9.1 離散型隨機(jī)變量及其分布
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一下冊）
授課
時長
4 課時
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課通過學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的概念、數(shù)字特征，研究離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布，不僅進(jìn)一步理解了離散型隨機(jī)變量在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用，對隨機(jī)思想在解決實(shí)際問題中進(jìn)行更加深入的理解. 通過研究取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列，借助實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列，然后直接給出均值與方差的定義引出離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征，最后通過北京奧運(yùn)會射擊的獎牌數(shù)設(shè)置情境，引出 n 重伯努利試驗(yàn)的概念，借助問題與情境對學(xué)生進(jìn)行
思政教育．
教學(xué)目標(biāo)
通過具體實(shí)例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，了解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征(均值、方差)，了解伯努利試驗(yàn)，了解二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，能解決簡單的實(shí)際問題；通過學(xué)習(xí)，逐步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)
建模等核心素養(yǎng)．
教學(xué)
重點(diǎn)
離散型隨機(jī)變量的概念及其數(shù)字特征；二項(xiàng)分布的計算．
教學(xué)
難點(diǎn)
二項(xiàng)分布在實(shí)際問題中的應(yīng)用.
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動
學(xué)生
活動
設(shè)計
意圖
引入
很多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都能夠用數(shù)量來表示.如足球比賽時某隊(duì)的 進(jìn)球數(shù)、數(shù)學(xué)測試時某分?jǐn)?shù)段的人數(shù)等.當(dāng)把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果看作是隨機(jī)變量時，這些數(shù)量就是隨機(jī)變量的取值,概率就成為隨機(jī)變量的函數(shù)，這樣就可以
利用數(shù)學(xué)工具更全面地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性.
提出問題
思考
分析
引出課題
引發(fā)思考
回答
9.1.1 離散型隨機(jī)變量
在第 45 屆世界技能大賽上，我國選手共獲
提出問題
觀察思考
結(jié)合技能
得 16 枚金牌，位列金牌榜、獎牌榜、團(tuán)體總分第
引發(fā)
思考
討論
交流
大賽
激發(fā)
一名. 為備戰(zhàn)世界技能大賽數(shù)控車項(xiàng)目比賽，
學(xué)生
學(xué)習(xí)
情境
某選手需要按尺寸要求
興
導(dǎo)入
進(jìn)行鋼件加工訓(xùn)練.從前
期的訓(xùn)練結(jié)果可知，鋼件的加工誤差(單 位：mm)有
-0.02, -0.01,0,0.01,0.02,
產(chǎn)生這些誤差的概率分別為
趣，創(chuàng)設(shè)具體
的隨
0.06, 0.1, 0.6, 0.2, 0.04.
通過分析這些數(shù)據(jù),該選手可以改進(jìn)編程參數(shù)和操作
機(jī)試
驗(yàn)情
技巧，提高成績.試問,誤差與 應(yīng)的概率之間是否具有西
境
數(shù)關(guān)系？這些誤差具有怎樣的特點(diǎn)？
根據(jù)函數(shù)的定義可知，這里的概率是誤差的函數(shù)，誤
差是自變量而概率是函數(shù)值.值得注意的是，在加工鋼件時
講解
理解
對關(guān)
鍵概
新知探索
每一個誤差的出現(xiàn)是不確定的. 也就是說，誤差這一變量的取值具有不確定性，加工鋼件可以看作是一個隨機(jī)試驗(yàn).類似地，“擲一顆骰子”是一個隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)中骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是一個取值具有不確定性的變量，其取值為 1，2，3，4，5，6.事實(shí)上，以前學(xué)習(xí)過的許多隨機(jī)試驗(yàn)都和這兩個例子一樣，每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都對應(yīng)于一個實(shí)數(shù)，并且試驗(yàn)結(jié)果具有隨機(jī)性：于是， 這些隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示.
隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量來表示，這個變量的取值就是隨機(jī)的，我們把這個變量稱為隨機(jī)變量.一般地，隨機(jī)變量用大寫字母 X，Y，?表示，有時也
用希臘字母 ξ，η，…表示.
例如，若 10 件產(chǎn)品中含有 2 件次品，從中任取 3 件，用 X 表示取得次品的件數(shù)，則 X 是一個隨機(jī)變量，它的取值范圍是{0，1，2}；用 ξ 表示骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)，則 ξ是一個隨機(jī)變量，它的取值范圍是{1，2，3，4，5，6}.再如，用 η 表示從 1，2，3，4 中任取兩個數(shù)相加所得的值，則 η 是一個隨機(jī)變量，它的取值范圍是{3，4，5，6，7 }.
溫馨提示
有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不是實(shí)數(shù),但仍可以將它們數(shù)量化.如拋擲一枚硬幣時，可以用“1”表示“正面向上”，用“0”表示“反面向上”，這個隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果就可以用一個隨機(jī)變量來表示了.
在上述隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)變量所有可能的取值都能一一列舉出來.一般地，所有可能的取值都能一一列舉出來的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.本章我們主要學(xué)習(xí)離散型
隨機(jī)變量及其分布.
提示說明
舉例說明
領(lǐng)會要點(diǎn)
理解體會
念進(jìn)行講解，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備
加深對概念的理解
鞏固練習(xí)
練習(xí) 9.1.1
1. 下列隨機(jī)變量中，哪些是離散型隨機(jī)變量？寫出離散型隨機(jī)變量的取值范圍.
從某同學(xué)的家到學(xué)校有 5 個紅綠燈路口，路上遇到綠燈的次數(shù) ξ;
某同學(xué)可能出生的月份 ξ;
投神兩顆骰子，朝上的點(diǎn)數(shù)之和 ξ; (4)某品牌電燈的壽命 ξ(以小時為單位).
2.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球比賽，勝方得 3 分，負(fù)方得 0
分，平局各得 1 分，試寫出比賽結(jié)束后甲隊(duì)可能的勝負(fù)結(jié)果及對應(yīng)的分值 ξ.
提問
巡視
指導(dǎo)
思考
動手求解
交流
及時掌握學(xué)生情況查漏補(bǔ)缺
情境導(dǎo)入
9.1.2 離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征
在 9.1.1 的“情境與問題”中，概率是誤差的函數(shù). 如何表示這個函數(shù)呢？
引發(fā)思考
討論交流
保持思維
一致
新知探索
容易看出,這個函數(shù)可以用列表法表示.誤差是一個隨機(jī)變量,記為 ξ；與誤差 ξ 相對應(yīng)的概率是函數(shù)值,記為 P,見下表.
若一個離散型隨機(jī)變量 ξ 所有可能的取值為 x1，x2，…， xn，與各個取值相對應(yīng)的概率分別為 p1，p2，…，pn,則可列表表示 ξ 的各個取值與其概率的關(guān)系.
離散型隨機(jī)變量的取值及其相對應(yīng)的概率的全體稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布，通常把上表稱為離散型隨機(jī)變量的分布列.
觀察第一個表可以發(fā)現(xiàn)，與誤差 ξ 相對應(yīng)的概率都是非負(fù)的，并且各個概率的和等于 1.對更多隨機(jī)試驗(yàn)的研究表明，離散型隨機(jī)變量的分布列具有以下性質(zhì)：
(1) pi≥0，i=1，2，3，…，n；
(2)p1+ p2+…+ pn=1.
顯然，離散型隨機(jī)變量的分布列從概率角度全面反映了隨機(jī)變量的取值規(guī)律. 但是，在很多實(shí)際問題中，人們還關(guān)心離散型隨機(jī)變量的平均取值和取值的離散程度等.
一般地，若離散型隨機(jī)變量 ξ 所有可能的取值為 x1， x2，…，xn,
且各個取值所對應(yīng)的概率分別為 p1，p2，…，pn，則稱 E(ξ)= x1p1+x2p2+…+ xnpn
為離散型隨機(jī)變量的均值(或期望值)，稱
為離散型隨機(jī)變量的方差.
若隨機(jī)變量概率分布的某種整體特征(平均取值、取值的集中程度等)可以用一個數(shù)值來表示，則稱該數(shù)值為隨機(jī)變量的數(shù)字特征.在離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征中，最重要的是均值和方差.離散型隨機(jī)變量的均值刻畫了這個隨機(jī)變量的平均取值水平；離散型隨機(jī)變量的方差刻畫了這個
隨機(jī)變量的取值相對于均值的平均波動大小.
講解
展示表格
提示說明
說明強(qiáng)調(diào)
講解說明
理解
觀察特征
交流討論
領(lǐng)會要點(diǎn)
理解體會
通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列；教材直接給出均值與方差的定義引出離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特 征，學(xué)生利用定義直接解決簡單問題即可
典型例題
例 1 學(xué)校舉辦一項(xiàng)活動，某班需要從 4 名男生、3 名女生中隨機(jī)選出 3 人參加. 若選出的同學(xué)中女生人數(shù)為 ξ，求：
ξ 的分布列；
選出的同學(xué)中至少有 2 名女生的概率；
選出的同學(xué)中至多有 2 名女生的概率.解 (1) 根據(jù)題意，ξ 的取值為 0，1，2，3.
提問引導(dǎo)
思考分析
例 1直接應(yīng)用知識解決問題

所以， ξ 的分布列表為：
例 2 根據(jù)歷次設(shè)計訓(xùn)練的記錄，甲、乙、丙三人命中環(huán)數(shù)的分布列分別為下表.
求 m 的值；
試比較甲、乙兩人射擊水平的高低；
乙、丙兩人睡的射擊水平比較穩(wěn)定？
解 (1)由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知，0.4+0.5+m=1,
解得 m=0.1；
E(ξ1)=8×0.4+9×0.5+10×0.1=8.7，
E(ξ2)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，
這說明，乙射擊命中環(huán)數(shù)的均值比甲射擊命中環(huán)數(shù)的均值高，因此可以認(rèn)為乙的射擊水平比甲高.
E(ξ3)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，
D(ξ2)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4，
D(ξ3)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8，
由 E(ξ2)=E(ξ3)，D(ξ2)

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（下冊）電子課本

9.1 離散型隨機(jī)變量及其分布

版本： 高教版（2021·十四五）

年級： 拓展模塊一（下冊）

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