6.2 二倍角公式
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一下冊(cè)）
授課
時(shí)長(zhǎng)
2 課時(shí)
授課類(lèi)型
新授課
教學(xué)提示
本課在兩角和正弦公式S?＋?、C?＋?、T?＋?的基礎(chǔ)上，將二倍角公式看作兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況，令 α=β 得到二倍角的正弦、余弦和正切公式；然后練習(xí)讓學(xué)生理解“二倍角”概念的相對(duì)性.
教學(xué)目標(biāo)
理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)過(guò)程及在求值、化簡(jiǎn)與證明等方面的應(yīng)用；通過(guò)讓公式的推導(dǎo)公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯思維能力；通過(guò)綜合運(yùn)用公式，掌握有關(guān)技巧，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；通過(guò)
學(xué)習(xí)，逐步提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
教學(xué)
重點(diǎn)
二倍角公式．
教學(xué)
難點(diǎn)
二倍角公式的應(yīng)用.
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
引言
二倍角公式是三角計(jì)算中常用的一組公式.用角 α 的
三角函數(shù)值表示其二倍角 2α 的三角函數(shù)值，在化簡(jiǎn)、求值、證明及工程中有著廣泛的運(yùn)用.
講述啟發(fā)
體會(huì)思考
引出課題
情境
導(dǎo)入
在兩角和的余弦、正弦和正切公式中，當(dāng) α=β 時(shí)，
我們能得到什么結(jié)果呢？
引發(fā)
思考
體會(huì)
認(rèn)識(shí)
闡明
聯(lián)系
探索新知
在公式 S?＋?中，當(dāng) α=β 時(shí)，
sin(α+β)=sin(α+α)
=sinαcsα+csαsinα
=2sinαcsα，
因此sin2α=2sinαcsα.
同理cs2α=cs(α+α)
=csαcsα-sinαsinα
=cs2α-sin2α； tan2α=tan(α+α)
= tan ? + tan ? 1 ? tan ? tan ?
= 2 tan ? .
1 ? tan2 ?
因?yàn)?br>sin2α+cs2α=1， 所以 cs2α 又可以表示為
cs2α=2cs2α-1 或 cs2α= 1-2sin2α.
于是，得到二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2α=2sinαcsαS2α cs2α=cs2α-sin2α
=2cs2α-1
=1-2sin2αC2α
提出問(wèn)題引發(fā)思考
觀察思考討論交流
借助和角公式推導(dǎo)二倍角公式，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況
2 tan ?
tan2α=
1 ? tan2 ?
上面三個(gè)公式統(tǒng)稱二倍角公式.探究與發(fā)現(xiàn)
證明.
?1 ? cs ?
sin= ?；
22
?1+ cs ?
cs= ?.
22
T2α
理解
“二
倍
角”
概念
的相
對(duì)性
例 1已知 sinα= 4 ，α 是第二象限角，求 sin2α、cs2α 和
5
tan2α 的值．
解 因?yàn)?α 是第二象限角，所以
? 4 ?23 cs? ? ? 1 ? sin2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ?，
? 5 ?5
于是，有
sin2α=2sinαcsα= 2 ? 4 ? ? ? 3 ? = ? 24 ，
5 ? 5 ?25
??
? 4 ?27
cs2α=1-2sin2α=1 ? 2 ? ? 5 ? = ? 25 .
? ?
又因?yàn)?br>4
tan? = sin? = 5 = ? 4 ，
cs?? 33
5
2 ? ? ? 4 ?
2 tan ?? 3 ?24
所以tan2α==?? =.
1 ? tan2 ?? 4 ?27
1 ? ?? 3 ?
??
例 2已知cs ? = ? 1 ，且 θ∈(π,2π)，求 sinθ 和 csθ 的
23
值．
解 由 θ∈(π,2π)，可知? ?? π , π? ，故
2? 2?
??
?2 ?? 1 ?22 2 sin 2 ? 1 ? cs 2 ? 1 ? ? ? 3 ? ? 3 .
??
因此，
sinθ= 2sin ? cs ? =2 ? 2 2 ? ? ? 1 ?= ? 4 2 ，
223? 3 ?9
??
?? 1 ?27
csθ=2cs2 2 -1= 2 ? ? ? 3 ? ?1 ? ? 9 .
??
提問(wèn)
思考
直接
引導(dǎo)
分析
應(yīng)用
已知
條
件，
能有
效避
講解強(qiáng)調(diào)
解決交流
免使用錯(cuò)
誤的
間接
條件
導(dǎo)致
結(jié)果
指導(dǎo)
主動(dòng)
錯(cuò)誤
學(xué)習(xí)
求解
典型
例題
提問(wèn)
思考
二倍
引導(dǎo)
分析
角公
式的
講解
解決
逆向
強(qiáng)調(diào)
交流
運(yùn)用
例 3 化簡(jiǎn)： sin 2? +sin? .
2 cs 2? +2sin2 ? +cs?
解 原式= 2sin? cs? +sin?
2?cs2 ? ? sin2 ? ?+2sin2 ? +cs?
sin? ?2 cs? +1?
=
cs? ?2 cs? +1?
=tanα.
例 4 證明： tan? ? 1 ? cs 2? .
sin 2?
1 ? cs 2?1 ? ?1 ? 2sin2 ? ?2sin2 ?
證明 右邊===
sin 2?2sin? cs?2sin? cs?
= sin? =tanθ=右邊，
cs?
所以原等式成立.
提問(wèn)
思考
二倍
引導(dǎo)
分析
角公
式的
講解
解決
綜合
強(qiáng)調(diào)
交流
運(yùn)用
練習(xí) 6.2
1.求下列各式的值.
(1) 2sin15°cs15°；(2) 2 cs2 ? ? 1 ；
12
?
2 ??2 tan 8
(3) 1 ? 2sin 12 ；(4)? .
1 ? tan2
8
已知cs? = 4 ，α 是第四象限角，求 sin2α、cs2α 和
5
tan2α 的值．
已知sin ? = 4 ，θ∈(0,π)，求 sinθ 和 csθ 的值．
25
化簡(jiǎn).
(1) sin ? cs ? ；(2) cs4 ? ? sin4? ；
22
(3) ?cs? ? sin? ?2 ；(4)1?1.
1 ? tan ?1+ tan ?
提問(wèn)
思考
及時(shí)
掌握
學(xué)生
巡視
動(dòng)手
情況
求解
查漏
補(bǔ)缺
鞏固
練習(xí)
指導(dǎo)
交流
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問(wèn)
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過(guò)程能力
布置
作業(yè)
書(shū)面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
說(shuō)明
記錄
繼續(xù)
探究
3.拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.
延伸
學(xué)習(xí)

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6.2 二倍角公式

版本： 高教版（2021·十四五）

年級(jí)： 拓展模塊一（下冊(cè)）

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