一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．（-3，2]B．[-3，2）C．（2，3]D．[2，3）
【答案】D
【分析】分別求得集合，，再結(jié)合集合的交集和補集的運算，即可求解.
【詳解】由題意，集合，則，
又由，
所以．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了集合的混合運算，其中解答中熟記對數(shù)的運算性質(zhì)正確求解集合，再根據(jù)集合的交集、并集和補集的運算是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎題.
2．已知為虛數(shù)單位，且復數(shù)滿足，則（ ）
A．1B．2
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則計算即可.
【詳解】由題，
則.
故選：D
3．已知點是所在平面內(nèi)的一點，且，設，則（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】由，可得為的中點，由圖形結(jié)合平面向量基本定理用將表示出來，再結(jié)合，可求出的值，從而可求得答案
【詳解】由題意作圖，因為，所以為的中點，
所以，
因為，
所以由平面向量基本定理可得，
所以，
故選：D
4．我國古代學者莊子在莊子天下篇中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，指一指長的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永遠也取不盡.現(xiàn)有尺長的線段，每天取走它的，天后剩下的線段長度不超過寸尺寸，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，得出不等式，結(jié)合指數(shù)冪的運算性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題意知，田后剩下的弦長長度為，則，即，
因為，所以，即的最小值是.
故選：C.
5．在等差數(shù)列中，，其前項和為，且，則 的值等于（ ）
A．B．C．2023D．2024
【答案】B
【分析】先設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，得到也是等差數(shù)列，由題意，求出，即可得出結(jié)果.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，
，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，
又，則，即，又，
所以，
，解得.
故選：B.
6．已知，，則（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】利用和角的正弦公式、正切公式，結(jié)合同角公式求解即得.
【詳解】由，得，
兩邊除以，得，即有，
又，因此，
所以.
故選：C
7．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值點，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，依題意可得在區(qū)間內(nèi)有零點，參變分離可得，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得到的取值范圍，最后檢驗時不符合題意，即可得解.
【詳解】解：函數(shù)，，
若函數(shù)在區(qū)間上有極值點，
則在區(qū)間內(nèi)有零點，
由可得，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，
所以，
，
當時，，不符合題意，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：C．
8．已知在中，角的對邊分別為，，點Q在邊BC上，且滿足（），，則 的最小值是（ ）
A．32B．36C．72D．80
【答案】B
【分析】根據(jù)向量關系，可得平分角，利用三角形面積公式求出的關系，再利用基本不等式“1”的妙用求解.
【詳解】向量分別是與向量同向的單位向量，由（），
得是的內(nèi)角的平分線，則，而，
于是，化簡得，即，
所以，當且僅當，時取等號，
所以當，時， 取得最小值36.
故選：B
二、多選題
9．下列命題中，是真命題的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)：2，1，4，3，5，3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同
B．有A，B，C三種個體按的比例做分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個體數(shù)為9，則樣本容量為30
C．若隨機變量，則其數(shù)學期望
D．若隨機變量，，則
【答案】ACD
【分析】A選項，計算出平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)，得到A正確；B選項，計算出樣本容量為18；C選項，根據(jù)二項分布的數(shù)學期望公式求出答案；D選項，利用正態(tài)分布的對稱性得到概率.
【詳解】A選項：平均數(shù)為：，3出現(xiàn)了兩次，出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)為3，
將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，3，3，4，5.所以中位數(shù)為，故A正確；
B選項：樣本的容量為，故B錯誤；
C選項：由，故C正確；
D選項：，故D正確.
故選：ACD.
10．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（ ）
A．數(shù)列是遞減數(shù)列B．
C．時，n的最大值是18D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項求和公式可得、，結(jié)合通項公式和前n項求和公式計算，依次判斷選項即可.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，
由，得，
解得，因為，所以.
A：由，可得
所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，故A錯誤；
B：，故B正確；
C：，
由可得，所以，又，
所以n的最大值是18，故C正確；
D：，，
由，得，故D錯誤.
故選：BC.
11．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．的取值范圍是
C．若為邊上中點，且，則的最小值為
D．若面積為1，則三條高的乘積的平方的最大值為
【答案】ACD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡已知式可判定A，根據(jù)三角恒等變換及正弦函數(shù)性質(zhì)求解范圍可判定B，由余弦定理、平面向量的線性運算及基本不等式可判定C，由基本不等式及余弦定理可判定D.
【詳解】對于A項，由得
，即，
因為，則，
若顯然不符題意，或者也不符合題意，
所以，即，所以，故A正確；
對于B項，，
因為，所以，所以，
所以，即的取值范圍是，故B錯誤；
對于C項，由余弦定理知，
又為邊上中點，所以，
所以，所以，所以，
當且僅當時，取得等號，所以，所以，故C正確；
對于D項，不妨設三邊上的高分別，則，
又，所以，所以，
根據(jù)余弦定理知，所以，
當且僅當時，取得等號，故D正確.
故選：ACD
12．已知函數(shù)的定義域為，為的導函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由是偶函數(shù)得出是奇函數(shù)，由已知兩條件推出是以4為周期的函數(shù)，進而可得為周期為4的偶函數(shù)，然后賦值法逐項分析即得．
【詳解】因為是偶函數(shù)，則，兩邊求導得，
所以是奇函數(shù)，故，
由，，得，
即，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，
，所以，
對選項A：由，令得，，所以，故A正確；
對選項B：由，令得，，故，所以B正確；
對選項C：由，可得，
又，所以，
又是奇函數(shù)，，
所以，又，
所以，即，
所以，，，
所以函數(shù)為周期為4的偶函數(shù)，
所以，故C正確；
對選項D：，由題得不出，所以不一定成立，故D錯誤.
故選：ABC.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用條件得出函數(shù)的奇偶性及周期性，進而得到函數(shù)的性質(zhì)，然后利用賦值法求解.
三、填空題
13．已知函數(shù)則f(14)=
【答案】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)，由求解.
【詳解】解：因為函數(shù)，
所以，
故答案為：
14．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則
【答案】
【分析】利用三角函數(shù)平移變換求出，然后根據(jù)奇偶性求出參數(shù)的值.
【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
得，
因為為偶函數(shù)，即為對稱軸，
所以，
化簡得，
因為，所以.
故答案為：
15．已知向量，，，則向量與的夾角為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)已知，利用向量的模長、夾角公式、向量的坐標表示以及向量的運算律計算求解.
【詳解】因為，所以，所以，
又，，所以，所以，
所以，所以，
又，
所以向量與的夾角為，
因為向量與的夾角范圍為：，
所以向量與的夾角為.
故答案為：.
四、雙空題（新）
16．英國著名物理學家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應用廣泛.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設且，數(shù)列的前項和為，則 ， .
【答案】
【分析】對函數(shù)求導，結(jié)合已知得，進而求得，根據(jù)等比數(shù)列定義及前項和求、，最后求即可.
【詳解】因為，則，
則，
又，所以，
又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，
所以，，即，
因為，即，解得.
故答案為：；.
五、問答題
17．設函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當時，，求的值．
【答案】(1).
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由降冪公式化簡即可得到函數(shù)的解析式，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，再由余弦的和差角公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得：
，
由，可得；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）∵ ，∴，
∵， ∴，∵， ∴，
∴，
∴．
六、證明題
18．設為數(shù)列的前項和．已知．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）當時，求出的值，當時，由可得出，兩式作差可得出，結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；
（2）由（1）中的結(jié)論可求出數(shù)列的通項公式，可求得的表達式，再利用裂項相消法可求得.
【詳解】（1）證明：已知①，
當時，②，
①②得：，即，
所以，，
當時，則，則，
所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）可知，，則，
所以，，
所以，，
.
七、應用題
19．為了增強學生愛黨愛國主義情懷，某中學舉行二十大黨知識比賽活動，甲、乙、丙三名同學同時回答一道有關黨的知識問題.已知甲同學回答正確這道題的概率是，甲、丙兩名同學都回答錯誤的概率是，乙、丙兩名同學都回答正確的概率是.若各同學回答是否正確互不影響.
(1)求乙、丙兩名同學各自回答正確這道題的概率；
(2)求甲、乙、丙三名同學中不少于2名同學回答正確這道題的概率.
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）記“甲同學回答正確這道題”，“乙同學回答正確這道題”，“丙同學回答正確這道題”分別為事件A，B，C，根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，列出方程組，即可求解；
（2）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式，分別求得0名同學回答正確和1名同學回答正確的概率，結(jié)合對立事件的概率公式，即可求解.
【詳解】（1）記“甲同學回答正確這道題”，“乙同學回答正確這道題”，“丙同學回答正確這道題”分別為事件A，B，C，
則，，，
即，所以，，
所以乙、丙兩名同學各自回答正確這道題的概率為和.
（2）有0名同學回答正確的概率，
有1名同學回答正確的概率，
所以不少于2名同學回答正確這道題的概率.
八、問答題
20．如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求的面積；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理求出，再利用面積公式即可求出結(jié)果；
（2）在和中，利用正弦定理，建立等量關系和，從而得到，再化簡即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因為，，，由余弦定理得，
所以，即，解得，
所以．
（2）設，
在中，由正弦定理得，所以①，
在中，，，
則，即②
由①②得：，即，∴，
整理得，所以．

21．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且，.
(1)求通項公式；
(2)在和之間插入1個數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)、、…、，使、、、…、、成等差數(shù)列.若，且對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等邊數(shù)列的通項與前項和列式解出或，再由是遞增數(shù)列，得出，即可得出答案；
（2）若、、、…、、成等差數(shù)列，設其公差為，即可得出，，結(jié)合等差數(shù)列前項和得出，即可根據(jù)錯位相減法得出，則，令，則數(shù)列為遞減數(shù)列，即可結(jié)合已知列不等式得出答案.
【詳解】（1）設的公比為，
由，得：，
解得或，
因為是遞增數(shù)列，
所以，則，
所以.
（2）在和之間插入個數(shù)、、…、，
使、、、…、、成等差數(shù)列，設其公差為，
此數(shù)列首項為，末項為，
則，，
則
又,
則,
則，
則，
令，則數(shù)列為遞減數(shù)列，
由對恒成立，
則當為偶數(shù)時，對恒成立，則；
當為奇數(shù)時，對恒成立，則，即，
綜上實數(shù)的取值范圍為.
九、證明題
22．已知函數(shù).
(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證：(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再對分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，，是方程的兩個根，即可得到，令則，則，只需證明當時，不等式成立即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，
則，
當時令，解得或，
當，即時恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當即時，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
當即時，令，解得或，則在，上單調(diào)遞增，
令，解得，則在上單調(diào)遞減；
綜上可得， 當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因為，由題意，是方程的兩個根，①，②，
①②兩式相加，得③，①②兩式相減，得④，
聯(lián)立③④，得，，
設，，，，，
因為，所以，則，
若，則一定有，
只需證明當時，不等式成立即可，即不等式成立，即不等式成立，
設函數(shù)，，
在上單調(diào)遞增，故時，，
即證得成立，
即證得當時，，即證得，
，即證得，則．
【點睛】思路點睛：本題第二問是導數(shù)應用中的函數(shù)零點，雙變量問題.根據(jù)函數(shù)零點的定義可得，，兩式相加，相減運算可得，，即得，令，即，又易證，只需證明當時，不等式成立即可，即不等式成立，構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)證明即可.

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