6.3 正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一下冊(cè)）
授課
時(shí)長(zhǎng)
2 課時(shí)
授課類(lèi)型
新授課
教學(xué)提示
本課以生活中摩天輪的實(shí)例作為引例，抽象出正弦型函數(shù) y=Asin(ωx+φ)模型，將其與學(xué)生已有的物理知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，引入函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的圖像，然后并說(shuō)明參數(shù) A，ω，φ 的實(shí)際意義，引出周期、頻率、初相概念，既結(jié)合了實(shí)際，又體現(xiàn)了學(xué)以致用的思想；教學(xué)中通過(guò)簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般,從具體到抽象的探究過(guò)程，研究函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的圖像與正弦曲線之間的關(guān)系，教給學(xué)生用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦型函數(shù) y=Asin(ωx+φ)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖，從而會(huì)求函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值、周期和單調(diào)區(qū)間等，在解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)
生整體代換的思想.
教學(xué)目標(biāo)
理解函數(shù) y=Asin(ωx+φ)中 A，ω，φ 對(duì)圖像的影響，知道 y=Asin(ωx+φ)與 y=sinx之間的關(guān)系，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦型函數(shù)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖；通過(guò)具體實(shí)例，初步掌握在一個(gè)周期上畫(huà)正弦型函數(shù)簡(jiǎn)圖的“五點(diǎn)法”，了解正弦型函數(shù)與正弦函數(shù)之間的關(guān)系，培養(yǎng)觀察能力、分析能力、歸納能力和表達(dá)能力等，體會(huì)從特殊到一般的歸納推理方法；通過(guò)學(xué)習(xí)，逐步提升直觀想象和邏輯推理等核心
素養(yǎng)．
教學(xué)
重點(diǎn)
正弦函數(shù) y=sinx 圖像到正弦型函數(shù) y=Asin(ωx+φ)圖像的變換過(guò)程．
教學(xué)
難點(diǎn)
用“五點(diǎn)法”畫(huà)正弦型函數(shù)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖；正弦型函數(shù)的圖像和性
質(zhì)及其應(yīng)用．
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
引言
在物理學(xué)、電工和工程技術(shù)中，經(jīng)常會(huì)遇到形如 y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ 都是常數(shù))的函數(shù)，它與和角公式、二倍角公式以及正弦函數(shù) y=sinx 等三角知識(shí)有著密
切的聯(lián)系.下面來(lái)研究這類(lèi)函數(shù)的作圖方法和性質(zhì).
講述啟發(fā)
體會(huì)思考
引出課題
情境導(dǎo)入
勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的摩天輪的半徑為 R，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ω.以摩天輪的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖 所示．若點(diǎn) P0表示座椅的初始位置，∠MOP0=φ，問(wèn)點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) y 與時(shí)間 t 之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
提出問(wèn)題引發(fā)思考
觀察思考討論交流
以生活中實(shí)例作為引例體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用
新知探索
由正弦函數(shù)數(shù)的定義，得點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) y 與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系為
y=Rsin(ωt+φ) .
形如 y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ 都是常數(shù))的函數(shù)稱(chēng)
啟發(fā)引導(dǎo)
思考交流
已有的物理知
識(shí)聯(lián)
為正弦型函數(shù).在物理學(xué)中，正弦型函數(shù)被用來(lái)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)、正弦式電流等．習(xí)慣上，A 稱(chēng)為振幅，ωx+φ 稱(chēng)為相
位，φ 稱(chēng)為初相， T= 2? 稱(chēng)為周期，f= 1 = ? 稱(chēng)為頻率.
?T2?
當(dāng) A=1，ω=1，φ=0 時(shí)，函數(shù) y=Asin(ωx+φ)就是 y=sinx .因此，正弦函數(shù)是正弦型函數(shù)的特殊情況．類(lèi)比作正弦函數(shù) y=sinx 圖像的方法，可作正弦型函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的圖
像，從而研究它的性質(zhì).
系起
來(lái)體
講解
領(lǐng)會(huì)
現(xiàn)學(xué)
描述
要點(diǎn)
以致
用
例 1用“五點(diǎn)法”作出下列各函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．
(1) y=sinx；(2) y=sin2x；
(3) y= sin ? 2x ? π ? ；(4) y=2 sin ? 2x ? π ? ．
?4 ??4 ?
????
解 (1) 列表
描點(diǎn)作圖，得到函數(shù) y=sinx，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖.
(2)因?yàn)?T= 2? = 2? =π，所以函數(shù) y=sin2x 的周期為 π.
?2
我們作函數(shù) y=sin2x 在[0,π]上的簡(jiǎn)圖.
令 2x=0, ? ，π， ?? ，2π，并列表.
22
描點(diǎn)作圖，得到函數(shù) y=sin2x，x∈[0,π]的簡(jiǎn)圖.
提問(wèn)
思考
通過(guò)
引導(dǎo)
分析
簡(jiǎn)單
到復(fù)
雜，
從特
殊到
—
講解
解決
般 ,
從具
強(qiáng)調(diào)
交流
體到
抽象
的探
究過(guò)
程，
指導(dǎo)
主動(dòng)
來(lái)研
學(xué)習(xí)
求解
究正
弦型
典型
函數(shù)
例題
的圖
像與
正弦
提問(wèn)
思考
曲線
引導(dǎo)
分析
之間
的關(guān)
系
引導(dǎo)
學(xué)生
觀
講解
解決
察、
強(qiáng)調(diào)
交流
比較
和歸
納，
讓學(xué)
生理
解函
數(shù)這
因?yàn)?T= 2? = 2? =π，所以函數(shù) y ? sin ? 2x ? π ? 的周

?2?4 ?
??
期是 π.我們作函數(shù) y= sin ? 2x ? π ? 在?? ? , 7?? 上的簡(jiǎn)圖.
?4 ?? 8 8 ??
???
令2x ? π =0 ， ? ，π， ?? ，2π，并列表.
422
描點(diǎn)作圖，得到函數(shù) y= sin ? 2x ? π ? ，x∈ ?? ? , 7?? 的

?4 ??? 8 8 ??
??
簡(jiǎn)圖.
因?yàn)?T= 2? = 2? =π，所以函數(shù) y=2 sin ? 2x ? π ? 的
?2?4 ?
??
周期是 π.我們作函數(shù) y=2 sin ? 2x ? π ? 在?? ? , 7?? 上的簡(jiǎn)

?4 ??? 8 8 ??
??
圖.
令2x ? π =0 ， ? ，π， ?? ，2π，并列表.
422
提問(wèn)引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
指導(dǎo)學(xué)習(xí)
提問(wèn)引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
思考分析
解決交流
主動(dòng)求解
思考分析
解決交流
組函數(shù)的關(guān) 系，幫助學(xué)生理解 A ， ω，φ的意義以及它們對(duì)函數(shù)圖像的影響．歸納得到出由正弦函數(shù)圖像得到正弦型函數(shù)圖像的步 驟．這一過(guò)程體現(xiàn)了由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想，實(shí)現(xiàn)
描點(diǎn)作圖，得到函數(shù) y=2 sin ? 2x ? π ? ，x∈ ?? ? , 7??

?4 ??? 8 8 ??
??
的簡(jiǎn)圖.
將例 1 中作出的四條曲線畫(huà)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示.可以看出，把函數(shù) y=sinx 圖像上所有點(diǎn)的橫
坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 1 (縱坐標(biāo)不變)，就得到函數(shù) y=sin2x 的圖
2
像；把函數(shù) y=sin2x 的圖像沿 x 軸向左平移 π 個(gè)單位，就
8
得到函數(shù)y= sin ? 2x ? π ? 的圖像；把函數(shù)y= sin ? 2x ? π ? 圖
?4 ??4 ?
????
像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍(橫坐標(biāo)不變) ，就得
到函數(shù) y=2 sin ? 2x ? π ? 的圖像.
?4 ?
??
感性到理性的升華
綜合比 較，體驗(yàn)函數(shù)與圖像與參數(shù)的關(guān)系
新知探索
一般地，將函數(shù) y=sinx 圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?br>來(lái)的 1 必(縱坐標(biāo)不變)，就得到函數(shù) y=sinωx 的圖像；將
?
兩數(shù) y=sinωx 的圖像沿 x 軸向左(φ>0)或者向右(φ0, ω>0.因此，正弦型函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的圖像可用五點(diǎn)法作
出，也可由函數(shù) y=sinx 的圖像經(jīng)過(guò)平移、伸縮得到. 利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及正弦型函數(shù)的圖像，可以得到關(guān)于正弦型函數(shù) y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0, ω>0)的一些結(jié)論.
定義域：實(shí)數(shù)集 R .
值域：[-A,A].
周期：T= 2? .
?
探究與發(fā)現(xiàn)
如何從函數(shù) y= sin ? x ? π ? 的圖像得到函數(shù)
?4 ?
??
y=2 sin ? 2x ? π ? 的圖像?
?4 ?
??
啟發(fā)引導(dǎo)
講解描述
思考交流
領(lǐng)會(huì)要點(diǎn)
根據(jù)實(shí)例適時(shí)總 結(jié)，從圖像體現(xiàn)的現(xiàn)象抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)
提示學(xué)生換一種方式看待這個(gè)問(wèn)
題
典型例題
例 2 求函數(shù) y= 3 sin 2x ? cs 2x 的周期、最大值和最小值，并指出當(dāng) x 取何值時(shí)，函數(shù)取得最大值和最小值.
解 因?yàn)?y= 3 sin 2x ? cs 2x =2 ? 3 sin 2x ? 1 cs 2x ?
? 22?
??
=2 ?sin 2x cs π ? cs 2x sin π ?
?66 ?
??
=2sin ? 2x ? π ? .
?6 ?
??
所以函數(shù)的周期為 T= 2? =π.
?
當(dāng)2x ? π =2kπ+ π ，即 x=kπ+ π (k∈Z)時(shí)，函數(shù)
626
y=2sin ? 2x ? π ? 取得最大值，最大值為 2；
?6 ?
??
當(dāng)2x ? π =2kπ ? π ，即 x=kπ- π (k∈Z)時(shí)，函數(shù)
623
y=2sin ? 2x ? π ? 取得最小值，最大值為-2.
?6 ?
??
提問(wèn)引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
思考分析
解決交流
求正弦型函數(shù)的最大 值、最小值、周期和單調(diào)區(qū)間是本節(jié)的又一教學(xué)要求
新知探索
拓展延伸
啟發(fā)引導(dǎo)
講解描述
思考交流
領(lǐng)會(huì)要點(diǎn)
介紹輔助角公式，該公式的主要作用是將多個(gè)三角函數(shù)的和化成單個(gè)函數(shù)
一般地，函數(shù) y=asinx+bcsx(其中 a、b 不全為零)可以化成 y=Asin(x+θ)的形式.
如圖所示，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(a,b)，以 OP 為終邊的角為
θ.
由三角函數(shù)的定義，可知
cs? ?a，sin? ?b.

a2 ? b2a2 ? b2
于是，y=asinx+bcsx
? a2 ? b2 (asin x ?bcs x)

a2 ? b2a2 ? b2
?a2 ? b2 (cs? sin x ? sin ? cs x)
?a2 ? b2 sin(x ? ? ) .
因此，函數(shù) y=asinx+bcsx 的最大值是 a2 ? b2 ，最小值是? a2 ? b2 ，周期是 2π.
鞏固練習(xí)
練習(xí) 6.3
用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)在一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖．
說(shuō)明怎樣由函數(shù) y=sinx 的圖像得到下列函數(shù)的圖
像.
(1) y ? 1 sin x ；(2) y= sin ? x ? ? ? ；
3?3 ?
??
(3) y ? 2 sin 1 x ；(4) y ? 1 sin ? 2x ? ? ? .
22?4 ?
??
3.求下列函數(shù)的周期、最大值和最小值以及取得最值時(shí) x 的集合.
(1) y ? 2 sin 2x ；(2) y ? 2 sin ? x+ ? ? ；
3?3 ?
??
(3) y ? 3sin ? 2x ? ? ? ；(4) y=sinx+csx.
?6 ?
??
提問(wèn)
巡視
指導(dǎo)
思考
動(dòng)手求解
交流
及時(shí)掌握學(xué)生情況查漏補(bǔ)缺
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問(wèn)
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程能力
布置作業(yè)
書(shū)面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.
說(shuō)明
記錄
繼續(xù)探究延伸
學(xué)習(xí)

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6.3 正弦型函數(shù)的圖像和性質(zhì)

版本： 高教版（2021·十四五）

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