\l "_Tc187073081" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc187073081 \h 2
\l "_Tc187073082" 02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc187073082 \h 3
\l "_Tc187073083" 03 知識(shí)梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc187073083 \h 4
\l "_Tc187073084" 04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測(cè) PAGEREF _Tc187073084 \h 5
\l "_Tc187073085" 05 核心精講·題型突破 PAGEREF _Tc187073085 \h 7
\l "_Tc187073086" 題型一：平面向量基本定理及其應(yīng)用 PAGEREF _Tc187073086 \h 7
\l "_Tc187073087" 題型二：平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用 PAGEREF _Tc187073087 \h 8
\l "_Tc187073088" 題型三：平面向量的數(shù)量積 PAGEREF _Tc187073088 \h 9
\l "_Tc187073089" 題型四：平面向量的模與夾角 PAGEREF _Tc187073089 \h 11
\l "_Tc187073090" 題型五：等和線問(wèn)題 PAGEREF _Tc187073090 \h 12
\l "_Tc187073091" 題型六：極化恒等式 PAGEREF _Tc187073091 \h 13
\l "_Tc187073092" 題型七：矩形大法 PAGEREF _Tc187073092 \h 15
\l "_Tc187073093" 題型八：平面向量范圍與最值問(wèn)題 PAGEREF _Tc187073093 \h 16
\l "_Tc187073094" 題型九：等差線、等商線問(wèn)題 PAGEREF _Tc187073094 \h 18
\l "_Tc187073095" 題型十：奔馳定理與向量四心 PAGEREF _Tc187073095 \h 20
\l "_Tc187073096" 題型十一：阿波羅尼斯圓問(wèn)題 PAGEREF _Tc187073096 \h 22
\l "_Tc187073097" 題型十二：平行四邊形大法 PAGEREF _Tc187073097 \h 23
\l "_Tc187073098" 重難點(diǎn)突破：向量對(duì)角線定理 PAGEREF _Tc187073098 \h 25
平面向量的數(shù)量積、模和夾角是高考中的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，它們通常以選擇題或填空題的形式被考察。這類(lèi)題目經(jīng)常以平面圖形作為背景，來(lái)測(cè)試學(xué)生對(duì)數(shù)量積、夾角以及向量垂直條件的理解和應(yīng)用。此外，這些內(nèi)容還容易與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何以及不等式等其他數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，作為解題的工具或手段。近年來(lái)，高考中主要圍繞平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、模的最大或最小值問(wèn)題，以及向量的夾角等問(wèn)題進(jìn)行考察。這些問(wèn)題與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)點(diǎn)緊密相關(guān)，難度適中。
1、平面向量的應(yīng)用考向主要是平面幾何問(wèn)題，往往涉及角和距離，轉(zhuǎn)化成平面向量的夾角、模的問(wèn)題，總的思路有：
（1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決．
（2）基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解．
2、平面向量中有關(guān)范圍最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：
①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；
②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．
1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè) ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，若，其中為實(shí)數(shù)，則 ；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為 ．
3．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量滿(mǎn)足，且，則（ ）
A．B．C．D．1
4．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量滿(mǎn)足，則（ ）
A．B．C．0D．1
5．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．3C．D．5
6．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿(mǎn)足，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
9．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
10．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，滿(mǎn)足，，則 ．
題型一：平面向量基本定理及其應(yīng)用
【典例1-1】如圖，在中，，是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2024·河南商丘·三模）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近的四等分點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．
應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
2、用基底表示某個(gè)向量的基本方法：（1）觀察各向量的位置；（2）尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；（3）運(yùn)用法則找關(guān)系；（4）化簡(jiǎn)結(jié)果．
【變式1-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-2】（2024·新疆·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，分別在邊上，，相交于點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
8．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（ ）

A．B．C．D．
題型二：平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用
【典例2-1】在中，、分別在邊、上，且，，在邊上（不包含端點(diǎn)）．若，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，則三點(diǎn)共線的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
1、平面向量共線定理：已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然．
2、兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：（1）若向量，，則的充要條件是；（2）若，則．
【變式2-1】如圖，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線分別與，兩邊交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值為（ ）
A．B．4C．D．3
【變式2-2】如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值（ ）
A．1B．3C．5D．8
1．已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若均為正數(shù)，則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
題型三：平面向量的數(shù)量積
【典例3-1】如圖，在平行四邊形中，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則 ．
【典例3-2】已知向量，滿(mǎn)足，且，則 ．
1、向量的數(shù)量積：設(shè)兩個(gè)非零向量的夾角為，則叫做與的數(shù)量積，記作．
2、數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積．
3、設(shè)向量，，則，由此得到：
（1）若，則或．
（2）設(shè)，則A，B兩點(diǎn)間的距離
（3）設(shè)兩個(gè)非零向量，且，，則
（4）若都是非零向量，是與的夾角，則
【變式3-1】如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，，則的值為 .
【變式3-2】如圖，在平面四邊形中，O為BD的中點(diǎn)，且，.若，則 .
1．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)F．使得，則 ．
題型四：平面向量的模與夾角
【典例4-1】（2024·黑龍江佳木斯·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿(mǎn)足，，，則 ．
【典例4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，P在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取最大值時(shí)， ．
(1)向量的夾角要求向量“共起點(diǎn)”，其范圍為．
(2)求非零向量的夾角一般利用公式先求出夾角的余弦值，然后求夾角．也可以構(gòu)造三角形，將所求夾角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角求解，更為直觀形象．
【變式4-1】（2024·高三·重慶·期末）已知非零向量滿(mǎn)足：，且，則 .
【變式4-2】已知平面內(nèi)兩個(gè)向量，，若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 .
1．平面向量滿(mǎn)足，，若，則 .
題型五：等和線問(wèn)題
【典例5-1】已知在中，點(diǎn)P滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)M在的三邊及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則的取值范圍為 .（用區(qū)間表示）
【典例5-2】如圖，已知是圓上不同的三點(diǎn)，與交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），若，則的取值范圍是 ．
等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱(chēng)為等和線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；
②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；
③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；
④當(dāng)?shù)群途€過(guò)點(diǎn)時(shí)，；
⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則定值互為相反數(shù)；
【變式5-1】已知點(diǎn)為扇形的弧上任意一點(diǎn)，且，若，則的取值范圍是 .
【變式5-2】如圖所示， ，圓與分別相切于點(diǎn)， ，點(diǎn)是圓及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且，則的取值范圍是 ．
1．已知為內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是 ．
題型六：極化恒等式
【典例6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C的半徑為2，點(diǎn)A滿(mǎn)足，E，F(xiàn)分別是C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A．[6，24]B．[4，22]C．[6，22]D．[4，24]
【典例6-2】已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：
證明：不妨設(shè) ，則，
①
②
①②兩式相加得：
（2）極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
①平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．
②三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）
A
B
C
M
【變式6-1】已知圓的半徑為2，弦長(zhǎng)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 .
【變式6-2】在中，，，，P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為 ．
1．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓的內(nèi)接正三角形，則的最小值為 ．
2．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，正方形邊長(zhǎng)為1，則的值為 .若在線段上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 .
題型七：矩形大法
【典例7-1】已知圓與，定點(diǎn)，A、B分別在圓和圓上，滿(mǎn)足，則線段AB的取值范圍是 ．
【典例7-2】在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證明：．
【變式7-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為_(kāi)_____．
【變式7-2】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一中學(xué)校校考期中）已知向量，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿(mǎn)足，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
1．已知向量、滿(mǎn)足且，則的最大值為 .
題型八：平面向量范圍與最值問(wèn)題
【典例8-1】若，，則的最大值是 ；最小值是 ．
【典例8-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知，點(diǎn)在邊上，則的最小值為 .
平面向量范圍與最值問(wèn)題常用方法：
（1）定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系
第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問(wèn)題
第三步：得出結(jié)論
（2）坐標(biāo)法
第一步 ： 根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步： 將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（4）幾何意義法
第一步： 先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步： 根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
【變式8-1】（2024·高三·上?！て谥校┰谄矫嫔希阎獌蓚€(gè)單位向量、的夾角為，向量，其中.則的最大值為 .
【變式8-2】設(shè)向量滿(mǎn)足，與的夾角為，則的最大值為
1．已知向量，滿(mǎn)足，則的最大值與最小值之和為 ．
2．已知向量滿(mǎn)足，則的取值范圍為 ．
題型九：等差線、等商線問(wèn)題
【典例9-1】如圖，在中，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不含端點(diǎn)），若，則 ，的最小值為 .
【典例9-2】（多選題）給定兩個(gè)單位向量，且，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，，則的可能取值為（ ）
A．B．C．2D．0
1、如圖設(shè)，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，若=，反向延長(zhǎng)到,使，當(dāng)P位于直線BE上時(shí)，一定有，若且，則有.
2、如圖所示，令，若，根據(jù)等和線定理可得，所以直線OC就是一條等商線.
【變式9-1】（多選題）在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)點(diǎn)在線段上（不含點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，記，則（ ）
A．B．
C．的最小值為D．的最小值為
【變式9-2】（2023·山西·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn)，)上移動(dòng)，若，則 .
1．（多選題）已知中，是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則（ ）
A．的值可以等于2
B．的值可以等于2
C．的值可以等于
D．的值可以等于3
題型十：奔馳定理與向量四心
【典例10-1】“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且．以下命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則為的重心
B．若為的內(nèi)心，則
C．若，為的外心，則
D．若為的垂心，，則
【典例10-2】平面向量中有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論：已知O為內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志，所以稱(chēng)為“奔馳定理”．已知O為的內(nèi)心，三個(gè)角對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
1、重心定理：①在△ABC中，若G為重心，則．
②． ③
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④三角形的重心分中線兩段線段長(zhǎng)度比為2:1，且分的三個(gè)三角形面積相等．
2、奔馳定理：若，則；
3、垂心定理：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn)
故點(diǎn)O是的垂心，
則一定有．
，即，以此類(lèi)推即可證明．
4、外心向量定理：
（1），；；
（2），，；
（3），，
5、內(nèi)心定理
①角平分線的交點(diǎn)，到三條邊的距離相等；
②；
③
【變式10-1】在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿(mǎn)足關(guān)系式：即稱(chēng)為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【變式10-2】設(shè) 的內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ， 是 所在平面上的一點(diǎn)， ，則點(diǎn) 是 的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
1．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知的外心為，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．若，則（ ）
A．B．50C．25D．
題型十一：阿波羅尼斯圓問(wèn)題
【典例11-1】（2024·高三·上?！て谥校┢矫嫔系絻蓚€(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心在兩定點(diǎn)所確定的直線上，結(jié)合以上知識(shí)，請(qǐng)嘗試解決如下問(wèn)題：已知滿(mǎn)足，則的取值范圍為 ．
【典例11-2】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最小值為 .
在平面上給定兩點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿(mǎn)足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓（時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線）．
【變式11-1】已知平面向量，，，滿(mǎn)足，且，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式11-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，滿(mǎn)足，且，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
1.已知平面向量，，滿(mǎn)足：，，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
題型十二：平行四邊形大法
【典例12-1】如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.
【典例12-2】半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)______.
1、中線長(zhǎng)定理
2、為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得：
兩式相減：
【變式12-1】如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
1．設(shè)圓，圓的半徑分別為1，2，且兩圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是圓，圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
重難點(diǎn)突破：向量對(duì)角線定理
【典例13-1】已知平行四邊形，，，，與交于點(diǎn)，若記，，，則（ ）
B． C． D．
【典例13-2】如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（ ）
B．C．D．
【變式13-1】在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（ ）
A． B．C．D．
【變式13-2】如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上，其中，過(guò)向點(diǎn)處的切線作垂線，垂足為，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
1．在中，，，，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則 .
考點(diǎn)要求
目標(biāo)要求
考題統(tǒng)計(jì)
考情分析
平面向量基本定理及其應(yīng)用
理解定理，掌握應(yīng)用
2022年I卷第3題，5分
2025年高考中，平面向量的數(shù)量積預(yù)計(jì)將繼續(xù)成為重點(diǎn)考察內(nèi)容，可能會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)，也可能與平面圖形等其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合。考察內(nèi)容將涵蓋平面向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用，特別是利用數(shù)量積來(lái)計(jì)算向量的夾角、模以及判斷向量的垂直關(guān)系等問(wèn)題。這些題目的難度可能會(huì)涵蓋基礎(chǔ)題、中檔題乃至難題，并且以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)。
平面向量的數(shù)量積、模、夾角
理解概念，應(yīng)用解決實(shí)際問(wèn)題
2024年 I I卷第3題，5分2023年北京卷第3題，4分
2023年甲卷第4題，5分
2023年 I卷第3題，5分
2023年 I I卷第13題，5分
平面向量范圍與最值
掌握范圍求解，最值方法，提升解題能力
2024年天津卷第14題，5分
2023年天津卷第14題，5分
2022年北京卷第10題，4分
2022年浙江卷第17題，4分
2022年天津卷第14題，5分

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