海南中學(xué)2025屆高三年級第一次月考數(shù)學(xué)試題卷 時間：120分鐘 滿分：150分 命題人：余書勝潘小芳
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡相應(yīng)位置上
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫 在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙 和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
第Ⅰ卷(選擇題)
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合A={x|00 且cb>0, 則
4.已知直線l:x+my+2=0 和? : mx+9y+6=0 互相平行，則實(shí)數(shù)m 的 值 為 ( )
A.m=-3或m=3 B.m=-3 C.m=3 D.m=0
5.雙曲線4x2-y2=4a(a≠0) 的漸近線方程為( )
A.y=土x B.y=±2x C.y=± D.y=±ax
6.已知函數(shù) 滿足對任意實(shí)數(shù), 都有 成立，則a的取值范圍
是( )
A.(0,3) B. c. D.[2,3]
7.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函 數(shù)”為： 設(shè)x∈R , 用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,若函數(shù)則函數(shù)y=[f(x)]的值域?yàn)? )
試卷第1頁，共4頁
A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{2,3,4,5}
8.已知函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)镽,y=f(x)-4e* 為奇函數(shù)，y=f(x)+2e2 為偶函數(shù)，則f(x) 的最小值為()
A.2√3 B.4√3 C.6√3 D.8√3
二 、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多 項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的部分給分.
9.下列說法正確的是()
A.a+1 ab, ab > b2 ，即 a2 > ab > b2 ，故 B 為真命題；
對于選項(xiàng) C ：若 a > b > 0 ，則 a2 > b2 > 0 ，可得 < ，
c c
因?yàn)閏 < 0 ，所以 a2 > b2 ，故 C 為真命題；
對于選項(xiàng) D ：例如c = 0 ，則ac2 = bc2 = 0 ，故 D 為假命題； 故選：D.
4．【詳解】直線l1 : x + my + 2 = 0 和l2 : mx + 9y + 6 = 0 互相平行,顯然m = 0 不合題意，則 = ≠ .解得m = -3 . 故選：B.
5 ．【詳解】雙曲線4x2 - y2 = 4a 即 故漸近線方程為x = ±2x .故選：B
6 ．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f (x) 滿足對任意實(shí)數(shù)x1 ≠ x2 ，都有 < 0 成立，
不妨假設(shè)x1 < x2 ，則x2 - x1 > 0 ，可得f (x2 ) -f (x1 ) < 0 ，即f (x1 ) > f (x2 ) ，
-a + 6 ≥ a
可知函數(shù) f (x) 在 R 上遞減，則 ，解得： 2 ≤ a ≤ 3 ，
l
所以a 的取值范圍是[2, 3] .故選：D.
7 ．【詳解】 f (x) = = 1+ ，
: 2x > 0, :1+ 2x > 1, 0 < < 1 ，則1 < 1+ < 5 ，即1 < f (x) < 5 ，
當(dāng)1 < f (x) < 2 時， f (x ) = 1 ；當(dāng)2 ≤ f (x) < 3 時， f (x) = 2 ；
當(dāng)3 ≤ f (x) < 4 時， f (x ) = 3 ；當(dāng)4 ≤ f (x) < 5 時， f (x) = 4 ， 綜上，函數(shù)y = f (x ) 的值域?yàn)閧1, 2, 3, 4} .
故選：C.
8 ．【詳解】 由y = f(x) - 4ex 是奇函數(shù)，得f(-x) - 4e-x = -f(x)+ 4ex ， 由y = f(x) + 2ex 是偶函數(shù)，得f(-x)+ 2e-x = f(x)+ 2ex ，
聯(lián)立解得 f(x) = ex + 3e-x ≥ 2 · = 2 ·i3 ，當(dāng)且僅當(dāng)ex = 3e-x ，即x = ln 3 時取等號， 所以 f (x) 的最小值是2 .故選：A
二、多項(xiàng)選擇題:本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多 項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得 5 分，有選錯的得 0 分，部分選對的部分給分.
9．【詳解】對于 A ，由a < a +1 ，a +1 < b ，得a < b ；反之若a < b ，而a < a +1 ，不能判斷a +1 與b 的大小， 因此 a +1 ，C 錯誤；
對于 D ，由M ∩ N = N ，得 N 二 M ，由M = {1, 3} ，得M 有 4 個子集，因此集合 N 的個數(shù)為 4 ，D 正確. 故選：AD
10 ．【詳解】因?yàn)閍 > 0 ，b > 0 且a + b = 1 ， 2a + 2b ≥ 2 · = 2 · = 2 · , 當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 時取“ = ” ，故 A 正確；
因?yàn)閟ab ≤ = ，所以( + )2 = a + b + 2 ·iab = 1+ 2vab ≤ 2 ， 所以 ·ia + ≤ ·i2 ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = 時，等號成立，故 B 正確； + ≥ 2 ·× = 2 · = ·、i2 ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b = 時取“ = ”，
由 B 選項(xiàng)可知， ·ia + ≤ ·i2 ，所以 + ≥ 、ia + ， 當(dāng)且僅當(dāng) a = b = 時，等號成立，故 D 正確；
a2 + b = a2 +1 - a = (|( a - ), 2 + ，當(dāng) a = b = 時， (|( a - ), 2 + 有最小值 ，
即a2 + b ≥ , 故 C 錯誤.
故選：ABD
11 ．【詳解】令g(x) = f (x +1) ，因?yàn)閒 (x +1) 是奇函數(shù)，
所以g (-x ) = f (-x + 1) = -g (x ) = -f(x + 1) ，
即f (-x +1) = -f (x +1) , f (x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 0) 對稱. 令h (x) = f (x + 2) ，因?yàn)閒 (x + 2) 是偶函數(shù)，
所以h (-x ) = f (-x + 2) = h (x ) = f (x + 2) ，
即f (-x + 2) = f (x + 2) , f (x ) 的圖象關(guān)于直線x = 2 對稱.
A 選項(xiàng)，由f (-x +1) = -f (x +1) ，令x = 0 ，可得f (1) = -f (1) → f (1) = 0 ， 由f (-x + 2) = -f (x + 2) ，令x = 1 ，可得f (1) = f (3) = 0 ，故 A 正確.
B 選項(xiàng)，由f (-x + 2) = f (x + 2) ，令x = 2 ，可得f (0) = f (4) ，故 B 正確.
C 選項(xiàng)，由f (-x +1) = -f (x +1) ，令x = ，可得 ，故 C 正確.
D 選項(xiàng)，由 f (x )在[1, 2]上單調(diào)遞減，結(jié)合f (x ) 的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 0) 對稱，可知f (x )在[0, 1]上單調(diào)遞減， 由f (1) = 0 可知f (x )在[0, 2]上單調(diào)遞減，又f (x ) 的圖象關(guān)于直線x = 2 對稱，則f (x )在[2, 4] 上單調(diào)遞增， 故 D 錯誤.
故選:ABC .
第 II 卷 (非選擇題 共 90 分)
三、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
12 ．【詳解】等價于x(x +1) > 0 ，解集為 (-∞ , -1) u (0, +∞) .
13 ．【詳解】 ∵ -1 ≤ x ≤ 3 ， ∴ -1 ≤ 2x +1≤ 7 ， ∴ f (x ) 的定義域?yàn)閇-1, 7] ．故答案為： [-1, 7] .
14 ．【詳解】 由P 為圓 A : (x -1)2 + y2 = 4 上一動點(diǎn)，得A(1，0)，AP = 2 ， 由Q 為圓B : (x - 3)2 + (y - 4)2 = 1上一動點(diǎn)，得B(3, 4), BQ = 1，
又iAOi = 1, iACi = 4 . 因?yàn)?上ACP = 上ACP ，所以△ACP ∽△APO ，
于是| PC |= 2 | PO | . 當(dāng)P, Q, B 共線且PQ < PB 時 PQ + PB 取得最小值，即 PQ + PB ≥ 2PB -1 .
所以PC + PQ + PB ≥ 2PO + 2PB -1 ≥ 2OB -1 = 2 (3 - 0)2 + (4 - 0)2 -1 = 9 ，
當(dāng)O, P, B 共線時等號成立. 故答案為：9 .
四、解答題：本大題共 5 小題，共 77 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15 ．【詳解】（1）因函數(shù)y = f (x ) 滿足f (x + 3) = -f (x ) ，且當(dāng)x ∈[0, 3) 時， f (x) = x ，
所以 f(4) = -f(1) = -1 ， f(6) = -f(3) = f(0) = 0 ， f(8) = -f(5) = f(2) = 2 .
（2）函數(shù)y = f (x ) 的一個周期T = 6 ，
因函數(shù)y = f (x ) 滿足f (x + 3) = -f (x ) ，則f(x + 6) = -f(x + 3) = - [-f(x)] = f(x) ， 所以函數(shù)y = f (x ) 的一個周期T = 6 .
16 ．【詳解】（1） 由題意可得
即ax2 + bx + c = -ax2 + bx - c ，即ax2 + c = 0 ，故a = 0 ， c = 0 ，
又f (1) = = = ，故b = 1 ，即f (x ) = ；
（2） f (x )在[-2,2] 上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)-2 ≤ x1 < x2 ≤ 2 ，
則f (x1 )-f (x2 ) = - = x1 (x(+44))-(EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 10(x),x) 4)
= x1x2EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 0(2),1)xEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 8(1),4))-(EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 11(x),x) EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 11(-),4)x2 = (x(EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 9(1),x)1EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 12(-),2)EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 9(2),4)))(1EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 12(x),4)) ，
由-2 ≤ x1 < x2 ≤ 2 ，則x1 - x2 < 0 ， 4 - x1x2 > 0 ， (xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1) + 4)(xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) + 4) > 0 ，
故f (x1 )-f (x2 ) < 0 ，
故f (x )在[-2,2] 上單調(diào)遞增；
（3） 由函數(shù)f (x ) 為奇函數(shù)，故f (x -1) < -f (x) = f (-x)，
又函數(shù)f (x ) 在[-2,2] 上單調(diào)遞增，故有≤ 2 ，解得x ∈
所以不等式的解集為 .
所以，當(dāng)VAOB 的面積最小時，VAOB 的周長為6 + 2 ·5 ，此時直線l 的方程為x + 2y - 4 = 0 .
17 ．【詳解】（1）令CP∩ DE = G ，連接FG ，
由四邊形PDCE 為矩形，得G 為PC 中點(diǎn)，又F 為PA 中點(diǎn)，則 AC / /FG ，
又FG 平面DEF ， AC 丈 平面DEF ，所以 AC / / 平面DEF .
（2） 由PD 垂直于梯形ABCD 所在平面， 上ADC = 90。，得直線DA, DC, DP 兩兩垂直， 以D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA, DC, DP 分別為x, y, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B(1, 1, 0), C(0, 2, 0), P(0, 0, ·i2 ) ，
設(shè)平面BCP 的法向量 ，則 = 0 ，令y = 1 ，得 由z 軸丄平面 ABCD ，得平面 ABCD 的法向量 = (0, 0, 1) ，
則| cs 所以平面ABCD 與平面BCP 的夾角的余弦值為 .
18 ．【詳解】（1） 由題意知，ξ的可能取值有 0 ，1 ，2 ，3 ， P
所以ξ的分布列為：
試卷第5頁，共 7頁
ξ
0
1
2
3
E (ξ) = 0 × +1× + 2× + 3× = .
（2）因?yàn)榧?、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為X ，則X ~ B(2, P1 ) ， 設(shè)乙答對題數(shù)為η , 則η~ B(2, P2 )，
設(shè)“A = 甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,
則P(A) = P (X = 1)P (η = 2) + P(X = 2)P (η = 1) + P(X = 2)P (η = 2) =CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(1),2)P1 (1- P1 ) CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P22 + CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P12 CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(1),2)P2 (1- P2 ) + CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P12 CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P22
= 2P1 (1- P1 )P22 + 2P2 (1- P2 )P12 + P12P22
2 2 8
= -3P1 P2 + 3 P1P2
由0 ≤ P1 ≤ 1, 0 ≤ P2 ≤ 1 ，又p1 + p2 = ，所以 ≤ P1 ≤ 1 ，
則P1P2 = P1 (|( - P1), = P1 - PEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 6(2),1) ，又 ≤ P1 ≤ 1 ，所以P1P2 ∈ , ，
設(shè)t = P1P2 ，所以P(A) = -3t 2 + t ,t ∈ , ，由二次函數(shù)可知當(dāng)t = 時取最大值 ，
27 .
所以甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為 16
19 ．【詳解】（1）在橢圓 C 中，令x = c ，可得y = ± , 故有 = 3 ，而c = 1 ， a2 = b2 + c2 ，解得a2 = 4 ， b2 = 3 ， c2 = 1 ，故橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + = 1 .
（2）(ⅰ) 設(shè) l： x = ty +1 ，將 l 與 C 聯(lián)立可得： (3t2 + 4)y2 + 6ty -9 = 0 .
設(shè)A(X1, y1 ，B X2, y2) ，則y1 + y2 = ， y1y2 = .
( x 1 y ) ( x 1 y ) ( x x 1 y y ) ( x x 1 y y )
則D - 2 , ， E - 2 , ，M + - 4 , + ， N + - 4 , + 41 , .
①當(dāng) l 與 x 軸垂直時， x1 = x2 ，此時xM = - = xN ，故MNⅡAB ；
y1 - y2
②當(dāng) l 與 x 軸不垂直時kMN = = = = kAB ，也有MNⅡAB .
4
綜上，MN ⅡAB ．故 AB = ·1+ t2 y1 - y2 ，
而 MN = yM - yN = = AB ，故 = .
P
4
35
18
35
12
35
1
35
由 可知： MN ⅡAB ，故lMN ： x -
令y = 0 ，解得x =
lMN 恒過定點(diǎn) ．設(shè) 到 MN 與AB 的距離分別為d1 與d2 ， △F1AB 的面積為S1 ，則
r
因?yàn)閥 = 3r + 在 上單調(diào)遞增，故3r + 則 . 綜上所述，S 的取值范圍為 .
試卷第 7頁，共 7頁
試卷第4頁，共4頁

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