10.1 集中趨勢與離散程度
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一下冊）
授課
時長
4 課時
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課從兩名短道速滑運動員備戰(zhàn) 2022 年北京冬奧會訓(xùn)練成績?nèi)胧?，引?dǎo)學(xué)生思考如何判斷樣本數(shù)據(jù)集中在哪個數(shù)據(jù)附近，引出集中趨勢，進而介紹常用的表示集中趨勢的三個參數(shù)；然后從“復(fù)興號高鐵某種零件招標(biāo)”引出對于樣本離散程度的思考，在初步對數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度有個簡單的對比的基礎(chǔ)上，為下面學(xué)習(xí)具體的表示數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量做鋪墊．最后，通過嘗試解決具體
的問題達成教學(xué)目標(biāo).
教學(xué)目標(biāo)
能用正確的數(shù)學(xué)符號表示算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和離散系數(shù)；能求出算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和離散系數(shù)；能用統(tǒng)計參數(shù)比較兩組數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度；通過學(xué)習(xí)，逐步提升數(shù)據(jù)分
析、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．
教學(xué)
重點
描述樣本集中趨勢與離散程度的統(tǒng)計參數(shù)的求解.
教學(xué)
難點
用統(tǒng)計參數(shù)比較樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度.
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動
學(xué)生
活動
設(shè)計
意圖
引入
在基礎(chǔ)模塊中，我們學(xué)習(xí)了通過抽樣來收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、理解數(shù)據(jù)中蘊含的信息，用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.用樣本均值和樣本方差體現(xiàn)樣本的集中趨勢和離散程度. 本章我們將進一步學(xué)習(xí)如何用樣本數(shù)據(jù)估計總體的集中趨勢和離散程度，從而更好地用
樣本數(shù)據(jù)估計總體的特征.
提出問題
引發(fā)思考
思考分析回答
引出課題
情境導(dǎo)入
10.1.1 集中趨勢
為了備戰(zhàn) 2022 年北京冬季奧運會，甲、乙兩名短道速滑運動員按計劃進行速滑訓(xùn)練.在某天的訓(xùn)練中，他們隨機抽取的 5 次訓(xùn)練成績 ( 單位：s）如下:
甲：40.7，41.2，39.9，40.3，41.9；乙：41.3，39.7，41.4，40.0，41.8.
分析上述數(shù)據(jù)，你能估計出誰的訓(xùn)練成績更好嗎？
提出問題引發(fā)思考
觀察思考討論交流
結(jié)合實時熱點激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興 趣，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境
可以從集中趨勢的角度分析這些樣本數(shù)據(jù)的分布特征，估計哪一名運動員的訓(xùn)練成績更好.
集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，反
講解
理解
從算
術(shù)平均數(shù)
新知探索
映這組數(shù)據(jù)中心點的位置所在.常用的表示集中趨勢的統(tǒng)計量有算術(shù)平均數(shù)、 中位數(shù)和眾數(shù)等.
1.算術(shù)平均數(shù)
一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以這組數(shù)據(jù)的個數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù).設(shè)這組數(shù)據(jù)為 x1，x2，…，xn，則它們的算數(shù)平均數(shù)為
計算可得，上述“情境與問題”中兩位運動員的 5 次訓(xùn)練成績的算術(shù)平均數(shù)分別為 x甲=40.80，x乙=40.84 ，因為 x甲 ? x乙 ，所以估計甲訓(xùn)練成績更好．
可以看出，算術(shù)平均數(shù)的計算方法與基礎(chǔ)模塊中樣本
均值的計算方法是一致的，所以算術(shù)平均數(shù)也稱為算術(shù)均值.
在某些實際問題中，不同樣本數(shù)據(jù)的重要程度可能不同，從而對集中趨勢產(chǎn)生不同的影響，若一組數(shù)據(jù)為 x1， x2，…，xn，它們出現(xiàn)的頻數(shù)分別為 f1，f2，…，fn，則
稱為這組數(shù)據(jù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其中 fk 也稱為樣本數(shù)據(jù) xk 的權(quán)重.
顯然，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)不僅依賴于樣本數(shù)據(jù)，還依賴于樣本數(shù)據(jù)的權(quán)重.容易看出，當(dāng)權(quán)重 f1，f2，…，fn 相等時，樣本數(shù)據(jù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就是它們的算術(shù)平均數(shù).因
此，算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例.
提示說明
舉例說明
領(lǐng)會要點
理解體會
注意分析 “算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的特例”，其實兩個平均數(shù)并沒有本質(zhì)的區(qū)別
典型例題
例1 某校調(diào)研全體學(xué)生的日 睡眠時間，隨機抽取了 100 名學(xué)生進行調(diào)查，得到的日睡眠時間數(shù)據(jù)見下表.
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估算該校學(xué)生的日平均睡眠時間. 解 由題意可知，樣本數(shù)據(jù)為：6，6.5，7，7.5，8，8.5.它們的權(quán)重分別為：11，16，27，30，10，6. 于是，樣本數(shù)據(jù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)
因此,該校學(xué)生的日平均睡眠時間約為 7.15h.
算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)在統(tǒng)計學(xué)中具有重要地位、是進行統(tǒng)計分析和推斷的基礎(chǔ). 但是，它們對極端數(shù)據(jù)值反映很靈敏，容易受 到極端數(shù)據(jù)值的影響，作為反映集中趨熱的統(tǒng)計量有時并不準(zhǔn)確.
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
指導(dǎo)分析
思考分析
解決交流
主動求解
利用簡單的問題加深學(xué)生對于加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的理解
新知探索
1.中位數(shù)
一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，位于中間位置的數(shù)或者位于中間位置的兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)稱為中位數(shù)， 記為 Me.
例如，數(shù)據(jù) 4，2，7 的中位數(shù)是 4；數(shù)據(jù) 4，2，7，5 的中位數(shù)是 4.5.
設(shè)一組數(shù)據(jù)從小到大排列為 x(1),x(2),…,x (n)，則當(dāng) n
為奇數(shù)時，中位數(shù)恰為中間位置的數(shù)，即
Me= x? n?1? ；
? 2 ?
??
當(dāng) n 為偶數(shù)時，中位數(shù)是中間位置的兩個數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)，即
x? n ? +x? n ?
M = ? 2 ?? 2 +1?
e? ??? .
2
容易看出，中位數(shù)以其居中的位置體現(xiàn)了這組數(shù)據(jù)的集中趨勢，并且不受極端數(shù)據(jù)值的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)值時，用中位數(shù)反映集中趨勢比用算術(shù)平均數(shù)更準(zhǔn)確. 但是，中位數(shù)不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息，從而也不能全面反映數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征.
3.眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值稱為眾數(shù).
例如，數(shù)據(jù) 5，2，3，2，7，5，2 的眾數(shù)是 2. 眾數(shù)表現(xiàn)的集中趨勢是顯而易見的，但是眾數(shù)可能不存在或不唯一，若所有數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；若有多個數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且都是最多，則這幾個數(shù)值都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
如，數(shù)據(jù) 5，4，6，6，5，4 沒有眾數(shù)；數(shù)據(jù) 1，3，5，
1，4，5，9，7，1，5 有兩個眾數(shù)，分別為 1 和 5.
講解
提示說明
舉例說明
理解
領(lǐng)會要點
理解體會
與初中學(xué)習(xí)區(qū)別，要強調(diào)中位要注意 “數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù) 時”的區(qū)別；眾數(shù)要強調(diào)沒有眾數(shù)和全是眾數(shù)的問題
典型例題
例 2某企業(yè)為了估計全廠技術(shù)工人加工某種零件的日產(chǎn)量，隨機抽取 10 名技術(shù)人員進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們一天加工的零件數(shù)量分別為 15，17，14，15，17，16，13，18， 12，11，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù),并估計該企業(yè)技術(shù)人員日產(chǎn)量的集中趨勢.
解 把數(shù)據(jù)由小到大依次排列為
11，12，13，14，15，15，16，17，17，18.
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第 5 和第 6 個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，即
對這組數(shù)據(jù)統(tǒng)計可知，出現(xiàn)次數(shù)最多的分別是 15 和
17，它們均為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
綜上所述，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 15，眾數(shù)是 15 和 17.
由此可見，該廠技術(shù)工人生產(chǎn)零件的日產(chǎn)量多為 15 個或
提問引導(dǎo)
講解強調(diào)
指導(dǎo)分析
思考分析
解決交流
主動求解
實例提示注意與初中學(xué)習(xí)的區(qū)別和側(cè)重 點，適度進行提升
和說
17 個.
不難看出，算術(shù)平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)是組數(shù)據(jù)按大小順序排列后的中間值，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，它們從不同的角度表示了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢. 掌握平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的特點，有助于我們在實際應(yīng)用中選擇合適的統(tǒng) 計量來描述數(shù)據(jù)的
集中趨勢.
講解說明
提升認識
明
鞏固練習(xí)
練習(xí) 9.1.1
1. 求下列各組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
(1) 1，2，4，2，5;
12，22，16，22，20，22;
6，6，6，7，7，7，8，8，8;
0.4，1.8，2.0，0.7，1.6，1.3，0.7，0.4，1.5，2.2.
調(diào)查某部門的 10 名員工的年齡，具體情況見下表.
求該部門員工年齡的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).
某燈廠為了測定本廠生產(chǎn)的一批燈的使用壽命(單
位：h)，隨機抽取了 100 個燈，測得它們的使用壽命見下表.
試估計這批燈的平均使用壽命.
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生情況查漏補缺
情境導(dǎo)入
10.1.2 離散程度
在 10.1.1 節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了如何描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，但是集中趨勢只從一個側(cè)面說明了數(shù)據(jù)的分布特征，不能反映各個數(shù)據(jù)之間 的差異以及各個數(shù)據(jù)遠離其算術(shù)平均數(shù)的程度. 這就需要從另一個側(cè)面，即通過數(shù)據(jù)的離散程度來進一步反映數(shù)據(jù)的分布特征.
我國擁有世界上規(guī)模最大的高速鐵路系統(tǒng)，無論是里程、速度還是技術(shù)，都居于世界領(lǐng)先水平.我國自主研發(fā)的高鐵“復(fù)興號”動車組列車，是目前世界上運營時速最高的高鐵列車.
在對列車上某種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格為 25.64 cm 的零件進行招標(biāo)時，從 A 廠與 B 廠提供的樣本中分別隨機抽取 6 個零件，測得零件的規(guī)格數(shù)據(jù)如下(單位:cm)
A 廠：25.637，25.640，25.641，25.640，25.641，25.641；
B 廠：25.641，25.640，25.639，25.637，25.641，25.642.
可以發(fā)現(xiàn)，所測的兩個廠家提供的零件的規(guī)格數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)都是 25.64cm. 因此，單從這一點上，無法判斷哪個廠家生產(chǎn)的零件更接近標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格. 那么，如何判斷哪
個廠家生產(chǎn)的零件更接近標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格呢？
引發(fā)思考
提出問題
體會理解
討論交流
闡明學(xué)習(xí)需求
對數(shù)據(jù)的集中趨勢與離散程度進行對比，做好學(xué)習(xí)鋪墊
為了更進一步揭示規(guī)格數(shù)據(jù)的分布特征，可以考察規(guī)
格數(shù)據(jù)與算術(shù)平均數(shù)的差以及規(guī)格數(shù)據(jù)之間的差等，這就
應(yīng)該
讓學(xué)
新知探索
涉及數(shù)據(jù)的離散程度.
離散程度是指數(shù)據(jù)遠離其中心值的程度，也稱離中趨
勢.
它與集中趨勢相輔相成，共同反映數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.常用的反映數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量有極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和離散系數(shù)等.
極差
一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差稱為極差，也稱全距.極差是最簡單的描述數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量.
若 xmax 與 xmin 分別表示這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，則這組數(shù)據(jù)的極差
R= xmax- xmin.
用極差來評價數(shù)據(jù)的離散程度時，極差值越小，說明數(shù)據(jù)的離散程度越小，數(shù)據(jù)越集中，算術(shù)平均數(shù)的代表性越好；反之，極差值越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，數(shù)據(jù)越分散，算術(shù)平均數(shù)的代表性越差.
“情境與問題(1) ”中，A 廠零件的規(guī)格數(shù)據(jù)的極差為
RA=25.641-25.637=0.004，
B 廠零件的規(guī)格數(shù)據(jù)的極差為
RB= 25.642-25.637=0.005.
因為RA < RB ，所以判定A 廠生產(chǎn)的零件更接近標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格.
由于極差只是利用了數(shù)據(jù)兩端的信息，沒有涉及中間數(shù)據(jù)的分散情況，因而不能精確描述數(shù)據(jù)的離散程度.
方差和標(biāo)準(zhǔn)差
在《數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)模塊》中，我們學(xué)習(xí)了樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差的概念. 方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均值波動的程度，與極差相比，能更好地反映數(shù)據(jù)的離散程度.
設(shè)一組數(shù)據(jù)為為 x1，x2，…，xn，則這組數(shù)據(jù)的方差為
這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為
方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映一組數(shù)據(jù)的平均離散程度，消除了樣本含量的影響，通常與平均數(shù)一起用來描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度. 在平均數(shù)相同的情況下，方差和標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；反之，數(shù)據(jù)的離散程度
越小.
講解
展示表格
提示說明
說明強調(diào)
講解說明
理解
觀察特征
交流討論
領(lǐng)會要點
理解體會
生初步建立用集中趨勢與離散程度同時分析數(shù)據(jù)，才能更加合理的表示樣本的某一特征這一印 象；強調(diào) “平均數(shù)相同的情況下方差和標(biāo)準(zhǔn)差越 大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，反之越小
典型
例題
例 1 求“情境與問題(1)”中 A 廠和 B 廠生產(chǎn)的零件的規(guī)格
數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，并判斷哪個廠家生產(chǎn)的零件更加接近標(biāo)準(zhǔn)
提問
思考
加深
規(guī)格(標(biāo)準(zhǔn) 差的結(jié)果保留 5 位小數(shù)).
解 由 xA =xB =25.64 和標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式可得
因為 sA< sB，所以 A 廠生產(chǎn)的零件更加接近標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格.
引導(dǎo)提升
分析解決
了學(xué)生對于方差與標(biāo)準(zhǔn)差的認識
新知探索
2.離散系數(shù)
某校隨機抽取 8 名同學(xué)，測得他們的身高 x(單位:cm)
與體重 y(單位: kg)的數(shù)據(jù)見下表.
計算可得，身高的算術(shù)平均數(shù) x =166cm，體重的算術(shù)平均數(shù) y =62kg；身高的標(biāo)準(zhǔn)差 s身高 ≈10.433，體重的標(biāo)準(zhǔn)差 s體重 ≈6.590. 顯然，身高的標(biāo)準(zhǔn)差大于體重的標(biāo)準(zhǔn)差.那么，是否可以斷定這 8 名學(xué)生身高的離散程度大于體重的離散程度呢？
考慮到身高的算術(shù)平均數(shù)遠大于體重的算術(shù)平均數(shù)，
僅從標(biāo)準(zhǔn)差的大小來比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度是不全面的. 因此，相對于算術(shù)平均數(shù)的相對離散程度是一個更加合理的指標(biāo).
一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的比稱為這組數(shù)據(jù)的離散系數(shù)，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù). 計算公式為
離散系數(shù)反映了每單位平均數(shù)的離散程度，是數(shù)據(jù)離散程度的相對性指標(biāo).離散系數(shù)消除了數(shù)據(jù)平均數(shù)和計量單位的影響，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)或計量單位不同時，常用離散系數(shù)比較這兩組數(shù)據(jù)的離散程度. 離散系數(shù)大，說明該組數(shù)據(jù)的離散程度大；離散系數(shù)小，說明該組
數(shù)據(jù)的離散程度小.
講解說明
分析
說明
理解要點
領(lǐng)會
理解
通過實例說明僅從標(biāo)準(zhǔn)差的大小來評判兩組數(shù)據(jù)的離散程度是不全面的，闡明知識的必要性
典型例題
例 2求“情境與問題(2)”中 8 名同學(xué)的身高和體重的離散系數(shù)，并判斷身高和體重中哪一項的離散程度小.
解 由算術(shù)平均數(shù)公式可得
x =166 cm， y = 62 kg;
由標(biāo)準(zhǔn)差公式可得
s身高 ≈10.433， s體重≈6.590.
于是，這 8 名同學(xué)身高和體重的離散系數(shù)分別為
提問
引導(dǎo)提升
思考
分析解決
利用熟悉例子加深對于離散系數(shù)的認識
集中趨勢和離散程度從不同的側(cè)面反映了數(shù)據(jù)的分布特征，在實際統(tǒng)計工作中，必須把集中趨勢和離散程度相結(jié)合才能準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)的整體狀況. 數(shù)據(jù)的離散程度越小，集中趨勢的代表性就越大；離散程度越大，集中趨勢
的代表性就越小.
鞏固練習(xí)
練習(xí) 6.1.2
1.求下列各組數(shù)據(jù)的極差和標(biāo)準(zhǔn)差(標(biāo)準(zhǔn)差保留2 位小
數(shù)).
2,3,4,5,6；
10,13,9,12,10,9； (3)26,33,20,29,31,24,21,35,37；
(4)10,10,11,11,12,12,13,13,14,14.
2.參加比賽的甲、乙兩支籃球隊的 5 名隊員的身高(單位:cm)見下表.
計算兩隊隊員身高的離散系數(shù)，并判斷哪隊隊員的身高比較均勻.
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生情況查漏補缺
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（下冊）電子課本

10.1 集中趨勢與離散程度

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（下冊）

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