝0的兩個根，且a＜0，
∴a﹣2+c＝0，解得a+c＝2，故B正確；
對于C，當x≥3時，x+4x?1的最小值是5，故C錯誤；
對于D，函數(shù)y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）中，當x﹣1＝0，即x＝1時，y＝1+1＝2，
∴函數(shù)y＝ax﹣1+1（a＞0，且a≠1）過定點（1，2），故D正確．
故選：BD．
【點評】本題考查不等式性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
（多選）10．（6分）下列說法正確的有（ ）
A．565°角是第三象限角
B．銳角都是第一象限角
C．若θ為第二象限角，則θ2為第二象限或第三象限角
D．若一扇形面積為π，弧長為π，則其圓心角為π2
【分析】根據(jù)終邊相同的角的概念判斷選項A；根據(jù)銳角的定義判斷選項B；根據(jù)象限角的定義判斷選項C；根據(jù)扇形的面積與弧長公式計算圓心角，判斷選項D．
解：對于A，565°＝360°+205°，205°是第三象限角，所以565°是第三象限角，選項A正確；
對于B，銳角是大于0°且小于90°的角，所以銳角都是第一象限角，選項B正確；
對于C，θ為第二象限角時，2kπ+π2＜θ＜2kπ+π，
所以kπ+π4＜θ2＜kπ+π2，k∈Z，所以θ2是第一象限或第三象限角，選項C錯誤；
對于D，設扇形的圓心角為α，半徑為r，則扇形的面積為12αr2＝π，弧長為αr＝π，
解得r＝2，α=π2，即圓心角為π2，選項D正確．
故選：ABD．
【點評】本題考查了象限角與扇形的弧長和面積計算問題，是基礎題．
（多選）11．（6分）用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[﹣1.1]＝﹣2，[1.6]＝1．已知f（x）＝x+[x]，則（ ）
A．f(12)=12
B．f（x）為奇函數(shù)
C．f（x）為R上的增函數(shù)
D．y＝f（x）與y=52x?1圖象所有交點的橫坐標之和為4
【分析】對A、B：由函數(shù)新定義及奇偶性定義判斷；對C：借助單調(diào)性的定義計算即可得；對D：令x+[x]=52x?1可得[x]=32x?1，結(jié)合新定義可得0＜x≤2，再分類討論求方程[x]=32x?1的解即可得．
解：[x]表示不超過x的最大整數(shù)，f（x）＝x+[x]，
則f(12)=12+[12]=12+0=12，A正確；
由f(12)=12，f(?12)=?12+[?12]=?12?1=?32?f（x）不為奇函數(shù)，B錯誤；
令x1＞x2，則x1＞x2，[x1]≥[x2]，
故f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝x1﹣x2+（[x1]﹣[x2]）＞0，
即f（x1）﹣f（x2）＞0?f（x）為R上的增函數(shù)，C正確；
令x+[x]=52x?1，即[x]=32x?1，
x﹣1＜[x]≤x?x?1＜32x?1≤x?0＜x≤2，
當x＝2時，有[2]＝2，32×2?1=2，即2為圖象交點的橫坐標；
當1＜x＜2時，[x]＝1，則1=32x?1，解得x=43，即43為圖象交點的橫坐標；
當x＝1時，[x]＝1，32×1?1=12則，故1不為圖象交點的橫坐標；
當0＜x＜1時，[x]＝0，則0=32x?1，解得x=23，即23為圖象交點的橫坐標；
綜上，圖象所有交點的橫坐標之和為2+43+23=4，故D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，考查運算能力，屬于中檔題．
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．（5分）在0°﹣360°的范圍內(nèi)，與﹣571°終邊相同的角是 149° ．
【分析】根據(jù)解終邊相同角的概念，求解即可．
解：因為﹣571°＝2×（﹣360°）+149°，
所以0°﹣360°的范圍內(nèi)，與﹣571°終邊相同的角是149°．
故149°．
【點評】本題考查了終邊相同的角應用問題，是基礎題．
13．（5分）已知函數(shù)f(x)=x2+2，x＜1，1?f(x?2)，x≥1，則f（1）＝ ﹣2 ．
【分析】由題意得f（1）＝1﹣f（1﹣2）＝1﹣f（﹣1），由此能求出結(jié)果．
解：函數(shù)f(x)=x2+2，x＜1，1?f(x?2)，x≥1，
則f（1）＝1﹣f（1﹣2）＝1﹣f（﹣1）＝1﹣（1+2）＝﹣2．
故﹣2．
【點評】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
14．（5分）若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．如果實數(shù)t滿足f（lnt）+f（ln1t）＜2f（1）時，那么t的取值范圍是 （1e，e） ．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性與對數(shù)的運算性質(zhì)可得f（ln t）+f（ln1t）＜2f（1）等價為f（|lnt|）≤f（1），然后利用函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增即可得到不等式的解集．
解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
則f（ln t）+f（ln1t）＝f（ln t）+f（﹣lnt）＝2f（|lnt|），
若f（ln t）+f（ln1t）＜2f（1），則有2f（|lnt|）＜2f（1），
又由函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則有|lnt|＜1，
解可得1e＜t＜e，即t的取值范圍為（1e，e）；
故（1e，e）．
【點評】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，利用函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（a）＝f（|a|）是解決偶函數(shù)問題的關鍵．
四、解答題：（本小題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）
15．（13分）求值：
（1）(23)?2+(5?π)0?(3116)0.5；
（2）lg327?lg32?lg23?6lg63?lg2?lg5；
（3）sin（﹣1395°）cs1110°+cs（﹣1020°）sin750°．
【分析】（1）由指數(shù)的運算法則計算即可；
（2）由對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可；
（3）由誘導公式化簡計算即可．
解：（1）(23)?2+(5?π)0?(3116)0.5
=34+1?(4916)12=34+1?74=0；
（2）lg327?lg32?lg23?6lg63?lg2?lg5
=lg3332?lg2lg3?lg3lg2?3?12(lg2+lg5)
=32?1?3?12=?3；
（3）sin（﹣1395°）cs1110°+cs（﹣1020°）sin750°
＝﹣sin1395°cs1110°+cs1020°sin750°
＝﹣sin（1440°﹣45°）cs（1080°+30°）+cs（1080°﹣60°）sin（720°+30°）
＝﹣sin（﹣45°）cs30°+cs（﹣60°）sin30°
=22×32+12×12
=6+14．
【點評】本題考查指數(shù)對數(shù)的運算，誘導公式的應用，屬于基礎題．
16．（15分）已知冪函數(shù)f(x)=(m2?3m+3)xm2+2m?4為定義域上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求不等式（x﹣2）f（x）＞0的解集；
（3）當a≥0時，解關于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2xf（x）＞0．
【分析】（1）根據(jù)f（x）是冪函數(shù)且在定義域上是奇函數(shù)即可求出m＝1；
（2）根據(jù)f(x)=1x即可得出分式不等式的解集；
（3）代入f(x)=1x得出不等式為：（ax﹣2）（x﹣1）＞0，然后討論a＝0和a＞0，根據(jù)一元二次不等式的解法即可得出原不等式的解集．
解：（1）∵f（x）是冪函數(shù)，
∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或2，且f（x）是定義域上的奇函數(shù)，
m＝1時，m2+2m﹣4＝﹣1，f(x)=1x是定義域上的奇函數(shù)；
m＝2時，m2+2m﹣4＝4，f（x）＝x4是定義域上的偶函數(shù)，不滿足題意，
∴m＝1；
（2）由（x﹣2）f（x）＞0得：x?2x＞0，解得x＜0或x＞2，
∴不等式的解集為：（﹣∞，0）∪（2，+∞）；
（3）由f(x)=1x及ax2﹣（a+2）x+2xf（x）＞0得：ax2﹣（a+2）x+2＞0，即（ax﹣2）（x﹣1）＞0，且a≥0，
a＝0時，不等式的解集為（﹣∞，0）∪（0，1）；
a＞0時，不等式變成(x?2a)(x?1)＞0，2a＞1，即0＜a＜2時，不等式的解集為（﹣∞，0）∪(0，1)∪(2a，+∞)；2a＜1，即a＞2時，不等式的解集為（﹣∞，0）∪(0，2a)∪(1，+∞)．
【點評】本題考查了冪函數(shù)的定義，奇函數(shù)的定義，分式不等式和一元二次不等式的解法，分類討論的思想，是基礎題．
17．（15分）已知函數(shù)f(x)=?2x+a2x+1是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷并用定義證明f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（3）若對于任意的實數(shù)t，不等式f（t2﹣25）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得f（0）＝0，由此可求出a值，注意檢驗；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷證明；
（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號“f”，從而轉(zhuǎn)化為具體不等式恒成立，從而可求k的范圍．
解：（1）函數(shù)f(x)=?2x+a2x+1是R上的奇函數(shù)，則f(0)=?1+a2=0，
解得a＝1，
所以f(x)=1?2x1+2x，
經(jīng)驗證f（x）為奇函數(shù)，所以a＝1；
（2）f（x）在定義域R上是減函數(shù)，證明：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，
所以f（x2）﹣f（x1）=1?2x21+2x2?1?2x11+2x1=2(2x1?2x2)(1+2x1)(1+2x2)，
因為x1＜x2，
所以0＜2x1＜2x2，即2x1?2x2＜0，
又因為(1+2x1)(1+2x2)＞0，
所以f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），
所以該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù)；
（3）因為f（x）是奇函數(shù)，且在定義域R上是減函數(shù)；
故對于任意的實數(shù)t，不等式f（t2﹣25）+f（2t2﹣k）＜0恒成立
??t∈R，f（t2﹣25）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2）恒成立
??t∈R，t2﹣25＞k﹣2t2恒成立
即k＜（3t2﹣25）min＝﹣25，
所以實數(shù)k的取值范圍是{k|k＜﹣25}．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，考查不等式恒成立問題及運算能力，屬于中檔題．
18．（17分）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長，某地區(qū)2021年底新能源汽車保有量為1500輛，2022年底新能源汽車保有量為2250輛．
（1）設從2021年底起經(jīng)過x年后新能源汽車保有量為y輛，用y＝a?bx（a＞0，b＞0且b≠1）的模型來刻畫新能源汽車保有量的增長趨勢，求出新能源汽車保有量y關于x的函數(shù)關系式；
（2）2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降2%，若每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）
【分析】（1）由題意得a?b0=1500a?b1=2250，然后求解即可；
（2）設從2021年底起經(jīng)過x年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為m輛，則1500×(32)x＞50000×(1?2%)x，然后結(jié)合對數(shù)的運算求解即可．
解：（1）由題意得a?b0=1500a?b1=2250，
解得a=1500b=32，
所以y=1500×(32)x；
（2）設從2021年底起經(jīng)過x年后傳統(tǒng)能源汽車保有量為m輛，
則有m＝50000×（1﹣2%）x，
令1500×(32)x＞50000×(1?2%)x，
即3×(32)x＞100×(1?2%)x=100×(98100)x=100×(72×2100)x，
化簡得lg3+x（lg3﹣lg2）＞2+x（2lg7+lg2﹣2），
解得x＞2?lg32+lg3?2lg2?2lg7≈8.44，
即從2021年底，經(jīng)過9年后，即2030年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．
【點評】本題考查了函數(shù)解析式的求法，重點考查了對數(shù)的運算，屬中檔題．
19．（17分）列奧納多?達?芬奇（Lenard da Vinci，1452﹣1519）是意大利文藝復興三杰之一．他曾提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達式φ(x)=acs?xa，其中a為懸鏈線系數(shù)，cshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達式為cs?x=ex+e?x2，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達式為sin?x=ex?e?x2．
（1）證明：cs2x﹣sin2x＝1；（提示：csh2x＝（cshx）2）
（2）求不等式：sinh（2x﹣1）+sinh（x﹣2）＞0的解集；
（3）函數(shù)f（x）＝2csh（2x）﹣2msinh（x）的圖象在區(qū)間（0，+∞）有零點，求實數(shù)m的最小值．
【分析】（1）由已知定義，結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)即可證明；
（2）先判斷函數(shù)sinh（x）的單調(diào)性及奇偶性，然后結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式；
（3）由已知利用換元法，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性即可求解．
解：（1）證明：因為cs?x=ex+e?x2，sin?x=ex?e?x2．
所以cs2x?sin?2x=(ex+e?x2)2?(ex?e?x2)2=e2x+e?2x+24?e2x+e?2x?24=1；
（2）因為sin?(?x)=e?x?ex2=?sin?x，x∈R恒成立，
故y＝sinhx 是奇函數(shù)，
又因為y＝ex在R上嚴格遞增，y＝e﹣x在R上嚴格遞減，
故y=sin?x=ex?e?x2是R上的嚴格增函數(shù)，
所以sinh（2x﹣1）+sinh（x﹣2）＞0可化為sinh（2x﹣1）＞﹣sinh（x﹣2）＝sinh（2﹣x），
所以2x﹣1＞2﹣x，解得x＞1，所求不等式的解集為（1，+∞）；
（3）因為f（x）＝2csh（2x）﹣2msinh（x）的圖象在（0，+∞）有零點，
又x＞0時，sinh（x）=ex?e?x2＞0，
令t＝ex﹣e﹣x，t＞0，
所以m=cs?(2x)sin?(x)=e2x+e?2xex?e?x=(ex?e?x)2+2ex?e?x=t+2t，
根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，若y＝m與y＝t+2t有交點，則m≥22，
故m的范圍為{m|m≥22}．
【點評】本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，屬于中檔題．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
D
B
A
A
C
C

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